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Loesung der EInsendeaufgaben 3 Grundlagen der Statistik...

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L¨osung der Einsendeaufgaben

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Kurs 40601 Grundlagen der Statistik Kurseinheit 3 L¨ osungskommentare A und C sind richtig.

Aufgabe 1 Die absoluten und relativen H¨aufigkeiten sind: Merkmalswert xj N S O W P

absolute H¨aufigkeit hj 5 9 3 3 20

relative H¨ aufigkeit fj 0.25 0.45 0.15 0.15 1.00

zu A: Das S¨aulendiagramm stellt die relativen H¨ aufigkeiten richtig dar. zu B: Die Anteile der Fl¨achen der Kreissektoren an der Gesamtfl¨ ache des Kreises stimmen nicht mit den relativen H¨ aufigkeiten u ¨berein. Im Diagramm sind folgende Wahrscheinlichkeiten eingezeichnet: 25% (N), 35%(S), 20%(W), 20%(O). zu C: Die Fl¨achenproportionen entsprechen den relativen H¨aufigkeiten. zu D: Es liegt ein nominales Merkmal vor, so dass ein Liniendiagramm in dieser Form nicht verwendet werden kann. C und D sind richtig.

Aufgabe 2

Aus der empirischen Verteilungsfunktion mit n = 200 k¨onnen folgende Daten ermittelt werden: Klasse (0;50] (50;100] (100;150] (150;200]

Klassenmitte xj 25 75 125 175

abs. H¨ aufigkeit hj 90 20 70 20

rel. H¨ aufigkeit fj 0.45 0.10 0.35 0.10

Fj 0.45 0.55 0.90 1.00

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L¨osung der Einsendeaufgaben

zu A: Der Median befindet sich in der Klasse, in der 50% der Beobachtungen erreicht werden, d.h. in der Klasse 2. F¨ur das arithmetische Mittel gilt: m 1 1X xj hj = x = (25 · 90 + 75 · 20 + 125 · 70 + 175 · 20) 200 n j=1

=

1 1 (2250 + 1500 + 8750 + 3500) = 16000 = 80 200 200

zu B: m

m

2

s˜

1X 2 1X (xj − x)2 hj = = xj hj − x2 n j=1 n j=1 1 (625 · 90 + 5625 · 20 + 15625 · 70 + 30625 · 20) − 5625 200 1 (56250 + 112500 + 1093750 + 612500) − 5625 = 200 1 1875000 − 6400 = 2975 = 200 =

zu C: Da keine Originaldaten vorliegen, dient die Klassenmitte als repr¨asentativer Wert. Mit xmod = 25 < xmed = 75 < x = 80 liegt nach der Fechnerschen Lageregel eine rechtsschiefe Verteilung vor. zu D: xj

hj

fj

xj hj

25 75 125 175 P

90 20 70 20 200

0.45 0.1 0.35 0.1 1.0

2250 1500 8750 3500 16000

gj =

xj hj m P xk hk k=1

0.140625 0.09375 0.546875 0.21875 1.0

Fj

Gj

0.45 0.55 0.9 1

0.140625 0.234375 0.78125 1

m i hX (Fj−1 + Fj ) · gj −1 LKM = j=1

= (0.45 · 0.14 + 1 · 0.09 + 1.45 · 0.55 + 1.9 · 0.22) − 1

= (0.063 + 0.09 + 0.7975 + 0.418) − 1 = 0.3685

L¨osung der Einsendeaufgaben

Seite: 3 A,B und C sind richtig.

Aufgabe 3 q 1266 zu A: r = b · s˜s˜yx = 3.7 18888 = 0.9579 zu B: Laut der Streuungszerlegung gilt

Gesamtvarianz = erkl¨arte Varianz + Restvarianz. Die erkl¨arte Varianz ergibt sich somit zu Gesamtvarianz - Restvarianz = 18888 − 1659 = 17229. zu C: Da der Regressionskoeffizient b = 3.7 positiv ist, so liegt eine steigende Gerade vor und somit auch ein positiver linearer Zusammenhang. zu D: Das Bestimmtheitsmaß berechnet sich zu R2 = r 2 = 0.9176. Somit werden durch die lineare Regression 91.76% der Varianz der Y Werte erkl¨ art.

B und E sind richtig.

