Funciones Algebraicas ( Resumen) PDF

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FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS: Concepto de Función: ¿Qué es una Función? Es una fórmula que relaciona dos o más cantidades. Estas cantidades pueden cambiar sus valores debido a que pertenecen a una igualdad. Se les llama variables y se representan con letras (x, y, z, m, n, r, t, w, otras) Si tenemos la fórmula y – x = 2 es una igualdad en donde participan dos variables: x, y. En ella, tanto x como y pueden cambiar sus valores dentro de los números reales (R) siempre y cuando su resta sea igual a 2, por ejemplo, el par de valores: x = 1, y = 3, otro par de valores son: x = 2, y = 4, Así: Organizamos estos pares ordenados (x, y) en la tabla que se muestra a la derecha. Pero podemos ver más claro cómo se relacionan esas dos variables si despejamos así:

y = x + 2.

Observe que sin esforzarnos mucho pensamos en un valor para x resultando fácil encontrar el valor de y. Así, cuando x = 1 encontramos que y = 1 + 2, o sea y = 3. …Agregue otros pares (x,y). Podemos seguir reemplazando los valores x de la tabla o muchos otros más y para cada uno de ellos obtendremos el valor que corresponde a y. Entonces, ¿Cómo

(x, y) (1, 3) (2, 4) (0, 2) (-1, 1) (-2, 0) , , ,

se define una Función?:

Es una relación en la cual a cada valor de x le corresponde uno y sólo un valor de y. De esta forma decimos que “y es una función de x”; se escribe así: y = f(x). Nos indica que “y” es la imagen de “x” en la función.

A la “x” se le llama variable independiente, mientras que a la “y” se le llama variable dependiente. Al conjunto de valores de X se le llama Dominio. Al conjunto de valores de Y se le llama Rango o Codominio. Esto indica que los conjuntos del Dominio y Codominio para la función y = x + 2 o f(x) = x+2 se representan así: Pero podemos ingresar más valores al conjunto del dominio, de hecho, cualquiera de los números reales puede usarse, entonces decimos que el Dominio de esta función son todos los números reales, y se escribe así: Df = R. Para cada valor ingresado al Dominio obtendremos el del Codominio cuyos valores también pertenecen a todos los números reales, entonces escribimos: Cf = R. Cada valor del Dominio hace pareja con su correspondiente en el Codominio. Podemos decir que el Dominio representa los valores de ENTRADA y el Codominio es el resultado o SALIDA. La función y = x + 2 nos indica que su formato es: y = una expresión en términos de x, o sea también puede usarse otra letra como variable independiente. Aquí tenemos unos ejemplos de funciones un poco más complejas como: y= √ x

a) y = x2

b)

Es lo mismo que:

f(x) = x2

f(t) ¿ √ t

Veamos: Ejemplo 1,

Ejemplo 2.

c) y = x3 – x2 + 2x – 3

d) y =

f(r) = r3 – r2 + 2r – 3

f(w) =

y = f(x); pero

√3 2 x−1 √ 2 w−1 , pues y=f(x). 3

Otra forma de ver una función es en una gráfica. Para construir la gráfica de una función trazamos el sistema de coordenadas rectangulares y colocamos allí los puntos usando los pares o coordenadas (x, y), al unir estos puntos se nos muestra la función en su forma gráfica. Veamos este Ejemplo. Puedes hacerla usando los pares ordenados (x, y) o coordenadas que están en el cuadro de la página anterior para la función del ejemplo f(x) = x + 2; f(x) = {(1, 3); (2, 4); (0, 2); (-1, 1); (-2, 0)} Si no recuerda cómo trazar los puntos, vea estos ejemplos: Ejemplo 1,

Ejemplo 2.

Valor de una función: Para obtener el valor de una función cuando x = un número real, (2, -1, 4, 0, etc.) sólo tenemos que reemplazar este valor en el polinomio de la función. Veamos el Ejemplo 1. Ejemplo 2: Para la función f(x)=2x+3 hallar el valor de f(0) – f(–3): Solución:

f(0) – f(–3) = [ f(0) ] – [ f(–3) ] = [ 2(0) + 3 ] – [ 2(–3) + 3 ] = [ 0 + 3 ] – [ –6 + 3 ] = [ 3 ] – [ –3 ] f(0) – f(–3) = 3 + 3 = 6

Calcule usted los valores de:



f(x) + f(2x) = ;

f(x+h) = ;

y

f(x+h) - f(x) =.

Las funciones se clasifican en Algebraicas y Trascendentes:

Dentro de las funciones algebraicas tenemos:

Una función polinómica o polinomial es aquella en la cual el componente f(x) es un polinomio, de modo que el formato y = f(x) ahora lo escribimos así: y = P(x) o en su forma más general: f(x)=P(x) donde P(x) es un polinomio de grado ռ. La función polinómica de grado ռ se define de la siguiente forma: f ( x ) =an x n+ an−1 x n−1 +. . .. . +a2 x 2+ a1 x 1 + a0 Donde los coeficientes Por ejemplo,

an hasta a0

con an ≠ 0

son constantes.

5 4 3 2 f ( x )=2 x −x +7 x −3 x + 6 x −4

es una función polinómica de grado 5.

6 4 3 f ( x ) =2 x −x +7 x +2 x −1 , observe que “faltan” términos: no En esta función polinómica de grado 6: está x5 ni x2, eso significa que su coeficiente es cero.

