Il Modello di Solow - Riassunto Crescita economica PDF

Preview

Summary

Modello di solow ...

Description

Il Modello di Solow Introduzione Una possibile spiegazione alle differenze nel livello di reddito tra nazioni è data dal modello di Solow. Questo modello è basato sulla dotazione di capitale. Tanto o maggiore o migliore è il livello di capitale, a disposizione di ciascun lavoratore, tanto maggiore sarà il livello di output prodotto. Il capitale presenta 5 caratteristiche: -

Il capitale è produttivo: impiegandolo si accresce il livello di output che può essere ottenuto da ciascun lavoratore. Il capitale è a sua volta prodotto: vale a dire prodotto da un processo di produzione indicato come investimento. A questo investimento deve corrispondere un azione di risparmio. Il capitale è un bene rivale, vale a dire che solo un limitato di soggetti per volta può accedere all’impiego di una data componente del capitale. Il capitale è produttivo e produce un rendimento. Il capitale si deteriora. Il termine economico per indicare il deterioramento è ammortamento.

Analizziamo il ruolo del capitale attraverso il concetto di funzione di produzione, con funzione di produzione indichiamo la relazione tra fattore produttivi e livello di input prodotto. Indichiamo con Y la produzione, con K il capitale e con L il lavoro. Y =F ( K , L )

Le ipotesi che stanno alla base di questo modello sono che la funzione di produzione abbia rendimenti di scala costanti e rendimenti marginali decrescenti. Con rendimenti di scala costanti intendiamo che se moltiplichiamo le quantità di ciascun input per un certo valore, la quantità di output aumenterà dello stesso fattore. Data z una qualunque costanza positiva si avrà: F ( zK , zL )=zF ( K , L )

Il fatto che la funzione di produzione abbia rendimenti di scala costanti implica che la quantità di output per addetto dipenderà unicamente dalla quantità di capitale per addetto. Moltiplichiamo infatti entrambi i fattori della funzione di produzione per il termine 1/L:

( 1L )Y =( 1L ) F( K , L) =F( KL , LL)=F ( KL , 1 ) Definendo k= K/L come la quantità di capitale per addetto è y= Y/L come la quantità di output per addetto possiamo riscrivere l’espressione come y= f(k). In altre parole la produzione per addetto è funzione del solo capitale per addetto. Le seconde ipotesi in merito alla funzione di produzione è che la produttività marginale è decrescente, vale a dire che se continuiamo ad aggiungere sempre più unita di un solo fattore, a parità delle altre condizioni, allora la quantità aggiuntiva di prodotto finale ottenuta sarà minore di quella ottenuta dal precedente incremento unitario effettuato. Il prodotto marginale del capitale è la derivata della funzione di produzione rispetto al capitale: MPK=

∂ F ( K , L) ∂K

Il prodotto marginale del capitale è dato dalla funzione che rappresenta la quantità di output addizionale per addetto ottenuta utilizzando nella produzione un’unità in più per addetto.

Una tipica funzione di produzione che rispecchia le caratteristiche precedentemente esplicate è la funzione di produzione Cobb-Douglas che data da α 1−α F ( K , L )= A K L

Dove A rappresenta la tecnologia quindi una misura della produttività, mentre α che si suppone abbia un valore compreso tra 0 e 1 rappresenti la quota del reddito del capitale, vale a dire la porzione del reddito che è generata dal capitale. Per scrivere la funzione di produzione Cobb-Douglas in termini di quantità per addetto, moltiplichiamo ambo i membri per 1/L F ( K , L )= A

( )( ) K L

α

L L

1−α

= Akα

Otteniamo quindi un’espressione per indicare la produzione per addetto: y= A k

α

In un’economia competitiva il prezzo dei fattori produttivi è pari al loro rendimento marginale perciò nella scelta della quantità di lavoro da impiegare le imprese pongono la produttività marginale del lavoro pari al salario corrente. Allo stesso modo, il prodotto marginale del capitale sarà uguale al costo d’uso del capitale stesso, vale a dire il costo da sostenere per impiegare un unità di capitale per un unità di tempo. Il prodotto marginale del capitale per una funzione Cobb-Douglas è pari a: MPK=α A K

