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Frequenzmessung zusammenfassung...

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Frequenzmessung

Direkte Zählung Zur Messung der Frequenz fx eines periodischen, analogen Eingangssignals ue wird aus dem Signal mit einem Komparator eine Rechteckimpulsfolge derselben Frequenz fx erzeugt und deren Impulse für eine genau vorgegebene Zeit T0 gezählt. Abb. 17.1 zeigt die Prinzipschaltung und Abb. 17.2 das zugehörige Zeitdiagramm. In der in Abb. 17.1 angegebenen Prinzipschaltung ist der obere Teil die eigentliche Frequenzmessschaltung und der untere Teil die Erzeugung der Messzeit T0, die‐ auch Torzeit genannt wird. Zur Erzeugung der Torzeit T0 könnte prinzipiell ein Mono Flop einge-setzt werden. Da aber, wie an Gl. 17.2 erkennbar ist, die Genauigkeit der Torzeit in die Frequenzmessgenauigkeit eingeht, muss T0 mit sehr hoher Präzision generiert werden. ‐ ‐ Dazu eignet sich die in Abb. 17.1 angegebene Schaltung. Nach dem Starten der Messung durch das Setzen des JK Flip Flops werden die Impulse des Referenzoszillators im Zähler 2‐ gezählt. Bei einem bestimmten Zählerstand N2 = FR · T0 ‐erfolgt‐ ein Rücksetzen des Flip Flops. Dadurch wird erreicht, dass der Aus-gang des JK Flip Flops genau die Zeit T0 lang gesetzt ist. Dieses Signal wird als Torzeit-signal für den Frequenzmesser verwendet. Im Frequenzmessteil wird die Eingangsspannung ue durch den Komparator in eine Rechteckfolge ukom derselben Frequenz fx umgeformt (Abb. 17.2). Der Zählerstand N1 ist nach Gl. 17.1 durch die Eingangsfrequenz fx und die Torzeit T0 gegeben: N1 =FX·T0.

(17.1)

Damit ist FX =

N1 T0

.

(17.2)

ue

ukom

f

Z

x

&

1

Zähler 1

T0

N1 = f x · T0 Frequenzmessung Erzeugung von T0

Referenzoszillator

Start

&

Zähler 2

N2

fR J K Rücksetzen, wenn N2 = fR · T0

Abb. 17.1  Prinzipschaltung zur digitalen Frequenzmessung Abb. 17.2  Zeitdiagramm ue

zur Frequenzmessung entsprechend der Schaltung

u

nach Abb. 17.1

t

kom

t

J

t

K

t

T

0

t

Z1

t

Durch die Rücksetzbedingung für das JK ‐Flip‐Flop bei einem Zählerstand N2 = FR · T0 ist die Torzeit

T

N = 2 .

0

(17.3)

F

R

Eingesetzt in Gl. 17.2 erhält die Bestimmungsgleichung für die Frequenz fx: N FX = 1

T

0

N

=

1

N

· F R.

(17.4)

2

Auflösung Die Auflösung der Frequenzmessung fx bestimmt man analog zur Auflösung der Zeitmessung aus der Auflösung des ganzzahligen Zählers N1 =1 und der Ableitung von Gl. 17.4:

�F X =

1 1 δFX · �N1 = · �N 1 = . T0 T0 δN1

(17.5)

Die Auflösung der Frequenzmessung entspricht dem Kehrwert der Torzeit bzw. Mess-zeit T0. Da je nach Anwendung zwischen einer hohen Auflösung und einer kurzen Mess-zeit abgewogen werden muss, ist die Torzeit bei der direkten digitalen Frequenzmessung ein wichtiger, vom Anwender einzustellender Parameter. Beispiel 17.1

Ein Signal der Frequenz fx =132.734,1 Hz wird mit unterschiedlichen Torzeiten gemessen. Nach Gl. 17.5 ergibt sich die Auflösung der Frequenzmessung direkt aus dem Kehrwert der Torzeit: Torzeit

Zählerstand

Auflösung (Hz)

Messergebnis (kHz)

