ÔN TẬP TCC - K47- Thầy Vân PDF

Preview

Summary

ĐẠI HỌC UEHTRƯỜNG KINH DOANH UEHKHOA KINH DOANH QUỐC TẾÔN TẬPTOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ Giảng viên phụ trách: Thầy Nguyễn Thanh Vân Người thực hiện: 1. Ngô Văn Đính Lương Thị Lộc Bình  Khóa – Lớp: K47 – CTCHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨCI, KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN:1. ĐỊNH NGHĨA: Cho m và n là 2 ...

Description

ĐẠI HỌC UEH TRƯỜNG KINH DOANH UEH KHOA KINH DOANH QUỐC TẾ

ÔN TẬP TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ  Giảng viên phụ trách: Thầy Nguyễn Thanh Vân  Người thực hiện: 1. Ngô Văn Đính 2. Lương Thị Lộc Bình  Khóa – Lớp: K47 – CT2

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC I, KHÁI NI Ệ M V Ề MA TR ẬN: 1. ĐỊNH NGHĨA: - Cho m và n là 2 số nguyên dương. Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là: 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮) A=( ⋮ ⋱ 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

Ta kí hiệu: A = [𝑎𝑖𝑗 ] 𝑣ớ𝑖 𝑖 = 1,2,3, … 𝑚 ; 𝑗 = 1,2,3, … 𝑛.

2. CÁC PHÉP TOÁN V Ề MA TR ẬN :

a, Phép cộng hai ma trận: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )(𝑚,𝑛); 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )(𝑚,𝑛) 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )

(𝑚,𝑛)

1 2 4 5 Ví dụ: 𝐴 = ( ) ;𝐵 = ( ) 3 4 6 7 5 7 ) 𝑇𝑎 𝑐ó: 𝐴 + 𝐵 = ( 9 11

b, Phép nhân ma trận với một số thực: 𝑘𝐴 = (𝑘. 𝑎𝑖𝑗 )(𝑚,𝑛) 1 2) . 𝑇í𝑛ℎ 2𝐴. Ví dụ: Cho ma tr ận: 𝐴 = ( 3 4 2 4 1 2 )=( Ta có: 2𝐴 = 2. ( ) 3 4 6 8

c, Phép nhân hai ma trận: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )(𝑚,𝑛) ; 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )(𝑛,𝑝) 𝐴. 𝐵 = (𝑐𝑖𝑗 )

(𝑚,𝑝)

𝑛

𝑣ớ𝑖 𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 . 𝑏𝑘𝑗 , ∀𝑗 = 1, 𝑝 𝑘=1

Điều kiện: Số cột của A bằng số hàng của B.

1 2 1 4 ) . 𝑇í𝑛ℎ 𝐴. 𝐵 Ví dụ: 𝐶ℎ𝑜 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴 = ( );𝐵 = ( 0 1 3 4 1 2 ) 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = ( ) . (1 4 ) = (1 6 3 16 0 1 3 4 d, Phép chuyển vị của ma trận:𝐶ℎ𝑜 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )

Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là 𝐴𝑇 =(𝑎𝑗𝑖 )

(𝑚,𝑛)

Chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng tương ứng. 1 3 1 2 ) ) => 𝐴𝑇 = ( Ví dụ: 𝐴 = ( 2 4 3 4

e, Lũy thừa ma trận:

𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 . 𝐴 ( 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑡ự 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 ≥ 1)

3. M Ộ T S Ố LOẠ I MA TR ẬN :

a, Ma trận hàng ( cột) là ma trận chỉ có một hàng ( cột) b, Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không

c, Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột ↔ 𝑚 = 𝑛

d, Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. e, Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1. f, Ma trận tam giác là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm phía trên/ dưới đường chéo chính đều bằng 0. g, Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác 0 đều ở trên các hàng bằng không, phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên.

