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JHONNY DE JESÚS MEZA OROZCO Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Especialista en Finanzas y especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Diplomado en Ingeniería Financiera en el ITSM de Monterrey. Diplomado en Finanzas Avanzada...

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Libro matematica financiera jhonny meza Natalia Cortázar

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JHONNY DE JESÚS MEZA OROZCO Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Especialista en Finanzas y especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Diplomado en Ingeniería Financiera en el ITSM de Monterrey. Diplomado en Finanzas Avanzadas de la Uninorte y Eafit. Profesor de tiempo completo en la Universidad Popular del Cesar. Catedrático de Matemáticas Financieras en la Universidad de Santander. Profesor de Posgrado en el área financiera de las universidades del Norte, del Sinú, de Sucre, Tecnológica de Bolívar, de Cartagena, Popular del Cesar; en la Corporación Universitaria del Caribe. Vicerrector de Investigación y Extensión de la Universidad Popular del Cesar. Miembro de la Sociedad Colombiana de Ingenieros. Autor de Evaluación Financiera de Proyectos.

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!) "  )**+))**/ % '; ;  > 566 p.; 24 cm. ISBN 978-958-648-728-3 >)!'        ........................................................................................... ? >   ................................................................................................. # >   ............................................................................................ 4.1 Valor presente de un gradiente lineal decreciente .................................................  >   @  ...........................................................................  >   ..................................................................................... G >  ................................................................................ Valor presente de un gradiente geométrico decreciente ..................................... * >     ............................................................................. 6.1 Valor presente de un gradiente geométrico escalonado ..................................... Ejemplo resumen ............................................................................................................................... Solucionario Capítulo 6 ...................................................................................................................

397 397 399 399 399 400 415 415 421 421 427 427 430 430 433 442

IX

Jhonny de Jesús Meza Orozco

CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN .................................................................... H  ................................................................................................................................ 1. Sistema de amortización ................................................................................................... 1.1 Composición de los pagos ............................................................................................... 1.2 Tabla de amortización ........................................................................................................ 1.3 Cálculo del saldo insoluto................................................................................................. 2. Sistemas de amortización ................................................................................................. G / K  W       K ................................ GG  ........................................................................................................... G?    @  .................................................... G#      ............................................................. 2.5 Sistema de abono constante a capital ......................................................................... Con intereses vencidos ...................................................................................................... Con intereses anticipados ................................................................................................. G*     ..................................................................... 2.7 Sistema de cuotas crecientes en forma lineal ........................................................... 2.8 Sistema de cuotas crecientes en forma geométrica............................................... GY / K    !       ........................................................................................................... GH   Z &$%'.......................................................... 2.11 Sistema de abono constante a capital con tasa variable (D.T.F.) ........................ Solucionario Capítulo 7 ...................................................................................................................

455 455 455 456 456 456 457 457 458 460 462 467 467 472 476 477 480

CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN ............................... 0. Introducción ........................................................................................................................... 1. Tasa de descuento ............................................................................................................... 2. Valor presente neto (VPN) ................................................................................................ 2.1 Criterios para seleccionar alternativas usando el VPN .......................................... 2.2 ¿Qué muestra el VPN? ....................................................................................................... 2.3 Conclusiones sobre el VPN .............................................................................................. 2.4 Valor presente neto no periódico (VPN. NO PER.) .................................................. 3. Tasa interna de retorno (TIR) ...........................................................................................  \  ]    $^ ..............................................................................  _`    kw={..............................................................................    $^............................................................................................................ Criterios de selección de alternativas usando la TIR .............................................. # $Z &$^ ' .................................................... 5. Tasa interna de retorno no periódica (TIR. NO. PER.) ............................................. Cuestionario ......................................................................................................................................... Solucionario Capítulo 8 ...................................................................................................................

495 495 496 496 502 512 513 513 516 523 523 524 526 526 530 532 533

482 484 487 489

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 549

X

PRÓLOGO P RÓLOGO

Loss op Lo por o tunos comentarios recibidos de par arte t d e pr p ofes of e ores ess d e lla am ateria, alumnoss at oportunos parte de profesores de materia,      !  | "               !         | | "          

          tercera edición de tecnológico materia sobre la ter erce cera r edi dici ción d e este libro, y el avance tecn cno ológ ol ógic ico o en n mat teria ad de herramientas        K}       

        

     