1 ms

132

1000

132

100 ms

13.273

10

132,73

10 s

1.327.341

0,1

132,7341

Soll die Frequenz fx mit einer Auflösung von f =1 Hz gemessen werden, so ist eine Torzeit von T0 =1/ f =1 s zu wählen. Genauigkeit Werden Gatterlaufzeiten, Rauschen und ähnliche Einflüsse vernachlässigt, ergibt sich die Genauigkeit der Frequenzmessung aus der Auflösung des Zählers 1 und der Genauigkeit‐‐ des Referenzoszillators. Die Auflösung des Zählers 2 geht nicht ein, da das JK Flip Flop mit dem Referenztakt synchronisiert ist und die berechnete Torzeit T0 = N2/FR nur auf-grund der Referenzfrequenz unsicher ist. Die‐ Gesamtgenauigkeit‐ wird analog zur Zeitmessung (Abschn. 16.1) mit Hilfe der Worst Case Abschätzung ermittelt. Da das Signal ue nicht mit dem Referenztakt synchronisiert ist, ist die Abweichung durch den Zähler N1 innerhalb des Intervalls ±1. Die Referenzfrequenz habe eine spezifizierte, maximale relative Abweichung‐ von‐ ± fR/fR. Die relative Unsicherheit des Messergebnisses fx ist nach der Worst Case Kombination

U

δFX N ·F

FX

= ± F

δFX

·1 +

±

F ·

· �FR F

δ R X δ Setzt man hierbei die partiellen Ableitungen von Gl. 17.4 1

X

δF X

U = X

N2

·1

N ·F 2

N2

δF R

FR

FX F

δF X = N1

und

= FR

δN1

ein, erhält man

X

N1 ·F

+ N

X

2

X

· ∆FR

.

N

Nach Gl. 17.4 ist FX =

1

N2

· F R, und somit ist U FX 1 =

F

∆FR +

N

(17.6)

.

F

R

1

X

Beispiel 17.2

Eine Frequenz fx wird mit einer Torzeit T0 =100 ms gemessen. Der Zählerstand ist Die Referenzfrequenz beträgt f R 10 MHz; ±10−5 ( f /f 10−5). N 124.750. = = R = fR Die Frequenz f ist FX = N = 24.750 = 247,50 kHz mit einer Auflösung: 1

FX =

1

= 10 Hz.

x

T0

0,1 s

U

T0 Die

1 24.750

1

FX relative Unsicherheit erhält

−5

+ 10

man

aus Gl. 17.6:

FX

=

N1

FR +

FR

=

−5

= 5,0 · 10

,

das vollständige Messergebnis lautet: fx =247,50 kHz; ±5,0 · 10

−5

Wird für genaue Messungen entsprechend lange gemessen, geht nur noch die Genauigkeit der Referenzfrequenz ein. Die in den Frequenzzählern eingebauten Referenzoszilla−5

−9

toren haben eine relative Genauigkeit von etwa 10 bis 10 . Für spezielle Messungen können extern eingespeiste, hochgenaue Normalfrequenzen verwendet werden.

Umkehrverfahren Niedrige Frequenzen, die mit hoher Auflösung nur mit langen Torzeiten direkt gemessen werden können, können durch Periodendauermessung und Kehrwertbildung berechnet werden. Dadurch kann die notwendige Messzeit bei gleicher Auflösung und Messunsicherheit deutlich reduziert werden. Beispiel 17.3

Eine Frequenz fx ≈50 Hz soll mit einer Auflösung von 0,01 Hz gemessen werden. Die Referenzfrequenz beträgt fR =10 MHz. Bei einer direkten Frequenzmessung beträgt die notwendige Messzeit T0 =1 / 0,01 Hz =100 s. Wird die Periodendauer von T ≈ 20 ms gemessen, erhält man das Ergebnis nach ca. 20 ms mit einer Auflösung T =1 / fR =0,1 µs bzw. einer relativen Auflösung von −6 0,1 µs/20 ms =5 · 10 . Die Kehrwertbildung der Periodendauer liefert die gesuchte Frequenz mit einer relativen Auflösung von 5 · 10−6 bzw. einer Auflösung f =5 · 10−6 · 1/T ≈ 0,00025 Hz.