Aufgabe 4

Es gibt 6·5 = 30 M¨oglichkeiten, zwei bestimmte Kugeln ohne Zur¨ucklegen zu ziehen, wobei die Reihenfolge der Kugeln zu ber¨ucksichtigen ist: 1. Kugel 1 2 3 4 5 6

2. Kugel 1 2 3 4 5 r r g g r r g g r r g g r r r g r r r g r r r g g

6 g g g g g

zu A:   P (B) = P (1; 4) ∪ (1; 5) ∪ (1; 6) ∪ ... ∪ (5; 6) ∪ (6; 4) ∪ (6; 5) = P (1; 4) + ... + P (6; 5) 1 15 = = 2 30

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  zu B: P (A ∩ B) = P (1; 4) ∪ (1; 5) ∪ (1; 6) =

3 30

=

1 10

zu C: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (B ∩ A) = 305 + 21 −

1 10

=

17 30

zu D: P (A ∩ B ) P (A|B) = = P (B)

1 10 1 2

=

1 5

zu E: Die Ereignisse A und B sind unabh¨angig, wenn P (B|A) = P (B ) gilt. P (B|A) =

P (B ∩ A) = P (A)

1 10 1 6

=

3 1 6= 2 5

Somit sind A und B abh¨ angig.

A und B sind richtig.

Aufgabe 5

Aus der gegebenen Verteilungsfunktion ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: xi fX (xi )

-3 0.1

-2 0.2

-1 0.1

0 0.2

1 0.1

2 0.2

3 0.1

zu A: P (−1 ≤ x ≤ 1) = P (−1) + P (0) + P (1) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4 zu B: P (−5 ≤ x < 0) = P (−3)+ P (−2)+ P (−1) = 0.1+0.2+0.1 = 0.4 zu C: P (0 < x < 2) = P (1) = 0.1 zu D: Die Verteilung ist um Null symmetrisch, so dass der Erwartungswert den Wert Null annimmt. E(X) =

n X

xi fX (xi )

i=1

= −3 · 0.1 − 2 · 0.2 − 1 · 0.1 +0 · 0.2 + 1 · 0.1 + 2 · 0.2 + 3 · 0.1

= 0

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Seite: 5 C ist richtig.

Aufgabe 6

zu A: E(Y ) = 2E (X1 ) − 21E(X2 ) + 43 E(X3 ) = 2 · 5 − 21 4 + 34 4 = 11 zu B: F¨ ur die Varianz gilt der Steinersche Verschiebungssatz Var(X) = E (X 2 ) − [E (X )]2 .

Somit ergibt sich Var(X1 ) = 50 − 25 = 25.

zu C: Es ist E(Z) = −2E (X1 ) + 21E(X2 ) = −10 + 2 = −8 und mit Var(X1 ) = 25 und Var(X2 ) = 32 − 16 = 16 gilt fu¨r die Varianz Var(Z) = 4Var(X1 ) + 41Var(X2 ) = 100 + 4 = 104. ¨ bereinstimmung der Erwartungswerte stets, dass zu D: Folgt aus der U auch die Erwartungswerte der quadrierten Zufallsvariablen denselben Wert annehmen, so m¨ussten auch stets die Varianzen ¨ubereinstimmen, wie der Steinersche Verschiebungssatz verdeutlicht. Dies ist jedoch nicht der Fall. A und D sind richtig.

Aufgabe 7 zu A: X ∼ N (0, 1)

P (−2σ ≤ X ≤ 2σ ) = P (−2 ≤ X ≤ 2) = P (X ≤ 2) − P (X ≤ −2) = P (X ≤ 2) − [1 − P (X ≤ 2)] = 2P (X ≤ 2) − 1 = 2 · 0.9772 − 1 = 0.9544

zu B: X ∼ N (µ, σ 2 ) P (−2σ ≤ X ≤ 2σ ) = P ( −2σσ−µ ≤ X−µ ≤ σ = P ( −2σσ−µ ≤ Z ≤

2σ−µ ) σ µ=0 2σ−µ ) = σ

P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544

F¨ ur die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z gilt nach den ¨ berlegungen P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544. Dies gilt vorangegangen U hier nur, wenn µ den Wert Null annimmt. zu C: a − bX ∼ N (a − bµ, b2 σ 2 ) ur X ∼ N (µ, σ 2 ) gilt P (X ≤ µ) = P (X ≥ µ) = 0.5, da die zu D: F¨ Normalverteilung eine um µ symmetrische Verteilung ist.

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B, C und D sind richtig.

