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STATISTICA PER LE DECISIONI ECONOMICHEModulo 2 PROF. BRAMANTE1. SERIE STORICHE E NUMERI INDICILa serie storica indica una successione ordinata di informazioni classificate secondo la modalità qualitativa del tempo, indica quindi l’istante temporale in cui la serie è stata individuata. Il deponente è...

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STATISTICA PER LE DECISIONI ECONOMICHE Modulo 2 PROF. BRAMANTE 1. SERIE STORICHE E NUMERI INDICI La serie storica indica una successione ordinata di informazioni classificate secondo la modalità qualitativa del tempo, indica quindi l’istante temporale in cui la serie è stata individuata. Il deponente è il t tempo e rappresenta l’istante finale di rilevazione, si parte da t per arrivare a T. Abbiamo X 1 , X 2 ,… X T , dove per esempio X 1 indica il valore della variabile X al tempo 1. La modalità di rilevazione deve essere equi-spaziata, ovvero non devono esserci dei punti temporali non presenti all’interno della serie in analisi, così come la tipologia di elaborazione deve essere uniforme, ovvero non può essere in alcuni punti annuale ed in altri trimestrale. Per esempio, vediamo la serie storica dell’emissione di CO2 in Australia, il marcatore temporale è di 16 anni, è numerico ma qualitativo, perché si tratta di date trasformate in numero.

I numeri indici possono essere di due tipi:  Semplici: indicano un’unica serie storica. o A base fissa. o A base mobile.  Compost: indicano più serie storiche.

Per quanto riguarda i numeri indici semplici, indichiamo con il rapporto tra due osservazioni prese in due istanti temporali, dove l’istante temporale 0 è quello BASE scelto. Il numero indice a BASE FISSA è quel rapporto temporale in cui la base viene scelta in un punto temporale e viene mantenuta tale. Può essere espressa in frazione con base unitaria o non unitaria:

oppure

1

Il 100 rappresenta un coefficiente di traslazione con cui si unificano i valori del rapporto base unitario (viene scelto il 100 perché viene usato per gli indici di inflazione e viene comodo).

I numeri indici a BASE MOBILE è il rapporto tra due consecutivi termini. Per esempio, nella Borsa, il rapporto di un dato di una giornata in una settimana, è lo stesso dato dello stesso giorno della settimana precedente, in cui X t rappresenta il giorno della settimana attuale e X t −5 il giorno della settimana scorsa (devo andare indietro di 5 valori perché 5 sono i giorni lavorativi in borsa). Anche qua si considera a base unitaria o non unitaria.

o Per esempio:

SI nota il calcolo dei numeri indici a base fissa (base: istante temporale 1), sia in base unitaria che non (=costante moltiplicativa 100), e dei corrispondenti in base mobile, sia unitaria che 100. Il rapporto statistico descrive qualcosa che può poi essere interpretato per mezzo della percentuale. Per quanto riguarda i numeri indici a base fissa, per esempio, considerando come istante temporale la base 1 e l’istante temporale 3, se 1,0852 è il numero indice, la percentuale sarà 8,52%, questo indica il rialzo dell’aumento di CO2 in Australia tra il punto temporale 1 e 3. E così via. Per quanto riguarda i numeri indici a base mobile, per esempio, considerando come istanti temporali 6 e 7, ovvero due termini consecutivi della serie, in questi casi la percentuale diventa leggermente più complicata. Osserviamo che se il numero indice è sotto 1, la variazione sarà negativa, se sopra 1 positiva. 2

Dopo che si hanno a disposizione questi numeri si possono fare alcune elaborazioni di contorno, per esempio il cambiamento della base, questo è molto importante per l’inflazione. Il cambiamento della base si applica solo agli indici a base fissa per motivi logici. Per esempio:

Ricordiamo che solitamente, quando troviamo 100, rappresenta la base. Considerando la tabella precedente, prendendo come base l’istante temporale dell’anno 1 e 4, dovremmo fare 346,91/307,43= 1,1284*100=112,84, questo è l’indice dell’anno 4 con base anno 1, che in questo esercizio di cambio della base diventa il punto di riferimento. 112,84 racchiude quindi il rapporto tra il valore al tempo 1 e 4. Utilizzo un coefficiente di raccordo che mi raccorda la vecchia base con quella nuova, che ha come numeratore la nuova base e come denominatore la vecchia base. Dobbiamo trovare l’indice riferito all’anno t con base la nuova base (nb). Prendo quindi gli indici con la vecchia base e li divido per il coefficiente di raccordo, ovvero l’indice riferito alla nuova base con base la vecchia base:

A denominatore si considera quindi il 112,84, mentre a numeratore si considera tutta la colonna base 1. È importante moltiplicare sempre per 100.