Verhältniszählverfahren Sollen mittlere Frequenzen mit hoher Auflösung gemessen werden, müssen beim direkten Zählverfahren lange Messzeiten in Kauf genommen werden, oder beim Umkehrverfahren die Periodendauer mit einer sehr hohen Referenzfrequenz gemessen werden. Beispielsweise führt die Messung einer Frequenz von 50 kHz mit einer Auflösung von 0,1 Hz zu einer Messzeit von 10 s bzw. zu einer notwendigen Referenzfrequenz von 2,5 GHz. Das Verhältniszählverfahren basiert auf der Messung der Dauer einer bestimmten Anzahl von Perioden des Eingangssignals. Abb. 17.3 zeigt das Blockschaltbild einer möglichen Realisation und Abb. 17.4 das dazugehörige Zeitdiagramm. Im Unterschied zum direkten Zählverfahren nach Abb. 17.1 wird beim Verhältniszählverfahren ein Teiler NT eingesetzt, der durch die vorgegebene, ungefähre Messzeit T0∗ bestimmt wird: ∗

NT = FR · T0 . u f

(17.7)

Z1

kom x

ue

&

Zähler 1

N1 = f x · T0

Zähler 2

N2 = fR · T0

T0 fR

&

Referenzoszillator

Start

Teiler NT

J K T 0*

Abb. 17.3  Prinzipschaltung zum Verhältniszählverfahren

ue u

kom

J K T0

t

t t t

Z1

t

Z2

t t

N1 = f x · T 0 N 2 = fR · T0

Abb. 17.4  Zeitdiagramm zur Frequenzmessung nach dem Verhältniszählverfahren entsprechend der Schaltung nach Abb. 17.3

Das Eingangssignal wird mit einem Komparator in ein Rechtecksignal ‐ u‐kom derselben Frequenz fx umgeformt. Nach Anlegen des Startsignals wird das JK Flip Flop mit der nächsten steigenden Flanke von ukom gesetzt und sowohl Zähler 1 als auch Zähler 2 beginnen zu zählen‐. Nach‐ der Zeit T0∗, die nach Gl‐. 17.6 durch den Teile r NT vorgegeben ist, wird das Flip Flop Signal K =1 und das Flip Flop wird mit der nächsten steigenden Flanke von ukom zurückgesetzt. Dadurch ist die Zeit T0 immer exakt ein ganzes Vielfa-ches der Periodendauer von ukom und ungefähr gleich der Zeit T0∗: 1

T0 =N·TX =N·

FX

.

(17.8)

Der Zählerstand‐ des Zählers 1 liefert nach der Messung aufgrund der Synchronisation des Flip Flops exakt die Anzahl der gemessenen Perioden des Eingangssignals N1=FX·T0=N,

(17.9)

N2 =FR·T0.

(17.10)

der Zählerstand von Zähler 2 ist

Das Ergebnis der Frequenzmessung erhält man, wenn man Gl. 17.10 nach T0 aufgelöst in

Gl. 17.9 einsetzt und das Ergebnis nach fx auflöst:

N

N (17.11) = 1 · F R. T0 N2 Der Name Verhältniszählverfahren wird anhand von Gl. 17.11 plausibel, da das Verhältnis der beiden Zählerzustände maßgeblich ist. FX =

1

Auflösung Da N1 die Anzahl der gemessenen Perioden angibt und die Zählungen mit dem Messsignal synchronisiert sind, ist die Auflösung der Frequenzbestimmung nur durch die Auflösung des Zählers 2 bestimmt: N1 · FR

δF X ∆F X =

·∆N2 =

N

N

δ 2 Damit ist die relative Auflösung ∆FX

FX

=

2 · ∆N2

∆N 2

· ∆N2.

N2

2

1

1

. (17.12) N2 N2 T 0 · FR Die relative Frequenzauflösung des Verhältniszählverfahrens ist unabhängig von der Messfrequenz und hängt nur von der Messzeit T0 und der Referenzfrequenz fR ab. FX

=

=

=

Beispiel 17.4

Ein Frequenzmesser nach dem Verhältniszählverfahren misst mit einer Messzeit Referenzfrequenz von f 10 MHz. Damit ist die relative FreT0 =0,1 s und einer FX 1 R = 1 −6 = T0 ·F R = 0,1 s·10 MHz = 10 . quenzauflösung für alle Messungen F Beispielsweise für eine Messfrequenz fx1 =10kHz ist F X

X1

0,001 HZ oder für fx2 =1MHz ist die Auflösung

−6 −6 FX2 = 1 = FX1 · 10 = 1 KHZ · 10 =

MHZ · 10−6 = 1 HZ.

