L\'equazione di una retta passante per l\'origine PDF

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si parla dell'equazione di una retta passante per l'origine, l'equazione generale della retta e il coefficiente angolare
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3. L’ EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE EQUAZIONI DELLE BISETRICI DEI QUADRANTI DEL PIANO CARTESIANO. Prendiamo come esempio la bisettrice del primo e del terzo quadrante. I punti della bisettrice sono equidistanti dai lati dell’angolo, cioè dagli assi cartesiani. Utilizzando un punto generico P(x;y) sulla bisettrice, l’ordinata e l’ascissa, prese in valore assoluto, rappresentiamo le distanza di P dagli assi. Cioè |y|=|x|. Nel terzo e nel primo quadrante, si ha lo stesso segno sia per le ascisse sia per le ordinate, appunto:

y=x per le variabili x e y è un’equazione che caratterizza di fatto i punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante. Tutte le sue infinite soluzioni (x;y) corrispondono ai punti della bisettrice. Quindi se un punto non soddisfa l’equazione esso stesso non apparterrà alla bisettrice. Con considerazioni analoghe ricaviamo che alla bisettrice del secondo e quarto quadrante è associata la seguente equazione:

y=-x i punti di questa bisettrice hanno coordinate opposte. L’EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE Utilizziamo i punti A(1;2) e B(3;6) e la retta passante per A e per B. I due punti presi in considerazione hanno l’ordinata uguale al doppio dell’ascissa; pertanto la relazione che lega le coordinate (x;y) di ciascuno di essi è: y= 2x. Si può dimostrare che ogni altra coppia di numeri soddisfa l'equazione y=2x corrispondente a un punto della retta AB e, viceversa. Perciò l’equazione della retta AB è y=2x. L'origine O è compresa fra i punti della retta e quando la coppia (0;0) soddisfa l'equazione. in generale, sei l'ordinata è m volte l'ascissa, l'equazione è y=mx. Si può perciò dire anche le equazioni di una retta passante per l'origine, diversa dall’asse y, è del tipo: y=mx. Viceversa, un’equazione del tipo y=mx rappresenta sempre una retta passante per l’origine, diversa dall’asse y.

IL COEFFICIENTE ANGOLARE Nell’equazione y=mx m è chiamato COEFFICIENTE ANGOLARE. Per una retta passante per l'origine, il coefficiente angolare, rappresenta il rapporto fra l'ordinata e l'ascissa di ogni punto della retta, ad eccezione dell'origine. y A y B yC = = =…=m x A xB xC

O in generale

Y =m con x , y ≠ o X

Se m è positivo, anche

y x

è positivo: I punti della retta hanno coordinate entrambe

positive o entrambe negative. questo vuol dire che la retta appartiene al primo e terzo quadrante. nel semipiano di ordinate positive la retta forma con la semiretta positiva dell'asse x un angolo acuto. se m è negativo, anche

y x

è negativo: i punti della retta hanno coordinate discordi.

ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto quadrante. nel semipiano di ordinate positive la retta forma con la semiretta positiva dell'asse x un angolo ottuso. LE EQUAZIONI DEGLI ASSI CARTESIANI Consideriamo i punti (-1;0), (0;0), (2;0),… Essi come tutti gli altri punti dell’asse x, godono della stessa proprietà la loro ordinata è 0. Prendiamo allora come equazione dell’asse x l’uguaglianza y=0. L’equazione dell’asse x può essere vista come caso particolare dell’equazione y=mx, quando m=0, mentre quella dell’asse y non è di tipo y=mx.