Prendiamo per esempio il calcolo dell’indice al tempo 9 con base 4, quindi al denominatore vi sarà sempre il 112,84, ovvero l’indice al tempo 4 con base 1(=coefficiente di raccordo), mentre al 3

numeratore vi sarà l’indice al tempo 9 con base 1 (=indice vecchia base), ovvero (112,70/112,84) *100= 99,88 è il nuovo valore che nella tabella soprastante viene inserito nella colonna sotto base 4. REMIND: TUTTI I NUMERI SEMPRE MOLTIPLICATI PER 100.

Per quanto riguarda il passaggio da indice a base fissa a base mobile, come prima, non abbiamo a disposizione i numeri originali, perché se no basterebbe calcolarli.

Se osserviamo l’esempio, ci viene richiesto l’indice al tempo 9 con base al tempo 8, quindi la frazione sarà fatta tra indici calcolati entrambi al tempo 8 e 9 con base al tempo 1, quindi (112,70/110,92) *100= 101,61. Se invece si intende fare il passaggio da base mobile a fissa, è importante operare con gli indici in base unitaria e non 100, per poi trasformarli in base 100. Per arrivare ad un indice a base fissa devo moltiplicare (=concatenare) tutti gli indici a base mobile disponibili fino a quell’istante temporale:

Se ci venisse chiesto di trovare l’indice al tempo 4 con base 2, basta togliere nella moltiplicazione il primo fattore che indica l’indice al tempo 2 con base 1. Il concatenamento è importante perché 4

quando gli indici adiacenti degli indici si accoppiano con riferimento al numeratore e al denominatore, come vediamo il tempo 2 si attacca all’indice dopo diventando la base e così via:

Il concatenamento è quell’operazione che mi elide le basi, infatti, alla fine, l’indice richiesto, elide tutte le basi in mezzo in quanto è al tempo 4 con base 1, notiamo che appunto, trovare l’indice al tempo 4 con base 1 porterebbe lo stesso risultato ovvero 112,84. Si scrive in questo ordine però perché spostando gli indici non sarebbe bello dal punto di vista formale.

Consideriamo il seguente tema d’esame: DOMANDA 1:

È necessario fare il concatenamento, che ci permette quindi di arrivare all’indice richiesto.

DOMANDA 2:

5

Se l’indice è a base mobile, si considera l’indice al tempo definito con base dell’anno prima, infatti l’indice a base mobile 2012 corrisponde a 2011 I 2012, ovvero 5 I 6. Ricordiamo che i calcoli vanno fatti considerando i fattori divisi per 100 per poi moltiplicarlo alla fine per 100. Se ho una serie molto lunga, posso prevedere di metterne insieme un po’ per costruire gli indice a base fissa per poi calcolare quelli a base mobile.

DOMANDA 3: 6

Bisogna passare dalle percentuali gli indici, infatti, se è diminuito dell’84% dal 2011 ed il 2012, significa che è diminuito tra il punto temporale 5 e 6. Quindi 5 I 6 (=con base mobile) significa 10,8403= 0,1597, e lo stesso vale per l’indice 6 I 7. Non bisogna fare il calcolo con le percentuali ma bisogna riportarle al numero indice. Viene chiesto l’indice 5 I 7 quindi si fa il concatenamento:

DOMANDA 4:

7

Ricordiamo che l’indice a basa mobile del 2009, corrisponde all’indice all’anno 2009, quindi al tempo 3, con base l’anno 2008, ovvero con base 2. In questo caso abbiamo gli indici e dobbiamo risalire ai valori X. Ci chiede X 3 :

DOMANDA 5: 8

Notiamo che i dati che ci vengono proposti sono delle serie storiche, quindi delle X e non degli indici.