    K }               es sta ta ccua uarrta e edi diciión. Son muchos los cambios os ccon on respecto a la ttercera erce era e edi dici di ción ci ón.. El u ón uso so esta cuarta edición. edición.    }    ] ]  @            "K    } ]  @     "K  Mate temá máti ticcas Financieras, Financiera Fi ras, s, que que se se ap apoy oyan an e en el ssupuesto u ue up esto de la rein nve vers rsió ión n a un una a mi misma Matemáticas apoyan reinversión veces, Bajo esta tasa ta sa d de interés, y esto en la práctica es, muchas ve vece c s, irreal. B ajo oe sta concepción se e Matemática fueron fórmulas enseña ña tod ttodavía odav avía í la l Ma Mate temá máti tica ca Fin FFinanciera inan anci cier era a y as asíí fu fue eron cconcebidas o cebidas la on las fó fórm mul ulas para hacer ] ]  

           Z    

            + +    



           ]    Z   +       de tiempo, de tal forma que la concepción tradicional prese ent nta a su suss limitaciones. Por estas presenta razones, en este texto, se plantean nuevas situaciones a través de ejercicios resueltos y propuestos, en las cuales es necesario considerar el escenario de tasas va vari riab able less. variables. En el capítulo capí ca pítu tulo lo 3, 3 Interés Inte In teré réss compuesto, com co mpuesto, se incluye el cálculo del valor futuro y valor presente con tasa variable. En este mismo capítulo se utiliza, para los ejercicios que eran resueltos con una ecuación matemática conocida como ecuación de valor, la función de Excel, Buscar objetivo que resuelve cualquier ecuación de una incógnita, como lo son las ecuaciones de las Matemáticas Financieras. También se incorporan a los cálculos  

  Z      %` HHk %` GHHk k    Z   %`HHk %`GHHk En el capítulo 4, Tasas de interés, se resuelven nuevos ejercicios de conversiones de   !           Z ]    !         Z]  una importante discusión sobre la consideración de las tasas periódicas como tasas efectivas. Se estudia en detalle la tasa de referencia DTF y la unidad de valor real (UVR). 

    * &/   >'       Z!    *&/   >'    Z!]              !       @

]         !   @  Buscar objetivo, escenario este que le permitirá al lector visualizar a través de una tabla   K  Z

      K Z

   En el capítulo 7, Sistemas de amortización, además de los sistemas tradicionales |    K   K    !        |   K K   !          Z !         

  Z !         referenciado con la tasa DTF.

Jhonny de Jesús Meza Orozco

  €!]    kw=  $^   +    Z  !        sariamente tienen que ser periódicos, que se resuelven por medio del VPN y la TIR no periódicos. Creemos que de esta forma presentamos a la comunidad universitaria y al sector      K!   Z   } |    Z  !               Jhonny de Jesús Meza Orozco [email protected]

XII

‚   @ K; | } hecho enormes fortunas personales y los que no poseen nada en absoluto. Para un millonario, mil millones de pesos es algo concreto y comprensible. Para el experto en matemáticas aplicadas y para el conferencista de temas económicos (suponiendo que ambos se encuentren en la miseria) mil millones de pesos son tan irreales como un millón de pesos, pues nunca han poseído esas sumas. Pero el mundo está lleno de personas que se hallan entre ambas categorías extremas, personas que nada saben de millones pero que están muy acostumbradas a pensar en miles, y son precisamente éstas las que forman los comités de K C. Northcote Parkinson

CAPÍTULO C APÍTULO 0

Preliminares Matemática La M a emát at átic ica a es es la la reina rein re ina de las ciencias ciienciias Aritmética reina dee la Matemática. y la A rittmét ri tmétic ica a la rein na d C. C F. F. GAUSS AUS SS

NTRODUCCIÓN 1. INTRODU UCC CCIIÓN ÓN

Ha sido evidente para el autor, por su experiencia como docente universitario en el ]K!  Z | !  W !@} ]  K!   Z   | !      W !! @} que asiste curso Matemáticas una buena parte del alumnado qu q e as asis iste te al al cu curs rso o de Mat M ate emát átiicas Financieras, no obstante haber educación tant ta nte e ha habe berr ccursado ursado d las matemáticas básicas en los primeros semestres de educación sicológicas superior. Las causas son diversas, entre las que se destacan circunstancias sicológicas desay, sobre todo, metodológicas. En primer lugar, poco es lo que se ha hecho por desarraigar la prevención de que la ciencia matemática es demasiado difícil y está destinada a personas dotadas de condiciones excepcionalmente especiales. Y, por otra parte, la metodología desarrollada por algunos docentes no despiertan el entusiasmo y el interés hacia esta ciencia. La Matemática Financiera es una rama de la matemática básica cuyo soporte es

/$ !|       |  

 / $  ! |             |     llamarse Aritmética Financiera, a ya que para su manejo y comprensión sólo es necesario aplicar las operaciones fundamentales de la aritmética, algo de sentido común y capacidad de análisis. Consciente el autor de esta realidad y con el ánimo de que el lector pueda abordar sin prejuicios el estudio de este texto, se propone exponer en este capítulo, en una forma clara y resumida, las operaciones fundamentales de la Aritmética, haciendo referencia a

 |   

    \]

    |       

        \] Financieras, aunque lo ideal sería que el lector hiciera un repaso general y concienzudo de esta materia utilizando cualquiera de los tantos textos que sobre este tema existen.