II. TÍNH ĐỊNH THỨC: 1.QUY T ẮC TÍNH ĐỊ NH TH ỨC : 𝑎

𝑎

11 12 a, Cấp 2: 𝐷 = |𝑎21 𝑎22 | = 𝑎11. 𝑎22 − 𝑎21𝑎12

1 2 Ví dụ: 𝐷 = | | = 1.4 − 2.3 = −2 3 4

b, Cấp 3: Gía trị của định thức cấp 3 bằng tổng đại số của 2 nhóm: +, Nhóm 1 (mang dấu +) tích các phần tử nằm trên đường chéo chính, tích các phần tử song song với đường chéo chính với phần tử ở góc đối diện. +, Nhóm 2 (mang dấu -): tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ, tích các phần tử song song với đường chéo phụ với phần tử ở góc đối diện. 1 2 3 Ví dụ: 𝐻 = | 4 3 2| = (1.3.1 + 2.2.2 + 4.6.3) − (3.3.2 + 2.6.1 + 2.4.1) = 45 2 6 1

2.TÍNH CH Ấ T C ỦA ĐỊ NH TH ỨC :

+, Định thức không thay đổi qua phép chuyển vị ↔ [𝐴] = |𝐴𝑇 | +, Định thức đổi dấu nếu đổi chỗ 2 dòng/ cột với nhau trong định thức +, Có thể rút thừa số chung của một dòng/ cột ra ngoài định thức +, Định thức có giá trị bằng 0 nếu có 2 dòng tỷ lệ nhau hoặc 1 dòng/ cột 0. +, Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. +, Nếu các phẩn tử thứ i nhân 𝑘 ≠ 0 thì định thức cũng nhân 𝑘

3.MỘT S Ố PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊ NH TH ỨC : *Phương pháp 1- Biến đổi: Dùng các tính chất của định thức để đưa về ma trận tam giác. [Cộng, trừ, nhân, chia các cột / các dòng phù hợp] 3 2 Ví dụ: 𝐾 = [ 3 4

2 1 1 2

1 2 2 0

1 0 (𝐶1;𝐶4) → ] 1 3

1 0 −[ 1 3

2 1 1 2

1 2 2 0

3 2 ] 3 4

−𝑑1+𝑑3 −3𝑑1+𝑑4

→

1 0 −[ 0 0

2 1 3 1 2 2 ] −1 1 0 −4 −3 −5

−𝑑2+𝑑3 4𝑑2+𝑑4

→

=1

−[

02 11 23 2 1 0 0 3 2 0 0 5 3

]

→

(−𝐶4+𝐶1)

−[

10 21 −20 3 2 0 0 1 2 0 0

2

3

]

→

(−2𝑑3+𝑑4)

−[

10 21 −20 0 0 1 0 0

0

32 2

−1

]

*Phương pháp 2: Khai triển định thức theo dòng/ cột:

+, Khai triển theo dòng i: 𝐷𝑛 = 𝑎𝑖1 . 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 . 𝐴𝑖2 + ⋯ . + 𝑎𝑖𝑛 . 𝐴𝑖𝑛

+, Khai triển theo cột j: 𝐷𝑛 = 𝑎1𝑗 . 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 . 𝐴2𝑗 + ⋯ . + 𝑎𝑛𝑗 . 𝐴𝑛𝑗 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝑀𝑖𝑗

𝑀𝑖𝑗 𝑙à đị𝑛ℎ 𝑡ℎứ𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐ấ𝑝 (𝑛 − 1) 𝑐ủ𝑎 𝐷, 𝑐ó đượ𝑐 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑐á𝑐ℎ: Ví dụ:

𝑥ó𝑎 𝑑ò𝑛𝑔 𝑖, 𝑐ộ𝑡 𝑗 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷.

2 −3 4 1 4 −2 3 2 𝐵=| | [𝑇𝑎 𝑡ℎấ𝑦 𝑑ò𝑛𝑔 3 𝑐ℎứ𝑎 𝑡ℎ𝑎𝑚 𝑠ố 𝑛ê𝑛 𝑛ế𝑢 𝑑ù𝑛𝑔 𝑐á𝑐ℎ 2 𝑐ℎ𝑜 𝑛ℎẹ 𝑛ℎà𝑛𝑔. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 3 −1 4 3

+, 𝐾ℎ𝑎𝑖 𝑡𝑟𝑖ể𝑛 đị𝑛ℎ 𝑡ℎứ𝑐 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑑ò𝑛𝑔 3 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝐷 = 𝑎. 𝐴31 + 𝑏. 𝐴32 + 𝑐. 𝐴33 + 𝑑. 𝐴34

−3 4 1 +, 𝑇í𝑛ℎ 𝑝ℎầ𝑛 𝑏ù đạ𝑖 𝑠ố: 𝐴31 = (−1)3+1 . [ −2 3 2] = 8 ; 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự: −1 4 3

𝐴32 = 15; 𝐴33 = 12; 𝐴34 = −19 => 𝐷 = 8𝑎 + 15𝑏 + 12 𝑐 − 19𝑑

III, MA TR Ậ N NGH ỊCH ĐẢO: - Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho: AB = B = 𝑰𝒏 .