Universalzähler Aufgrund der Ähnlichkeit der Verfahren ist in Universalzählern Zeit ‐ und Frequenzmessung integriert (Abb. 17.5). Mit ihnen können Frequenz, Periodendauer, Zeitintervalle und, bei Zweikanalausführungen, Phasendifferenzen gemessen werden. Bei der Frequenzmessung muss die Torzeit (siehe Abschn. 17.1) eingestellt werden. Da hiermit gleichzeitig die Auflösung bzw. bei dem Verhältniszählverfahren die relative Auflösung festgesetzt ist, wird meist direkt die Stellenzahl der Anzeige umgeschaltet. Zur Messung von Frequenzen größer als etwa 1 GHz sind in den Zählern spezielle, hoch-frequenztaugliche, einstellbare Vorteiler (Faktor 2, 4, 8, 16) oder Frequenzmischer zur Frequenzreduzierung integriert. Aus der gemessenen, heruntergesetzten Frequenz und dem bekannten Teilerverhältnis wird dann der Anzeigewert berechnet. Andere Einstellungen betreffen die Signalkopplung bzw. ‐Triggerung. Ähnlich wie bei Oszilloskopen (siehe Abschn. 13.2) kann zwischen Gleich und Wechselspannungskopplung des Eingangssignals (DC/AC) gewählt und eine manuelle Triggerschwelle ‐‐ (Trigger Level), die Triggerflanke (Slope) oder eine Triggersperre (Trigger Hold Off) eingestellt werden. Für bestimmte Anwendungen kann das Eingangssignal abgeschwächt

Abb. 17.5  Bild eines Universalzählers (Agilent Technologies)

(Attenuation)- oder zur Unterdrückung hochfrequenter Störsignale mit einem Tiefpass gefiltert werden. Der Eingang kann zwischen einer hohen Eingangsimpedanz von typisch 1 M Ω und 50 Ω zur Anpassung umgeschaltet werden. Die Genauigkeit wird nach den Gl. 17.16 und 17.6 vor allem durch die Genauig-keit des Referenzoszillators bestimmt. Universalzähler mit einfachen Quarzoszillatoren −5

haben eine relative Unsicherheit von etwa ±10 ‐ , mit Ofenquarzen werden größenord−6

nungsmäßig ±10

bis ±10

−8

und mit Rubidium Oszillatore n ±10

−9

erreicht.

Analoge Frequenzmessung Aufgrund ihrer Einfachheit wird überwiegend die digitale Zeit ‐ und Frequenzmessung verwendet. In manchen Fällen ist aber eine analoge Spannung, die zu einem Zeitintervall oder einer Frequenz proportional ist, gewünscht, um beispielsweise in der Prozessdatenerfassung und Steuerung analoge Anzeigen oder analoge Regeleinrichtungen ‐‐ direkt betreiben zu können. Dies ist durch digitale Messung und Digital Analog Umsetzung des Messergebnisses oder in vielen Fällen direkt analog realisierbar. Zeit-Spannungs-Umformung Die Dauer eines Impulses Tx, der mit einer Taktrate T gewonnen und wiederholt wird, soll in eine proportionale Spannung umgeformt werden. Das Signal entspricht einer pulsweitenmodulierten Spannung, bei der die Information in der Pulsbreite bzw. dem Tastverhält-nis liegt. Der Mittelwert U eines solchen Signals u(t), das in Abb. 17.6a dargestellt ist, ist

ˆ TX

(17.13)

U=U · T .

Zur Mittelwertbildung kann ein Tiefpass und im einfachsten Fall ein RC ‐Tiefpass nach Abb. 17.6b verwendet werden. Wie im Abschn. 3.2.2 gezeigt ist, hat das RC‐Glied ein PT1‐Verhalten mit einem Amplitudengang |GRC(jω)| =

a

1 1 + ω2(RC) 2 .

(17.14)

b

u(t) ˆ R

U

u

C

Tx

t

u(t)

ua

T

Abb. 17.6  a Pulsbreitemoduliertes Signal mit Mittelwert U, b RC‐Tiefpass zur Mittelwertbildung

Das Signal u(t) besteht aus dem Gleich ‐ und Wechselanteil. Mit Hilfe der Fourierreihenentwicklung (siehe Abschn. 10.1) lässt sich zeigen, dass die kleinste, vorkommende Frequenz des‐ Wechselanteils gleich dem Kehrwert der Pulswiederholrate ist. Das RC Glied wird so dimensioniert, dass alle Schwingungsanteile amFmin = 1/T Ausgang gedämpft werden. Der Gleichanteil von u(t) liegt aufgrund von am Ausgang des RC‐Gliedes|GRC(jω = 0)| = 1

unverändert

an,

so

dass

bei

Vernachlässigung des gedämpf-ten Wechselanteils ˆ UA = U( T)