1

Jhonny de Jesús Meza Orozco

/ @        que contienen programas y comandos que permiten la solución rápida de las operaciones fundamentales de la Aritmética, es conveniente revisar los conceptos básicos de esta w K! ]      tal simplicidad que posibiliten su comprensión total.

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se acostumbran representar por las últimas letras del alfabeto: x, y, z. Así: x ⫹ 4 ⫽ 9 es una ecuación que sólo es verdadera para x ⫽ 5. En efecto, si reemplazamos x por 5, obtenemos 9 ⫽ 9. Hay varias clases de ecuaciones: la ecuación numérica, que es aquella que no tiene más letras que la incógnita y la ecuación literal, o sea, aquella que además de la letra de las incógnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas. 2x ⫹ 45 ⫽ x ⫺ 6 2x ⫺ b ⫽ 4x ⫹ c

es una ecuación numérica es una ecuación literal

El grado de una ecuación viene determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación. Así, la ecuación: x ⫹ 6 ⫽ 24, es una ecuación de primer grado, porque el mayor exponente de x es 1. La ecuación: 2x2 ⫺ 4x ⫹ 12 ⫽ 0, es una ecuación de segundo grado, porque el mayor exponente de x es 2. Resolver una ecuación consiste en hallar el valor o los valores de las incógnitas que cumplan la igualdad.

2.1 Principios fundamentales de las ecuaciones †

Si a los dos miembros de una ecuación se suma, o resta, una misma cantidad, se conserva la igualdad. Si a ⫽ b a ⫹ 1 ⫽ b ⫹ 1

†

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican, o dividen, por una misma cantidad, se conserva la igualdad. Si a ⫽ b  a ⫻ 6 ⫽ b ⫻ 6

†

a⫽b

a b ⫽ 6 6

Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o se les extrae la misma raíz, se conserva la igualdad. Si a ⫽ b  a2 ⫽ b2

2

a⫽ba⫺1⫽b⫺1

a ⫽ b  a ⫽ b

Preliminares

Ejemplo 0.1 †

Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 5x ⫺ 8 ⫽ 2x ⫹ 3. Haciendo transposición de términos se agrupan los semejantes: 5x ⫺ 2x ⫽ 3 ⫹ 8  3x ⫽ 11  x ⫽

†

Desarrollar la siguiente ecuación:

11 3

x 3x ⫺ x ⫽ 6x ⫺ 40. ⫹ 5 4

Un primer procedimiento consiste en reducir todos los términos a un común denominador por medio del m.c.m. Para este ejercicio el m.c.m se puede hallar por simple inspección y es igual a 20. 20 ( 6 x ⫺ 40 ) 20 ( 6 x ⫺ 40 ) 4x 15 x 20 x ⫺x ⫹ ⫺ ⫽ ⫽ La ecuación quedaría:  20 20 20 20 20 20 Desarrollando la ecuación, se tiene: ⫺x ⫽ 20(6x ⫺ 40) ⫺x ⫽ 120x ⫺ 800 Agrupando términos comunes, se tiene: 121x ⫽ 800  x ⫽

800 ⫽ 6.61 121

El segundo procedimiento consiste en convertir cada quebrado en número decimal:

x 3x 3 1 ⫽ x ⫽ 0.75 x ⫽ x ⫽ 0.20 x 4 4 5 5 La ecuación queda: 0.20x ⫹ 0.75x ⫺ x ⫽ 6x ⫺ 40. Agrupando términos semejantes: 6x ⫺ 0.20x ⫺ 0.75x ⫹ x ⫽ 40

6.05x ⫽ 40.

40 ⫽ 6.61 6.05 ( 2 x ⫹ 12) ⫺ 4 x ⫽ 5 x Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 1.3456 1.2326 x⫽

†

En Matemáticas Financieras, por lo general, se trabaja con ecuaciones fraccionarias de primer grado en las que el denominador es un número decimal. En estos casos se recomienda convertir cada fracción en un número decimal y desarrollar la ecuación siguiendo el segundo procedimiento del ejemplo anterior. Analicemos cada fracción en forma independiente: El término

( 2 x ⫹ 12) lo podemos asimilar como el resultado de sumar dos quebra-

1.3456 dos de igual denominador, por lo tanto, se puede descomponer de la siguiente forma:

( 2 x ⫹ 12) ⫽ 1.3456

2x 12 ⫹ 1.3456 1.3456

La ecuación quedaría...