DOMANDA 6: 9

Per trasformare 5 I 4 in 4 I 5, è necessario FARE IL RECIPROCO!!!

DOMANDA 7: 10

2. NUMERI INDICI SINTETICI 11

Cerchiamo di costruire serie di indici sintetici, considerando il fatto che non abbiamo più a disposizione un’unica serie storica ma k serie.

Dove il valore X è rilevato all’istante t riferito all’h-esima serie.

A differenza di prima che veniva preso un Paese alla volta negli esercizi, in questo caso si considera un insieme di Paesi, partendo da ciascun indice per Paese. Sono importanti le medie semplici:

Con numeri indici sintetci non ponderat intendiamo un’aggregazione che sostanzialmente va a MEDIARE in maniera opportuna i singoli indici elementari, usualmente a base fissa. Si scrive come rapporto tra X t e X 0 , aggiungiamo l’h come pedice perché ci riferiamo all’h-esima serie storica.  MEDIA ARITMETICA: sommatoria dei vari indici diviso k.  MEDIA GEOMETRICA: radice k-esima del prodotto.  MEDIA ARMONICA: reciproco della media aritmetica dei reciproci. Per le applicazioni numeriche, consideriamo il fatto che le medie sopradescritte rientrano nella famiglia delle medie potenziate, quindi si può affermare che il risultato nei termini di media aritmetica sarà maggiore uguale al risultato ottenuto dalla media geometrica, che sarà a sua volta maggiore uguale a quello ottenuto della media armonica. Esiste quindi un ordinamento. Per esempio, consideriamo delle serie storiche inerenti al trasporto aereo di passeggeri dal 2001 al 2008. I calcoli vanno fatti in termini di indici e non di dati elementari, ricordiamo che devono avere la stessa base. La base 1 è 2001. 12

Capiamo quindi che il numero evidenziato sotto Grecia, ovvero 110,05, è l’indice all’anno 2004 con base anno 2001, perché la base 1 è l’anno 2001. Quindi è l’indice 1 I 4 = 9276,95/8430,33= 110,05. Vediamo le medie per l’anno 2004, che cercano di sintetizzare le variazioni ottenute nei tre Paesi rispetto al 2001, per ottenere un unico valore che sia la media dei tre. Dalla tabella emerge il fatto che in:  GRECIA: l’indice sia cresciuto del 10% circa.  ITALIA: l’indice sia cresciuto del 16% circa  IRLANDA: l’indice sia calato del 2% circa. Osserviamo le medie:

I numeri indici sintetci ponderat fanno sì che i valori considerati non siano più le X ma bensì PREZZI e QUANTITA’.

13

Prezzo del prodotto h-esimo scambiato al tempo t.

Quantità di prodotto h-esimo scambiato al tempo t.

Ciò che ci interessa è la variazione del prezzo, ovvero il movimento in rialzo o ribasso nell’ambito economico dei prezzi, e la variazione delle quantità, che permettono quindi di valutare l’inflazione ed il PIL. È quindi necessario costruire serie storiche elementari di indici di prezzo e di quantità e poi attribuire un peso per costruire delle medie ponderate. La ponderazione ha due tipi di finalità:  Dare maggiore o minore ponderazione ai beni e servizi che hanno una rilevanza maggiore (peso) all’interno del sistema economico.  Ancorare la struttura di ponderazione al tempo, che ci permette di avere un’indicazione di istante temporale di calcolo ed un istante temporale di base. Il peso quindi ci permette di avere questi due tipi di istante temporale o un mix. Il peso deve avere un senso e deve essere interpretabile. La ponderazione più utilizzabile per misurare il peso ed attribuirgli un corretto numero è quella del valore monetario, che si ottiene moltiplicando i prezzi per le quantità. Ricordiamo però cambiando moneta di riferimento cambia anche il metro di valutazione. Esistono due tipologie di valori:  Reali: prezzi e quantità sono riferiti allo stesso istante temporale.