4. L’EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA L’EQUAZIONE DI UNA RETTS PARALLELA A UN ASSE I punti (-1;2), (0;2), (3;2),… appartengono ad una retta parallela all’asse x e godono della stessa proprietà cioè hanno l'ho ordinata uguale 2. Per questo l’equazione della retta è y=2. I punti (3;-1), (3;0), (3;2),… appartengono ad una retta parallela all’asse y. Essi hanno ascissa uguale a 3, come tutti i punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che l’equazione della retta è x=3. In generale vale la seguente proprietà:

l’equazione di una retta parallela all’asse x è y=k l’equazione di una retta parallela all’asse y è x=h. LA FORMA ESPLICITA Y=mx+q Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione y=2x. Scegliamo sulla retta due punti O (0;0) e A (1,2). Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q (0;3), e B (1;5). Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché ha i lati opposti OQ e AB paralleli e congruenti. La retta s passante per B e Q risulta parallela alla retta r. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione y=2x+3 Se aumentiamo sempre di 3 l’ordinata di un qualsiasi punto di r, per esempio (-2; -4), otteniamo il punto (-2; -1) che appartiene alla retta s, perché le sue coordinate soddisfano l’equazione y=mx, una retta a essa parallela passante per il punto (0; q) ha equazione y=mx+q. Viceversa, una retta, che intersechi l’asse y nel punto di ordinata q, può essere associata un’equazione del tipo y=mx+q, essa viene chiamata equazione esplicita della retta. 7 FORMA ESPLICITA: y= mx + q Ogni retta del piano, non parallela all’asse y è rappresentata da un’equazione del tipo: y=mx+q. Il coefficiente q è chiamato termine noto oppure ordinata all’origine, perché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. L’EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA IMPLICITA Tutte le rette del piano possono essere rappresentate dall’equazione esplicita y=mx+q, tranne l’asse y e le rette parallele a esso. Non esistono infatti valori di m o di q che, se sostituiti nell’equazione, ci forniscano equazioni del tipo x=0 oppure x=k. L’equazione che riesce a soddisfare tutte le possibili rette del piano è della forma ax + by+ c = 0, dove a, b ,c sono numeri reali e a, b non siano entrambi nulli. Si dice in questo caso che l’equazione della retta è in forma implicita, ciò sta a significare che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione all’altra. Proprietà: EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA: ogni retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare del tipo: ax + by + c = 0

Dove a,b,c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA È possibile trasformare un’equazione scritta in forma implicita nella sua equivalente scritta in forma esplicita ricavando y (purchè si b ≠ 0 y=

−a c x− b b

Osserviamo che il coefficiente angolare è -

a b

e il termine noto

−c . b

5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE Prendiamo in considerazione la retta di equazione y = 3X + 2 e tre suoi punti A (1;5) B (2;8) e C (3;11).Calcoliamo ora il rapporto fra la differenza delle ordinate la differenza delle ascisse dei punti A e B: y B− y A 8−5 = =3 x B−x A 2−1

Eseguiamo lo stesso procedimento per B e C: y A − y B 11 −8 = =3 3−2 xC− xB

In entrambi i casi il coefficiente angolare della retta è pari a 3. Potevamo ottenere lo stesso risultato scegliendo una qualsiasi altra coppia di numeri appartenenti alla retta. Il coefficiente angolare da informazioni sulla pendenza della retta. In generale, dati due punti distinti A (xA;yB) e B (xB;yA) appartenenti alla retta di equazione y=mx+q, ricavo la forma che esprime il coefficiente angolare m in funzione delle coordinate dei due punti. Poiché entrambi i punti soddisfano la medesima equazione otteniamo una nuova eguaglianza vera se sottraiamo membro a membro, cioè eguagliamo la differenza tra il primo membro della prima e il primo membro della seconda alla differenza tra il secondo membro della prima e il secondo membro della seconda. yA-yB= (mxA+q)-(mxB+q) yA-yB =mxA-mxB ricaviamo m: m=

y B− y A x B−x A

Proprietà: COOEFFICIENTE ANGOLARE E COORDINATE DI DUE PUNTI: Il coefficiente angolare di una retta di equazione y= mx + q e il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque distinti dalla retta. Si hanno dei casi particolari: 1. se due punti A e B hanno la stessa ordinata, si ha yB-yA=0 e m=

y B− y A =0 x B−x A

quindi il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse x è m=0 2. se i punti A e B hanno la stessa ascissa, si ha xB-xA= 0, e la frazione

y B− y A x B−x A

perde di significato, quindi il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse y non esiste....