-B được gọi là ma trận nghịch đảo ( khả nghịch) của A. KH: 𝐴−1

A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi A không suy biến ↔ |𝑨| ≠ 𝟎 𝐴−1 =

1

|𝐴|

.𝐴 ∗

𝐴 ∗= (

𝐴12 𝐴22 ⋯ 𝐴𝑛2 𝐴11⋮ 𝐴21⋮ ⋯⋱𝐴𝑛1⋮ 𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 ⋯ 𝐴𝑛𝑛

) . 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó. 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝑀𝑖𝑗

A* được gọi là ma trận phụ hợp của A, KH:  𝑨 1 2 Ví dụ: 𝐶ℎ𝑜 𝐸 = | 3 3

2 −1 0 1 0 3 | . 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝐸 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑦 𝑏𝑖ế𝑛. 𝑚 −5 −3 3 −1 1

1 2 Để 𝐸 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑦 𝑏𝑖ế𝑛 ↔ |𝐸| ≠ 0 → 𝐸 = | 3 3

↔𝑚 ≠9

2 −1 0 1 0 3| = 4. (𝑚 − 9) ≠ 0 𝑚 −5 −3 3 −1 1

IV, H Ạ NG C Ủ A MA TR ẬN: - Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. - Để tìm hạng của một ma tr ận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang và hạng của A chính là số hàng khác 0. Ví dụ: Tìm hạng c ủa ma trận: 1 4 0 𝑑1−𝑑2 𝐴 = ( 1 2 0) → 0 3 18

1 4 0 ( 0 2 0) 0 3 18

3𝑑2−2𝑑3

→

1 4 0 (0 2 0) 0 0 −36

=> 𝐻ạ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴 = 3 𝑣ì 𝑐ó 3 ℎà𝑛𝑔 ≠ 0

V, M Ộ T S Ố CÔNG TH Ứ C: Dạng 1: Điều kiện tồn tại 𝐴−1 : Dạng 2: Tìm ma tr ận 𝐴−1 :

𝐴 𝑘ℎả 𝑛𝑔ℎị𝑐ℎ ↔ |𝐴| ≠ 0

+, n = 1: Nếu A =(a), a ≠0 thì 𝐴−1 = 𝑎 𝑎 𝑏 +, n = 2: Nếu 𝐴 = ( ) → 𝐴−1 = 𝑐 𝑑 +, n >3: Dùng công th ức

Dạng 3: Tính chất của 𝐴−1

1

1

|𝐴|

.(

𝑑 −𝑏 ) −𝑐 𝑎

+, (𝐴−1 )−1 = 𝐴 +, (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 +, (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1

Dạng 4: Giải phương trình ma trận

+, AX = B ↔ 𝐴−1 . 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵 ↔ 𝑿 = 𝑨−𝟏 . 𝑩 +, XA=B ↔ X.A. 𝐴−1 = 𝐵. 𝐴−1 ↔ X = B.𝑨−𝟏

Dạng 5: Tìm hạng c ủa ma trận

Dạng 6: Tính chất của phép toán trên ma tr ận:  A+B = B+A

*(A+B)+C=A+(B+C)

 0+A = A+ 0 = A

* A+ (-A) = 0

 m(A+B) = mA+Mb

* (m+t)A =mA

 A(BC)=(AB).C

* A(B+C) = A

 (AB)T = BTAT

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH I, H Ệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH: 1. KHÁI NI Ệ M: - Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (1) { 21 1 ……………………………………… 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

ℎ𝑎𝑦

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴= ( … … … .). . đượ𝑐 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒉ệ 𝒔ố 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

𝐴. 𝑋 = 𝐵 (2)

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2 ) đ𝑔𝑙 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒉ệ 𝒔ố 𝒎ở 𝒓ộ𝒏𝒈 (𝒃ổ 𝒔𝒖𝒏𝒈) 𝐴 = ( … … … . |. . 𝑏3 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏4  Điều kiện hệ phương trình có nghiệm: ↔ r(A) = r(𝐴)  ) = n: Hệ có nghiệm duy nhất.  Nếu r(A) = r(𝑨  Nếu r(A) < n: Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào (n-r) tham số.