 Virtuali: non sono metri monetari che si possono riscontrare nella realtà e sono riferiti ad istanti temporali diversi. 14

il primo studioso che se n’è occupato è stato Layspeyres, il quale ritiene che sia necessario considerare i prezzi e le quantità rilevate nell’istante temporale base e si utilizza come sistema di ponderazione. Questo sistema di ponderazione è importante perché, tenendo fissi prezzi e le quantità all’istante temporale zero, quando si va a costruire l’indicatore finale si ha solo la necessità di individuare i prezzi al tempo t, quindi ho un insieme di rilevazioni ridotto che semplifica l’analisi.

Viene preferita la formula sulla sinistra, che è quella della media ponderata, mentre a destra vi è la formula operativa. Nella formula della media ponderata, pondero i singoli indici elementari per i pesi che si sono definiti: a numeratore vi è la somma degli indici pesat per i pesi, e a denominatore vi è la somma dei pesi. Dal punto di vista interpretativo ci permette di vedere cosa accade, confronta infatti un valore reale con un valore virtuale (inteso come somma di tutti i beni e servizi considerati) espresso come prodotto del prezzo al tempo t con le quantità base, diviso il valore reale all’istante temporale 0. Ciò che cambia tra numeratore e denominatore è il tempo t. Ho quindi un indice che mi definisce una misura di variazione di prezzi perché mi confronta quantità ferme all’istante temporale 0 con prezzi variati tra l’istante temporale 0 e t. Si tratta di isolare una delle due componenti, quindi dare rilevanza ai prezzi o quantità, mantenendo ferma l’altra grandezza. (L) Indica l’utilizzo dell’indice di Laspeyres. Ricapitolando, questo indice definisce un sistema di ponderazione (quindi sempre fermo) che vale per entrambi le grandezze, che mi consente di caricare una variazione di prezzi e quantità che consideri l’altra grandezza ferma. Un ulteriore studio è quello di Paasche, che sostiene che la variabile che si muove (prezzi e quantità) non sia ferma all’istante temporale 0 (come avviene in Laspeyres), ma vuole ancorare le due variabili ad istanti temporali t. Usa come indici, due valori virtuali. Con i sistemi di ponderazione:

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otteniamo formule simili a quelle precedenti. Si nota che per le variabili hanno Qt e Pt, mentre in Laspeyres si aveva Q0 e P0. Paasche (struttura di ponderazione variabile) muove le variabili ai tempi t, mentre Laspeyres (struttura di ponderazione fissa) le tiene ferme all’istante temporale 0. Sono entrambi due approcci giusti.

Infine si ha l’indice di Fischer, che considera entrambi i sistemi di ponderazione precedenti, fisso e variabile, e ne fa la media geometrica tra i due indici. Ha ripreso entrambe le strutture perché hanno entrambi problemi operativi e definisce quindi un indice che risolve i problemi e pone in essere dei confronti territoriali particolarmente validi.

Per esempio:

16

Vediamo che la base degli indici è l’anno 1, dobbiamo trovare l’indice di Laspeyres dell’anno 3 con base l’anno 1. È necessario fare l’indice elementare di prezzo e poi ponderarlo per il valore dell’anno base delle quantità, ovvero l’anno 1. La formula la si ripete per 3 volte: a numeratore: rapporto tra il prezzo del punto temporale 3 ed il prezzo del punto temporale 1, per il prodotto tra il prezzo del punto temporale 1 e la quantità del punto temporale 1; a denominatore: prodotto tra il prezzo del punto temporale 1 e la quantità del punto temporale 1. Questo vale per tutti i beni, va fatto per ciascuno e poi sommati, infatti a denominatore avremo la somma dei pesi.

Il risultato, ovvero, 1,1869 indica che, in riferimento a questo paniere di tre beni, e considerata la formula di calcolo di Laspeyres, il paniere ha visto crescere i prezzi di circa € 1,19. Lo stesso vale per le quantità. Quello che si nota però è che i pesi sono sempre gli stessi, in quanto rimane il prodotto tra il prezzo al tempo 1 per la quantità al prezzo 1, quindi cambia solo il rapporto tra Q3 e Q1. Come nel prezzo, questo viene fatto per ciascun bene e poi vengono sommati. Il risultato, ovvero, 0,4566 indica che, in riferimento a questo paniere di tre beni, e considerata la formula di calcolo di Laspeyres, il paniere ha visto SCENDERE (perché è 0,) le quantità di circa il 45%.