Escriba usted una función polinómica de grado 7:

a) Función Constante (su polinomio es de grado n=0): También se le llama función de grado cero. Tiene la forma f(x) = ɑ0 ; f(x) = c ; y = c , también puede ser y = k; es decir, es igual a una constante. Así como: f(x) = 2; y = -3 ; f(x) = 0 son ejemplos de función constante. Su gráfica es siempre una recta horizontal. Su Dominio son todos los números reales: Df = R, pues su gráfica se extiende indefinidamente en forma paralela al eje x. Su Codominio siempre es la constante: Cf = c. Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1, Ejemplo 2. b) Función Lineal (su polinomio es de grado 1): También se le llama función de primer grado. Tiene la forma:

f(x) = ɑ1x+ɑ0

o

y = ax + b,

en la cual a, b, son constantes.

Tales como: f(x) = 2x – 3 ; y = -3x + 5 ; f(x) = x – 4; f(x) = 5x ; y = - 2x son funciones lineales o de grado 1. Las fórmulas 3x + y = 5;

2y – 3x – 6 = 0 también son funciones lineales, sólo hay que despejar la “y”.

La gráfica de la función lineal es siempre una recta. Su Dominio son todos los números reales: Df = R, y Codominio: Cf = R. pues su gráfica se extiende indefinidamente a ambos lados del eje X y ambos lados de Y. Para confeccionar la gráfica primero se despeja la “y” para llenar una tabla de valores, luego se localizan los puntos en el plano cartesiano. Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1,Ejemplo 2,

Ejemplo 3 y

Ejemplo 4.

La Función Identidad: Es una función lineal con la forma f(x) = xo sea y = x en la cual los valores de las variables son idénticos, de igual valor y el mismo signo. La función idéntica es una recta que interseca o sea que divide en partes iguales el primer y tercer cuadrante. Veamos su gráfica en este Ejemplo. Su dominio y codominio son todos los números reales. Df = Cf = R. Uso de los puntos de corte para graficar: Para la gráfica de una función también podemos utilizar los puntos de corte o intersecciones con los ejes X e Y. Para ello calculamos “y” cuando x = 0 la función corta al eje Y en el punto (0, y). Luego calculamos “x” cuando y = 0, la función corta al eje X en el punto (x, 0). Como se trata de una recta, localizamos estos dos puntos en el plano cartesiano para trazar la línea. Veamos los: Ejemplo 1, y Ejemplo 2. c) Función cuadrática: Es la función polinómica de segundo grado. Esta función tiene la forma f(x) = ɑ2 x2

+ ɑ1 x + ɑ0

con ɑ2 ≠ 0

Generalmente se usa la forma f(x) = ɑx2 + b x + c o la forma y = ɑx2 + bx + c donde a,b,c son constantes. La gráfica de una función cuadrática es una parábola vertical, la cual es una curva que abre hacia arriba o hacia abajo. De modo que, si el valor a es positivo, la curva abre hacia arriba; si el valor a es negativo, abre hacia abajo. El punto de cambio de dirección de la curva se llama vértice. y= x2 - 5; son funciones cuadráticas. f(x) = x2 -3x + 5; f(x) = -2x2 + x; y = 3x - x2 + 4; El dominio de la función cuadrática es Df = R, y el codominio va del vértice hacia arriba o del vértice hacia abajo según la orientación de la parábola la cual se debe al signo de a. Así:

Codominio [ - 2, + ∞ )

Codominio ( - ∞, - 1]

Para confeccionar la gráfica de una parábola utilizamos sus puntos de corte con los ejes X e Y, y el vértice. Veamos estos ejemplos: Ejemplo 1,

Ejemplo 2,

Revisemos estos otros ejemplos: Ejemplo 1,

d)

Ejemplo 3,

Ejemplo 2,

Ejemplo 4.

Ejemplo3.

Función Racional: Está descrita por la razón o fracción de dos polinomios Algunos ejemplos de estas funciones son:

4 f ( x) = x−2

;

g ( x) =

f ( x )=

4x x−2

P( x) Q(x)

.

;

4 y= +1 x Es decir, siempre que haya una variable en un denominador, tendremos una función racional. El dominio de una función racional no es todo R, pues estará condicionado por el polinomio denominador el x +3 f ( x) = cual debe ser diferente de cero debido a que no existe la división entre cero. x−2 En esta función, como x−2 ≠0 entonces x ≠ 2 , nos indica que 2 no forma parte del dominio. Es decir, Df : R – {2}. Esto significa que en la tabla de valores no usamos el x=2, pero sí podemos colocar valores cercanos por la izquierda (1.5 o más cercanos) y por la derecha (2.5 o más cercanos al 2). Y calculamos la tabla. Asíntota

En x=2 se dibuja una línea frontera llamada asíntota ante la cual la función se desvía hacia +∞ ó hacia – ∞. Veamos el Ejemplo. Un procedimiento que debemos aplicar siempre es tratar de factorizar ambos componentes de la fracción para simplificar el denominador. El denominador que se simplifique ya no producirá asíntota y en su lugar se agrega un punto abierto o excluyente tal como se muestra en este Ejemplo. e)

Función Radical o Raíz de un polinomio: Tiene la forma argumento P(x) representa un polinomio y n es un subíndice donde

n P(x ) , donde el f ( x) = √ n ≥2 .

Para determinar el dominio de esta clase de funciones revisamos el índice de la raíz y aplicamos lo siguiente:  Si n es impar, el dominio no tiene restricción, son todos los números reales, Df : R.  Si n es par, el dominio está restringido a la solución de la desigualdad P(x)≥ 0 , debido a que sólo existe raíz par de valores mayores o iguales a cero y no para valores negativos. El codominio o rango por lo general se visualiza en la gráfica de la función. Veamos estos ejemplos: Ejemplo 1, Ejemplo 2. f)

Función Valor Absoluto: Tiene la forma

f ( x )=| p (x)|

donde p(x) es una expresión

algebraica.

En general esta función está compuesta por dos tramos:

{

− [ p ( x ) ] , si p ( x )...