Để cùng 1 lúc tìm được hạng A và 𝐴 ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận mở rộng 𝐴 . 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 1 3𝑥 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 2 Ví dụ:{ 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 1 4𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑚

2 3 𝐴 = ( 1 4

3 1 −1 1 1 −2 1 2 1 1 −2 1 2 (𝑑1,𝑑3) 3 1 −2 1 2 −3𝑑1+𝑑2 ) → ) → ( | | −2 1 2 1 2 3 1 −1 1 𝑚 𝑚 −1 −1 3 4 −1 −1 3

(

7 −5 −5 10 2 0 −27 1−1 −5

−1 −1 1

0 7 −5 −5 0 0 4 0 1 −2 1 2

−1 0 ) 1

| )→ ( | *𝐻ệ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 ↔ 𝑟 (𝐴) = 𝑟 (𝐴) = 3 ↔ 𝑚 − 3 = 𝑚 0 −↔3 𝑚 = 3 0 7 −5 −5 𝑚 − 4 0 0 0 0

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH :

2.1 Phương pháp ma trận: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B, với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch: Ta có: AX = B ↔ X = 𝐴−1 . 𝐵

2.2: Phương pháp Cramer: *Điều kiện:

 𝐷 = |A| ≠ 0 → 𝐻ệ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑢𝑦 𝑛ℎấ𝑡: 𝑥1 =

𝐷1 𝐷

; 𝑥2 =

𝐷2 𝐷

; … ; 𝑥𝑗 =

𝐷𝑗 𝐷

 Nếu r(A) < r(𝐴) : Hệ vô nghiệm  Nếu r(A) = r(𝐴) = n: Hệ có nghiệm duy nhất.  Nếu r(A) = r(𝐴) = k < n: Hệ có vô số nghiệm. 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 6 2𝑥 Ví dụ: Giải hệ pt sau: { 1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5

1 −1 1 → 𝐴 = | 2 1 1| = 5 ≠ 0 => 𝐻ệ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑢𝑦 𝑛ℎấ𝑡. 1 1 2 6 −1 1 1 6 1 1 −1 6 𝐷1 = |3 1 1| = 5 ; 𝐷2 = | 2 3 1| = −10; 𝐷3 = | 2 1 3| = 15 5 1 2 1 5 2 1 1 5 𝐷1 𝑥1 = =1 𝐷 𝐷 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à ∶ 𝑥2 = 2 = −2 𝐷 𝐷3 𝑥 = =3 3 { 𝐷

2.3 Phương pháp Gauss:

 Đưa ma trận mở rộng 𝐴 về dạng bậc thang bởi Phép biến đổi sơ cấp trên dòng.  Viết lại hệ phương trình và giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Ví dụ: Giải và biện luận phương trình bằng phương pháp Gauss theo tham số m: 𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 { 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑚 2

Giải: Dùng các phép biến đổi Gauss trên ma tr ận hệ số mở rộng.

−𝑚𝑑1+ 𝑑2 1 1 𝑚 𝑚 𝑚 1 1 1 (𝑑2,𝑑1) 1 𝑚 𝑑1−𝑑2  1 | | → → ( ( 𝐴=( 1 𝑚 1 ) 𝑚 1 1 0 1 − 𝑚2 𝑚) 2 2 1 1 𝑚 𝑚 0 1−𝑚 1 1 𝑚 𝑚

𝑑2↔𝑑3 𝑑2→ −𝑑2

→

𝑚 1 1 − 𝑚2 ) | 1−𝑚 𝑚 − 1 𝑚2 − 𝑚

𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑑3→𝑑3+(𝑚+1)𝑑2 𝑚 − 𝑚2 ( 0 𝑚 −1 1− 𝑚 | ( 0 𝑚 − 1 1 − 𝑚 | 𝑚 − 𝑚2) → ) 2 )(1 − 𝑚) 2 2 (1 − 𝑚 0 0 (1 − 𝑚)(𝑚 + 2) 1 − 𝑚 0 1−𝑚 1−𝑚

*Biện luận:

𝑥 = − 𝑚+2

𝑚+1

𝑦 = 𝑚+2 1



m ≠1, m≠-2: hệ có nghiệm duy nhất



1 1 1 1 m= 1: ta có 𝐴 = ( 0 0 0| 0) → r(A) = r(𝐴) =1 ≠ số ẩn nên hệ có vô số nghiệm và 0 0 0 0



{𝑧 =

(𝑚+1)2 𝑚+2

nghiệm tổng quát X =(1 − 𝑦 − 𝑧; 𝑦; 𝑧)

0 −2 1 −2 −6) → 𝑟 (𝐴) = 2 ≠ 𝑟 (𝐴) = 3 𝑛ê𝑛 ℎệ 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚. 0 0 0 3

m= -2: ta có 𝐴 = ( 0 −3 3|

Chú ý: Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:

 Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng  Có dòng nào bằng0 thì xóa đi dòng đó  Có 1 dòng dạng (0…0 |b) b≠ 0 → HỆ VÔ NGHIỆM.

II. H Ệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH THU Ầ N NH ẤT: 1. ĐỊNH NGHĨA : 𝑎 𝑥 + 𝑎12𝑥𝑥22 + +⋯ ⋯+ + 𝑎𝑎2𝑛 𝑥𝑛𝑛 = = 00 1𝑛𝑥 𝑎11 21 𝑥11 + 𝑎22 (1) {……………………………………… *Nhận xét:

𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0

 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm (0,0,0…0)  Hệ muốn có nghiệm khác (0,0..,0) thì r(A) < n, khi đó hệ vô định, nghiệm tổng quát phụ thuộc vào (n –r) tham số. 2. H Ệ NGHI ỆM CƠ BẢN : - Định nghĩa: Xét (1 )có r (A) < n - Cách tìm hệ nghiệm cơ bản: Nếu hệ pt có vô số nghiệm thì có nhiều cách chọn số ẩn chính và ẩn phụ. Do đó, có nhiều nghiệm cơ bản tương ứng với mỗi cách chọn ẩn chính và ẩn phụ. Cụ thể như: Nếu hệ pt thuần nhất có n ẩn số và hạng là r thì có 𝐶𝑛𝑟 cách chọn ẩn chính và có (𝑛 − 𝑟 )𝐶𝑛𝑟 nghiệm cơ bản.

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 Ví dụ: Cho hệ phương trình: {2𝑥 − 4𝑦 + 7𝑧 = 0 . 𝑇ì𝑚 ℎệ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑏ả𝑛 𝑐ủ𝑎 ℎệ −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0

2𝑑1−𝑑2 1 −2 1 −2 3 0 3 0 2𝑑2+𝑑3 1 −2 3 0 𝑑1+𝑑3 𝐴 = ( 2 −4 7 | 0) → ( 0 0 −1 | 0) → ( 0 0 −1 | 0) −1 2 −1 0 0 0 2 0 0 0 0 0

Ta có: r(A) = 2 → Hệ tưng đương {

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑥 + 3𝑧 = 2𝑦 𝑥 = 2𝑦 ↔ { ↔{ 𝑧=0 −𝑧 = 0 𝑧=0

Hệ vô định, phụ thuộc 1 tham số, nghiệm tổng quát (2y, y, 0) . Hệ nghiệm cơ bản (2,1,0)

III, M Ộ T VÀI Ứ NG D Ụ NG TRONG PHÂN TÍCH KINH T Ế : 1. MÔ HÌNH CÂN B Ằ NG TH Ị TRƯỜNG :

- Để tìm điểm cân bằng thị trường, ta giải hệ phương trình tuyến tính 𝑄𝑆𝑖 = 𝑄𝐷𝑖

{

𝐸1 =…𝑄…𝑆1…− 𝑄𝐷1

(1)

hay {

−𝑎21 . 𝑃1 − 𝑎22. 𝑃2 + ⋯ − 𝑎2𝑛 . 𝑃𝑛 = 𝑏2 …⋯ . − 𝑎 .𝑃 𝑎11. 𝑃1 − 𝑎12 . 𝑃2 + 1𝑛 𝑛 = 𝑏1 (2)

𝑎𝑛1 . 𝑃 𝑃2 +b⋯ − th 𝑎𝑛𝑛 . 𝑃𝑛 = 𝑏𝑛ta phải giải hệ 1− 𝑛2 .cân -𝐸Để tìm giá của các loại hàng hóa tại điể𝑎m ằng ị trường, 𝑛 = 𝑄𝑆𝑛 − 𝑄𝐷𝑛 phương trình tuyến tính (2).