α −1

L

1−α

In un economia competitiva il prodotto marginale del capitale è uguale all’importo che le imprese saranno disposte a pagare per impiegare un unità di capitale, questo importo è uguale al costo d’uso del capitale moltiplicato per la quantità complessiva di capitale MPK*K. La quota del reddito del capitale è la frazione del reddito nazionale Y pagata come remunerazione del capitale. La quota del capitale è data dalla seguente espressione: quota delreddito del capitale=

α 1−α MPK∗ K α A K L = =α Y A K α L1−α

La quota corrisposta al lavoro è invece pari a 1−α . È stato stimato che alfa è pari a 1/3 perciò, un terzo del reddito è generato dal capitale.

Abbiamo appena espresso quali sono le basi del modello di Solow. Il modello di Solow Il modello di Solow, nella sua versione più semplicistica si concentra in una unica variabile, vale a dire il capitale fisico a disposizione del lavoratore, ma prima dobbiamo definire come si determina il capitale per addetto. Supponiamo innanzitutto chela quantità di lavoro “L” disponibile sia costante e che il livello di tecnologia “A” sia anche esso costante. Alla luce di queste supposizioni l’unica cosa che conta in questo modello sarà l’accumulazione di capitale, la quale è causata da due forze: -

L’investimento, vale a dire la creazione di capitale nuovo. Il deterioramento del capitale, ad esempio macchinari obsoleti e così via.

Sappiamo comunque che l’accumulazione del capitale non è l’unico fattore responsabile della crescita economica, potremmo considerare il fatto che nelle economie più sviluppate il talento e la conoscenza stanno sostituendo piano piano il capitale in senso stretto, ad esempio un operaio degli anni Cinquanta aveva a disposizione un gigantesco macchinario, mentre un operaio del 2000 per affrontare lo stesso incarico, ha a disposizione un personal computer. Tornando all’accumulazione di capitale, in ogni momento le variazioni di stock di capitale sono date dalla differenza tra valore dell’investimento (I) e valore del deterioramento (D). Perciò si avrà: ∆ K =I − D

Consideriamo adesso l’accumulazione di capitale in termini di unità per addetto: avremo che i sarà l’investimento per addetto e d il deterioramento per addetto. Perciò avremo che: ∆ k =i−d

Ipotizziamo che l’investimento sia una frazione costate di output, chiameremo questa frazione dell’output γ. E quindi avremo che . i=γy

Dove y è l’output. Mentre assumiamo invece che il deterioramento sia una frazione costante del capitale, sia questa frazione δ. E si avrà perciò: d=δk

Combinando le due equazioni con l’equazione dell’accumulazioni del capitale, avremo: ∆ k =γy −δk

Poiché sappiamo che

y=f ( k )

riscriviamo l’equazione come:

∆ k =γf (k )– δk Il punto stazionario La suddetta equazione descrive come varia il capitale nel corso del tempo. La variazione di stock è positiva, e ciò che il captale sta aumentando, se l’investimento è maggiore del deterioramento, e negativa se viceversa, cioè il capitale si sta riducendo.

L’intersezione delle due equazioni mostra il livello di capitale in stato stazionario, indicato con ss k , in questo punto il livello di capitale per addetto non varia nel tempo. Se l’economia si trova a destra del punto di stato stazionario, significa che la quantità di capitale destinata a rimpiazzare il capitale deteriorato e maggiore della quantità usata per investire, perciò l’economia ridurrà lo stock di capitale fino a giungere ad un punto in cui investimento e deterioramento son pari. Da qualunque punto parta l’economia oggetto di analisi, questa finirà col raggiungere il punto stazionario. Ad un livello di stato stazionario di capitale corrisponde un livello stazionario di output, che prende il nome di y ss . Una aumento di γ sposta la curva γf (k ) verso l’alto, aumentando così i livelli di output e capitalein stato stazionario, mentre un aumento di δ rende la curva δk più ripida e questo provoca una diminuzione dei livelli di output e capitale in stato stazionario.