Considerando invece l’indice di Paasche, vediamo che ciò che cambia è nei pesi, cioè, il prodotto non è più dato da P1*Q1, ma: 17

 Per il prezzo: P1*Q3  Per la quanttà: Q1*P3 Rimane invariato invece il rapporto sempre tra P3 e P1 o Q3 e Q1. Come prima, questo viene fatto per un bene e poi vengono tutti sommati.

e Come vediamo dai risultati:

REMIND: 1 prima della virgola indica un aumento mentre 0 indica una riduzione. 1,1646 indica un aumento dei prezzi del paniere dati i 3 beni del 16%, a differenza di prima che era circa del 19, mentre 0,4480 indica una riduzione di circa il 45% delle quantità dei beni del paniere. Per quanto riguarda l’approccio di Fischer, si fa la media geometrica dei due:

In questo modo si ottiene un valore centrato da l’indice di Laspeyres e Paasche. Volendo si può usare anche la sommatoria per entrambi gli indici come vediamo nella figura sottostante:

Inoltre, facendo tutti i calcoli, possiamo ottenere questi risultati: 18

Possiamo dire che tra l’indice di prezzo e l’indice di quantità vi è l’indice del valore, ovvero il rapporto tra i valori, cioè rapporti monetari che a numeratore hanno il valore dei beni scambiati nell’istante temporale di riferimento (=anno t), e a denominatore hanno il valore dei beni scambiati nell’istante temporale base 0. Infatti:

Questo valore ci dice il valore della moneta utilizzata per scambiare i beni e servizi che stiamo analizzando. P3∗Q 3 P 1∗Q 1 Questa formula vale per ciascun bene, va quindi poi fatta la somma di questo risultato di tutti i beni. Le proprietà degli indici ponderat sono uguali a quelle degli indici elementari, eccetto per la terza:  REVERSIBILITA’: il prodotto tra l'indice relativo al tempo t, con base g, e l'indice con base t, riferito all'istante g, deve essere uguale ad 1.

 TRANSITIVITA’: l'indice con base r riferito all'istante t è uguale al prodotto tra l'indice a base r riferito, per esempio, all'istante s, e l'indice con base s riferito all'istante t.

 SCOMPOSIZIONE DELLE CAUSE: L'indice del valore o della spesa deve essere uguale al prodotto dell'indice dei prezzi per l'indice delle quantità, solo in questo caso varrà la proprietà. La variazione di prezzo per la variazione delle quantità di ogni bene da il prodotto tra l’indice di prezzo e l’indice di quantità che da l’indice del valore. La cosa importante è che se non si soddisfa in senso forte, ovvero utilizzando indici della stessa tipologia (per esempio due Paasche) a volte può essere soddisfatta in senso debole, ovvero incrociando le tipologie di indici (per esempio un Paasche con un Laspeyres).

19

Per esempio, consideriamo la tabella dell’esercizio precedente, considerando però come base l’anno 2 e non più l’anno 1:

Osserviamo:

I risultati saranno i seguenti:

Controlliamo la reversibilità:  Laspeyres: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 1 con base l’anno 2 deve essere uguale a 1. Osserviamo che il risultato non è 1:

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 Paasche: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 1 con base l’anno 2 deve essere uguale a 1. Osserviamo che il risultato non è 1:

 Fischer: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 1 con base l’anno 2 deve essere uguale a 1. Osserviamo che il risultato è 1:

Vale quindi solo per Fischer. Controlliamo la transitvità:  Laspeyres: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 3 con base l’anno 2 deve essere uguale indice dell’anno 3 con base anno 1. Osserviamo che il risultato non è così:

 Paasche: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 3 con base l’anno 2 deve essere uguale indice dell’anno 3 con base anno 1. Osserviamo che il risultato non è così:

 Fischer: indice dell’anno 2 con base anno 1 per l’indice dell’anno 3 con base l’anno 2 deve essere uguale indice dell’anno 3 con base anno 1. Osserviamo che il risultato non è così:

Nessuno dei tre indici soddisfa la proprietà. Dal punto di vista logico, il cambio è inibito, perché a seconda dell’anno e della base che utilizzo, ottengo indici completamente differenti, quindi la so...