- Lời giải của (2) có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của nghiệm phải dương và khi thay những giá trị đó vào các hàm cung và cầu, giá trị các hàm đó cũng phải dương. Ký hiệu của ma trận hệ (2):

𝑎11 −𝑎12 𝐿 −𝑎1𝑛 −𝑎21 𝑎22 𝐿 −𝑎2𝑛 ) 𝐴=( 𝑀 𝑀 𝑂 𝑀 −𝑎𝑛1 −𝑎𝑛2 𝐿 𝑎𝑛𝑛

;𝑃 = (

𝑃1

(2) ↔ A.P = B ( 2’)

𝑏1 𝑃2 𝑏 ) ; 𝐵 = ( 2) 𝑀 𝑀 𝑃𝑛 𝑏𝑛

Ví dụ:

Lời giải:

𝐸1 = 𝑄𝑆1 − 𝑄𝐷1 1 = 0 24 𝑃1 − 3𝑃2 − 𝑃3 = 175 { 𝐸2 = 𝑄𝑆2 − 𝑄𝐷2 = 0 ↔ {−3𝑃1 + 20𝑃2 − 2 𝑃3 = 230 −𝑃1 − 4𝑃2 + 15𝑃3 = 230 𝐸3 = 𝑄𝑆3 − 𝑄𝐷3 = 0

(∗)

Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp Cramer, ta có: 24 −3 −1 𝐷 = | −3 20 −2 | = 6835 ≠ 0 −1 −4 15

175 −3 −1 24 175 −1 24 −3 175 𝐷1 = | 230 20 −2| = 68350 ; 𝐷2 = | −3 230 −2| = 102525; 𝐷3 = | −3 20 230| = 136700 −1 −4 230 230 −4 230 −1 230 15

Vậy nghiệm của hệ là:

{

𝑃1 =

𝑃2 =

𝑃3 =

𝐷1

𝐷2 𝐷

𝐷 𝐷3 𝐷

= 10 → 𝑄𝐷1 = 100 = 15 → 𝑄𝐷2 = 155 → Do đó điểm cân bằng thị trường là (10;15;20) = 20 → 𝑄𝐷3 = 145

2. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT M Ở LEONTIEF :

- Mô hình: “Xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu của cả nền kinh tế đó ( kể cả dự trữ và xuất khẩu)

- Kí hiệu 𝑎𝑖𝑗 là giá trị của lượng nguyên liệu mà ngành j nhận được từ ngành i để sản xuất ra một lượng sản phẩm có giá trị một đơn vị tiền. 𝑎11 𝑎12 𝐾 𝑎1𝑛 𝑎 𝑎 𝐾 𝑎2𝑛 ) đượ𝑐 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 ℎệ 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 ℎệ 𝑠ố 𝑘ỹ 𝑡ℎ𝑢ậ𝑡 Ma trận 𝐴 = ( 𝑀21 22 𝑀 𝑂 𝑀 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝐾 𝑎𝑛𝑛

X = (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) 𝑙à 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑠ả𝑛 𝑙ượ𝑛𝑔 ( đầ𝑢 𝑟𝑎)𝑐ủ𝑎 𝑐á𝑐 𝑛𝑔à𝑛ℎ.

Y = (𝑦1 ; 𝑦2 ; 𝑦3 ) 𝑙à 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑙𝑖ệ𝑢 ( đầ𝑢 𝑣à𝑜 )𝑐ủ𝑎 𝑏𝑎 𝑛𝑔à𝑛ℎ. Ta có hệ phương trình tuyến tính:

A.X = Y

+, Gọi yêu cầu cuối cùng cho đầu ra của ngành i là:

Khi đó, ta có hệ phương trình: (𝑰𝒏 − 𝑨). 𝑿 = 𝑫 ↔ X = (𝑰𝒏 − 𝑨)−𝟏 .D (1 − 𝑎11)𝑥1 − 𝑎12𝑥2 − ⋯ − 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑1 −𝑎 𝑥 + (1 − 𝑎22 )𝑥2 − ⋯ − 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑2 { 21 1 … −𝑎𝑛1 𝑥1 − 𝑎𝑛2 𝑥2 − ⋯ + (1 − 𝑎𝑛𝑛 )𝑥𝑛 = 𝑑𝑛