Consideriamo adesso una funzione di produzione Cobb-Douglas e riscriviamola in questi termini.

α

∆ k =γA k −δk

Trovare lo stato stazionario di questa equazione significa trovare il valore del capitale la suddetta equazione è paria a zero:

k

ss

per cui

α

ss 0=γA ( k ss) −δ k

Da cui ss α

ss γA ( k ) =δ k

Dividiamo adesso ambo i membri per δ e per ss

k =

( k ss)

α

. Poi elevo tutto per

1 /( 1 −α) .

1 /( 1−α)

( ) γA δ

Se sostituiamo questo risultato alla nostra funzione di produzione, otterremo il livello di produzione in stato stazionario. α

y ss=γA ( k ss ) → y ss= A 1/( 1−α)

1 /( 1 −α)

() γ δ

Questa equazione descrive la relazione tra il livello di output per addetto in stato stazionario di un paese e il suo tasso di investimento. Maggiore è quest’ultimo maggiore è l’output.Per questo motivo il modello di Solow potrebbe spiegare eventuali differenze di reddito.

Il modello di Solow come teoria delle differenze di reddito Assumiamo che due paesi abbiano lo stesso tasso di deterioramento e lo stesso livello di tecnologia, ed anche abbiano lo stesso livello di reddito in stato stazionario. Sia γ i il tasso di investimento del paese i e γ j quello del paese j. Avremo che i livelli di output per addetto di questi paesi sarà rispettivamente: y ss i= A1 /( 1−α )

1 /( 1−α )

() ( γδ ) γi δ

per il paese i

1 /( 1−α)

y ss j =A 1/( 1−α )

j

per il paese j

Dividendo la prima equazione per la seconda, otteniamo il rapporto tra il reddito per addetto nel paese i e il reddito per addetto del paese j. α /( 1− α )

( )

y ssi γ i = y ss j γ j

I termini A e δ si semplificano perché avevamo supposto che fossero uguali in entrambi i paesi

La figura mostra però che il modello non si adatta bene ai dati, paesi che dovrebbero essere ricchi, sono invece poveri. In buona sostanza concludiamo che i paesi tendono a raggiungere gradualmente il proprio livello di stato stazionario.

Il modello di Solow come teoria dei tassi di crescita relativi Il modello di Solow potrebbe spiegare come mai alcuni paesi crescano più velocemente di altri. Ogni paese che abbia un tasso di investimento costante, prima o dopo raggiungerà il suo livello di stato stazionario, in cui la crescita di output per addetto sarà zero. Tutta la crescita possibile si verifica nel corso di una transizione verso il livello di stato stazionario. Tanto più il paese si trova lontano dal suo livello di stato stazionario, e tanto maggiore sarà il suo tasso di crescita. Un paese al disotto del suo livello di stato stazionario, crescerà più rapidamente, ma approssimandosi il livello di stato stazionario, il tasso di crescita rallenterà. Impieghiamo con l’espressione “convergenza verso lo stato stazionario” per descrivere questo processo per cui il tasso di crescita o di riduzione dell’output per addetto di un paese a partire da qualunque posizione di partenza è determinato dal livello di investimento. -

Se due paesi hanno lo stesso tasso di investimento, ma differenti livelli di reddito, il paese con il reddito minore presenterà tassi di crescita maggiori. Se due paesi hanno lo stesso livello di reddito, ma differenti tassi di investimento, allora il paese con il maggiore tasso d’investimento avrà una maggiore crescita economica. Un paese che incrementa il proprio tasso di investimento, determinerà un aumento del proprio tasso di crescita.

Tutto questo è possibile, a parità delle altre condizioni, quali il livello di tecnologia e qualsiasi altro fattore che influenza la crescita economica, esempio l’istruzione.