Aufgabe 8

zu A: Das zweiseitige Konfidenzintervall f¨ ur µ berechnet sich zu   X − z1− α2 √σn ; X + z1− α2 √σn . Gesucht ist der Stichprobenumfang n. Mit x = 75, σ = 12 und der Angabe des 95%-Konfidenzintervalls von [73.53; 76.47] gilt: 76.47

12 = x + z1− α2 √σn = 75 + 1.96 √ n

⇔ 76.47 − 75 = 1.96 √12n √ 12 = 16 ⇔ n = 1.961.47 ⇔ n = 256 zu B: Gesucht ist das Signifikanzniveau α. Mit x = 75, σ = 12, n = 144 und der Angabe des Konfidenzintervalls von [72.19; 77.81] gilt: = x + z1− α2 √σn = 75 + z1− α2 ⇔ 77.81 − 75 = z1− α2 ⇔ 2.81 = z1− α2 77.81

12 12

Daraus folgt aus der Tabelle im Glossar α = 0.01. zu C: Hier ist σ unbekannt, so dass die t-Verteilung zugrunde gelegt wird. Das einseitige Konfidenzintervall f¨ ur µ berechnet sich zu   X − t1−α(n − 1) √Sn ; ∞ . Mit x = 75, s = 15, n = 25 und α = 0.01 gilt:     ; ∞ = 67.524; ∞ . 75 − 2.492 15 5 zu D: Auch hier ist σ unbekannt, jedoch gilt n > 30, so dass die approximative Normalverteilung zugrunde gelegt wird. Das approximative einseitige Konfidenzintervall f¨ ur µ berechnet sich zu:   X − z1−α √Sn ; ∞ . Mit x = 75, s = 15, n = 100 und α = 0.01 gilt: 

75 − 2.33

   15 ; ∞ = 71.505 ; ∞ . 10

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B ist richtig.

Aufgabe 9

zu A: Es ist z0.975 > z0.95 , d.h. co (0.05) > co (0.1) = x. Somit ist f¨ ur α = 0.05 keine Ablehnung m¨oglich. zu B: Da co (einseitig) < co (zweiseitig) = x, wird H0 abgelehnt. zu C: Das arithmetische Mittel X ist eine geeignete Pr¨ufgr¨oße, da X erwartungstreu und effizient ist. zu D: Hier ist keine Aussage m¨ oglich.

A,D und E sind richtig.

Aufgabe 10

erfolgreich erfolglos P

K¨ oln 31 19 50

usseldorf D¨ 12 13 25

Essen 17 8 25

P

60 40 100

zu A: Die Nullhypothese, dass keine Unterschiede in den Filialen vorliegen, ist gleichbedeutend mit der Nullhypothese, dass die Merkmale Filiale und Erfolgsquote unabh¨ angig sind. Unterschiedliche Erfolgsquoten deuten auf eine Abh¨angigkeit hin. Der χ2 ¨ angigkeitstest eignet sich somit zur Uberpr¨ Unabh¨ ufung der Fragestellung. zu B: Da keine Vorgabe ¨uber eine bestimmte Verteilung der Erfolgsquo¨ te vorliegt, ist der χ2 -Anpassungstest hier nicht zur Uberpr¨ ufung der Fragestellung geeignet. zu C: Die Aussage ist falsch. Bei dem χ2 -Unabh¨ angigkeitstest wird die Nullhypothese stets abgelehnt, wenn die Pr¨ ufgr¨oße gr¨oßer als der kritische Wert co ist. Pm Pr (hjk −nˆπjk )2 zu D: F¨ ur den Wert der Testgr¨oße χ2 = ergibt k=1 j=1 nˆ πjk sich mit der Hilfstabelle

h1k h2k

hj1 31 19

nˆ π j1 30 20

hj2 12 13

nˆ π j2 15 10

hj3 17 8

nˆ π j3 15 10

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der Wert χ2 = =

9 4 1 9 4 1 + + + + + 30 15 15 20 10 10 135 27 27 + = = 2.25 . 30 20 60

zu E: Der kritische Wert ergibt sich mit (2 − 1) · (3 − 1) = 2 Freiheitsgraden und α = 0.1 zu 4.605 (s. im Glossar die Tabelle der ufgr¨oße kleiner als der kritische Wert ist, χ2 -Verteilung). Da die Pr¨ kann H0 , es gibt keine Unterschiede zwischen den Filialen, nicht abgelehnt werden....