Ví dụ: Xét mô hình Input – Output Mở Leontief, gồm ba ngành với ma trận hệ s ố 0,1 0,3 0,2 đầu vào là: 𝐴 = ( 0,4 0,2 0,1) 0,2 0,3 0,3 a, Tìm giá trị sản lượng của ba ngành, biết rằng nhu cầu của ngành mở đối với ba ngành là (75,90,81).

b, Tìm giá trị sản lượ ng của ba ngành với điều kiện bổ sung: do cải tiến k ỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu của ngành 2, còn nhu cầu cuối cùng c ủa ngành mở đối với ba ngành là vẫn là (75,90,81).

c, Giả sử nhu cầu cuối cùng c ủa ngành mở đối với ba ngành lần lượt là 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 . Nếu 𝑑1 tăng 2 đơn vị, 𝑑2 giảm 1, 𝑑3 giảm 1 thì giá trị s ản lượng của ba ngành thay đổi như thế nào? Lời giải: a, Gọi X là vecto biểu thị giá trị sản lượng của ba ngành, ta có:

𝑥1 0,9 −0,3 −0,2 75 (𝐼3 − 𝐴). 𝑋 = 𝐷 ↔ ( −0,4 0,8 −0,1 ) . ( 𝑥2 ) = ( 90) (∗) 𝑥3 −0,2 −0,3 0,7 81

Giải hệ (*) bằng phương pháp Cramer, ta tìm được giá trị sản lượng của ba ngành là:

(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (240, 270, 300)

b, Do cải tiến kỹ thuật ngành 1 nên nguyên liệu ngành thứ 2 cùng c ấp cho ngành 1 được giảm 25%. Như vậy, lúc đầu chưa cải tiến 𝑎21 = 0,4 sau khi cải tiến kỹ thuật thì 𝑎21 = 0,3. Ta có ma trận các hệ số đầu vào mới như sau ( sau khi đã cải tiến kỹ thuật)

𝑥1 0,9 −0,3 −0,2 0,1 0,3 0,2 75 𝑥 0,3 0,2 0,1 −0,3 0,8 −0,1 ) . ( ) = ( ) . 𝑇𝑎 𝑐ó: (𝐼 90) (∗∗) − 𝐴). 𝑋 = 𝐷 ↔ ( 𝐴=( 2 3 𝑥 −0,2 −0,3 0,7 0,2 0,3 0,3 81 3

Giải hệ (**) bằng phương pháp Cramer, ta tìm được giá trị sản lượng của ba ngành là: 𝑥1 = 221,899 {𝑥2 = 230,477 𝑥3 = 277,877 ∆𝑥1 c, Ta gọi: Sự thay đổi của ba ngành là ∆X = ( ∆𝑥2 ) ∆𝑥3 ∆𝑑1 2 Sự thay đổi của nhu cầu cuối cùng của ngành mở là: ∆D =( ∆𝑑2 ) = ( −1) ∆𝑑3 −1 Thì ∆X = (𝐼𝑛 − 𝐴) . ∆D = −1

1,676 0,53 0,27 0,19 2 ) = ( 0,59 0, 15) . ( −1 −0,782) −1,284 0,25 0,33 0, 63 −1

500 . ( 0,23 179

CHƯƠNG 3: HÀM MỘT BIẾN – GIỚI HẠN VÀ LIÊN T ỤC. I – GIỚ I H Ạ N: 1. ĐIỀ U KI Ệ N C ẦN VÀ ĐỦ:

- Để hàm số lim 𝑓(𝑥) 𝑙à:

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥 → 𝑥0 +

𝑥 → 𝑥0

- Ta xét 2 bài toán sau:

𝑥 → 𝑥0 −

𝑓(𝑥)

*Bài toán 1: 𝐶ℎ𝑜 𝑓 (𝑥 ) = |𝑥 | . 𝑇í𝑛ℎ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ?