La relazione tra investimento e risparmio A ogni azione di investimento corrisponde un’azione di risparmio. La creazione di nuovo capitale richiede l’impiego di quelle risorse che avrebbero potuto essere impiegate in altri impieghi. I livelli di investimento dei paesi sono differenti perché sono differenti i loro livelli di risparmio. Ma non è detto che in un paese il livello di investimento sia uguale al livello di risparmio, poiché gli investimenti possono passare i confini nazionali. Fattori endogeni ed esogeni Le variabili endogene sono quelle il cui valore è determinato all’interno del modello. Le variabili esogene sono quelle che sono considerate come date e sono determinate all’esterno del modello. L’effetto del reddito sul risparmio Una possibile spiegazione riguardo i bassi tassi di crescita dei paesi poveri è che la gente non può permettersi di risparmiare, perciò non può permettersi di ridurre il consumo per risparmiare. Ma è altresì vero che i paesi più ricchi risparmiano di più, ma non è vero che risparmiare di più renda ricco un paese. Come si configura questo effetto all’interno del modello di Solow? Immaginiamo che non ci sia flussi di investimento internazionali in modo che ogni paese abbia il proprio livello di investimento pari a quello di risparmio. Assumiamo che il livello di risparmio dipenda dal reddito e che vi siano due diversi livelli di risparmio s 1 e s 2 dove, quest’ultimo è il maggiore, in modo tale che siano vere le seguenti condizioni: γ =s1 se y < y∗¿ γ =s2 se y ≥ y∗¿

Adoperando l’equazione γf (k ) si vengono a creare due differenti curve in corrispondenza dei due livelli di risparmio. Individuiamo inoltre un livello di output y*, che determina se un paese ha un tasso di risparmio alto o basso, e in corrispondenza del quale c’è un livello di capitale k* al di sotto del quale il livello di risparmio sarà basso e al di sopra del quale il livello di risparmio sarà alto. Se il capitale sarà maggiore o uguale a k*, l’output sarà maggiore o uguale a y*, e il risparmio sarà s2 . Se il capitale sarà minore di k*, l’output sarà minore diy*, e il risparmio sarà s 1 . Se il tasso di risparmio fosse in s 1 lo stato stazionario in corrispondenza di tale livello sarebbe ss ss indicato con k 1 mentre sarebbe k 2 se il tasso di risparmio fosse s 2 . ss ss k* si trova in mezzo a k 1 e k 2 . Ciò vuol dire che se il livello di capitale per addetto fosse inferiore a k*, allora il tasso di risparmio sarebbe s 1 e l’economia si sposterebbe verso lo stato stazionario k 1ss . Viceversa se il livello di capitale per addetto fosse superiore a k*, allora il tasso ss di risparmio sarebbe s 2 e l’economia si sposterebbe verso lo stato stazionario k 2 .

In altre parole ci sono due possibili stati stazionari a seconda del livello di capitale iniziale. Due paesi potrebbero trovarsi in situazioni identiche per quanto riguarda le determinanti del reddito ma ritrovarsi in stato stazionario con differenti livelli di reddito pro-capite. Questo è un esempio di quelli che sono noti come stati stazionari multipli, in cui la posizione di partenza di un paese è determinata da quale dei possibili stati stazionari esso tenderà a raggiungere. Golden rule È la regola che massimizza il consumo dato il tasso di investimento in stato stazionario. Si tratta di un problema di massimo e minimo date le 3 seguenti equazioni: 1.

y= k

2.

∆ k =0=¿ γy =δk =¿ γ k α = δk =¿ δ=

3.