=

U

T

(17.15)

· TX

ist, und damit eine zur Zeit Tx proportionale Spannung zur Verfügung steht. Frequenz-Spannungs-Umformung Die Frequenz fx des Signals ue soll in eine proportionale Spannung umgeformt werden. Bei der Schaltung nach Abb. 17.7a wird die Eingangsspannung ue auf einen Komparator geschaltet, der am Ausgang ‐ eine Rechteckfolge derselben Frequenz fx liefert. Mit diesem Signal wird ein Mono Flop mit der Pulszeit T0 getriggert. Die Ausgangsspannung um hat die Pulshöhe, die Pulszeit T‐0 und die Wiederholzeit T = 1/F‐X. ‐ Das nachfolgende RC Glied liefert wie bei der Zeit Spannungs Umformung bei geeigneter Dimensionierung am Ausgang den Mittelwert von um. Damit ist ˆ UA=UM( T)=U·

T0 T

ˆ =U·T0

· FX.

(17.16)

a K T0

ue

um

R C

ua

b ue

t

K

u

t m

t T0

T

Abb. 17.7  a Prinzipschaltung zur Frequenz‐Spannungs‐Umsetzung, b Zeitdiagramm

Die Ausgangsspannung ist demnach frequenzproportional und kann direkt mit einem direktwirkenden Instrument angezeigt oder für einen analogen Regelkreis verwendet werden. Zu beachten ist, dass die Bedingung T0 < T =1/fx eingehalten wird, da sonst der Ausgang des Monoflops permanent gesetzt ist und die Ausgangsspannung den Maximalwert UA max

=ˆ U

annimmt. Die erreichbare Genauigkeit ist aber auch bei optimaler Dimensionierung nicht mit der der digitalen Frequenzmessung vergleichbar.

Aufgaben琀 琀 zur Frequenzmessung Aufgabe 17.1 Ein Frequenzmesser kann Frequenzen fx im Bereich von 1 Hz bis 10 MHz messen. Er enthält einen Referenzoszillator mit fR =10 MHz; ±0,5 · 10 Messzeit von T0 =1 s.

−4

und misst mit einer

a)\ Der Frequenzmesser verwendet die direkte Frequenzzählung. \ Bestimmen Sie den Bereich von fx, in dem mit einer relativen Frequenzauflösung von −3 besser als 10 gemessen werden kann. \ Bestimmen Sie die maximale relative Messabweichung (Worst Case) für die ungünstigste Frequenz. b)\Der Frequenzmesser verwendet jetzt das Umkehrverfahren (Messung der Dauer einer Periode, daraus Bestimmung von fx). \ Bestimmen Sie den Bereich von fx, in dem jetzt mit einer relativen Frequenzauflösung −3 von besser als 10 gemessen werden kann. c)\ Der Frequenzmesser verwendet jetzt das Verhältniszählverfahren. \ Bestimmen Sie die relative Frequenzauflösung. Aufgabe 17.2 Gegeben ist ein Frequenzmesser, der die direkte Zählung und das Umkehrverfahren (Messung der Periodendauer) verwenden kann. Messbereich\

琀10 Hz bis 100 kHz −6 Referenzoszillator 10MHz; ±50 · 10 Messzeit\ 琀1 s (direkte Zählung) bzw. 1 Periodendauer a)\ Wie viel Bit muss der Zähler zur Periodendauermessung für den angegebenen Frequenzbereich haben? b)\Es wird mit dem Umkehrverfahren gemessen. Es wird eine Frequenz von ca. 1415,4 Hz gemessen. \ Bestimmen Sie die Auflösung (in Hz) und maximale relative Messabweichung (Worst Case).

17.6

Aufgaben zur Frequenzmessung

255

c)\ Der Messbereich 10 Hz bis 100 kHz soll in einen Bereich, in dem mit direkter Frequenzzählung gemessen wird, und einen Bereich mit dem Umkehrverfahren aufgeteilt werden. \ Es soll so umgeschaltet und mit dem Verfahren gemessen werden, bei dem die relative Auflösung besser (d. h. kleiner) ist. \ Bei welcher Frequenz wird zwischen den Verfahren umgeschaltet und in welchem der beiden Bereiche wird mit dem Umkehrverfahren gemessen?...