Ta có: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 → 𝑥0 +

→ lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 → 𝑥0 +

𝑥 → 𝑥0 +

𝑥 → 𝑥0 −

𝑥 → 𝑥0

𝑥 =0 ; lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑓(𝑥) =lim

𝑥 → 𝑥0 −

𝑥 → 𝑥0

𝑓(𝑥) = 0

*Bài toán 2: Cho hàm số 𝑓(𝑥) =

Ta có: lim 𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑥0 +

lim 𝑓(𝑥) =

𝑥 → 𝑥0 −

lim

1

𝑥 → 𝑥0 + 1+𝑒 𝑥

lim

𝑥 → 𝑥0 −

Vậy: lim 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑥 → 𝑥0 +

1

1

1

1+𝑒 𝑥

1

−𝑥 = 0

. Tính 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥 → 𝑥0

= 0 (𝐾ℎ𝑖 𝑥 → 0+ 𝑑𝑜 đó:

1 + 𝑒𝑥

𝑥 → 𝑥0 −

1

𝑥 → 𝑥0 −

1

𝑥

= 1 (𝐾ℎ𝑖 𝑥 → 0− 𝑑𝑜 đó:

→ +∞ => 𝑒 𝑥 → +∞ )

1 1 → −∞ => 𝑒 𝑥 → 0) 𝑥

𝑓(𝑥) → lim 𝑓(𝑥) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛.

2. GI Ớ I H ẠN ĐẶ C BI Ệ T:

𝑥 → 𝑥0

1

3. QUY T ẮC L’HOPITAL :

*Bài toán 3: 𝑇í𝑛ℎ: lim

Thay x =0 vào ta có dạng

2𝑥 3

𝑥 → 0 𝑥−sin 𝑥

0

0

Áp dụng L’Hopital 3 lần ta có:

2𝑥 3 6𝑥 2 12𝑥 12 = lim = lim = lim = 12 𝑥 → 0 𝑥 − sin 𝑥 𝑥 → 0 1 − cos 𝑥 𝑥 → 0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 → 0 cos 𝑥 lim

Mệnh đề: 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)∀x.

Và lim 𝑔(𝑥) = lim ℎ(𝑥) =𝐿 . Khi đó lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Ta có:

*Bài toán 4: 𝑇í𝑛ℎ lim

lim 𝑥 2.sin 𝑥 𝑥 → 0 sin 3𝑥 1

= lim

Ta có: 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0

𝑥2 𝑥 → 0 sin 3𝑥

𝑥→0 𝑥2

𝑥

2 .sin 3𝑥1 𝑥sin

. sin 𝑥 = lim sin 3𝑥

= lim

𝑥→0

1

𝑥

𝑥2

𝑥 → 0 sin 3𝑥

.sin 3𝑥 3. 3𝑥

=

0

3

. lim sin 𝑥1

=0

𝑥→0

Ta lại có: 𝑔(𝑥) = |𝑆𝑖𝑛 ( )| ≤ 1; ∀ 𝑥 ≠ 0 → 𝑔(𝑥) 𝑙à ℎà𝑚 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛. 𝑥 1

Vậy ậy lim 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0 𝑥→0

II. TÍNH LIÊN T ỤC:

1

𝑥 2 .sin 𝑥 ↔ lim sin 3𝑥 𝑥→0

=0

1.ĐỊNH NGHĨA:

- Hàm số f được gọi là liên tục tại 𝑥0 𝑛ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) - 𝑓(𝑥0 − ) =

- 𝑓(𝑥0 + ) =

𝑥 → 𝑥0

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) : f liên tục trái tại điểm 𝑥0

𝑥 → 𝑥0 −

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) : f liên tục phải tại điểm 𝑥0

𝑥 → 𝑥0 +

- Hàm số f được gọi là liên tục trong (a,b) khi f liên tục tại mọi x ∈ (a,b)

- Hàm số f được gọi là liên tục trên [a,b] khi f liên tục trong (a,b), liên tục bên phải a, liên tục bên trái b. - Nếu f không liên tục tải điểm 𝑥0 thì 𝑥0 được gọi là điểm gián đoạn của f. 2. ĐỊ NH LÍ:

a, Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại 𝑥0 : 𝑓(𝑥0 + ) = 𝑓(𝑥0 − ) = 𝑓(𝑥0 )

b, Nếu hàm f và hàm g liên tục tại 𝑥0 thì các hàm f ± g; f.g ; 𝑔 (𝑔(𝑥0 ) ≠ 0) cũng

liên tục tại 𝑥0 .

𝑓

c, Nếu hàm f liên tục tại 𝑥0 và g liên tục tại 𝑦0 =𝑓(𝑥0 ) thì hàm g cũng liên tục tại 𝑥0

*Đặc biệt: Các hàm số sơ cấp sẽ liên tục trên kho...