α

γ kα =γ k α−1 k α c ss= y ss −s ss=¿ k α −i=¿ k ss −δk ss , con i=γk =δk

Si procede con la derivata prima di

c

ss

rispetto a k

ss

∆c α−1 ∆ c ss α−1 =0=¿ α k ss − δ= 0 =α k ss −δ =¿ ∆k ∆k Ma δ =γ k α −1 , perciò: α k ssα−1−γ k α −1=0=¿ α k ssα−1=γ k α −1 =¿ α=γ Il tasso di investimento che massimizza il consumo in stato stazionario deve essere pari ad α. POPOLAZIONE E CRESCITA ECONOMICA Esiste una forte correlazione negativa tra il reddito pro-capite ed il tasso di crescita della popolazione: una rapida crescita della popolazione determina la povertà di un paese. Le due determinanti della crescita della popolazione sono: la mortalità e la fertilità. Quest’ultima diminuisce al crescere della prosperità economica di un paese. Il modello di Malthus

Il modello di Malthus prende in considerazione la terra come componente della ricchezza. Quanto minore sarebbe stato un numero degli abitanti rispetto alla terra coltivabile tanto migliore sarebbe stato il loro tenore di vita, perciò quanto migliore è la loro situazione tanto più alto risulta essere il tasso di crescita. Invece l’aumentare della popolazione porta ad una diminuzione della terra disponibile e a causa di ciò la gente divenne più povera. Per Malthus, vedremo che la migliore soluzione potrebbe essere il cosiddetto contenimento morale.

La figura sopra raffigurata è una rappresentazione grafica del modello di Malthus, il quadrante (a) mostra la relazione tra il reddito pro-capite (y) e la grandezza della popolazione (L). si tratta di una relazione negativa. Mentre il quadrante (b) rappresenta la relazione tra il reddito pro-capite e lil tasso di crescita della popolazione (l). si tratta di una relazione crescente, la prima curva mostra l’effetto dell’ampiezza della popolazione sul reddito pro-capite, mentre la seconda curva mostra l’effetto del reddito pro-capite sulla crescita della popolazione. La prima relazione si chiama relazione funzionale, la seconda si chiama relazione comportamentale. Se partiamo dal punto (A) in corrispondenza del quale si individua un alto livello di reddito pro-capite notiamo che determina un tasso di crescita positivo della popolazione, se la popolazione parte dal punto (A) crescerà nel tempo, vale a dire si muoverà lungo l’asse verticale del quadrante (a), (vedi freccette). Accade il contrario se partiamo da (B), la popolazione tenderà a diminuire nel corso del tempo. Nella figura viene mostrato che c’è un livello di stato stazionario per il reddito pro-capite y ss , che è il livello di reddito in prossimità di un tasso di crescita pari a 0. In corrispondenza di questo livello di reddito si individua il livello di stato stazionario della popolazione Lss . Se questa fosse minore Lss , il reddito pro-capite si troverebbe al di sopra di y ss e quindi, la stessa dimensione della popolazione risulterebbe crescente. Al contrario, se la popolazione fosse superiore Lss , questa risulterebbe decrescente.

Supponiamo adesso che ci sia qualche miglioramento nella produttività, per esempio la scoperta di una nuova terra o l’introduzione di un nuovo tipo di coltivazione, un evento di questo tipo darebbe luogo ad uno spostamento della curva in (a) verso l’alto. Mentre nel quadrante (b) nulla cambierebbe. L’effetto immediato di questo miglioramento delle condizioni produttive è quello di migliorare le condizioni di vita delle persone. Tuttavia quest’ultime trovandosi in condizioni migliori fanno più figli e al crescere della popolazione si vedrebbero diminuiti i benefici portati dalla nuova tecnologia e dalla nuova terra disponibile. La popolazione continuerebbe a crescere fino ad arrivare agli standard di vita precedenti e tornando quindi ad un tasso di crescita pari a 0. Nel nuovo punto di stato stazionario l’economia vedrebbe la propria popolazione aumentare mentre il reddito rimane inalterato. La soluzione La risposta di Malthus fu indicata in un contenimento morale che consiste nella prevenzione delle nascite.

Un cambiamento del genere comporta lo spostamento della curva in (b) verso il basso, lasciando inalterata la curva in (a). L’economia che adotta questo tipo di soluzione raggiunge l’equilibrio di stato stazionario più basso per quanto riguarda la numerosità della popolazione, ma più alto per quello che concerne il reddito pro-capite. La crisi del modello di ...