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PROBABILIDAD TRABAJO COLABORATIVO N. 2

GRUPO: 100402_312 ADRIANA MORENO ZAMUDIO COD. 1048846773 EDISSON ALEXANDER ROA COD. 1048846294 YERALDINE SALAZAR LOPEZ COD. 1018453311 OSCAR RINCON COD. 7318652 VICTOR ALFONSO CORTEZ 1073380945

TUTORA RUTH ISABEL RAMIREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES Y DE NEGOCIOS 2016

INTRODUCCIÓN

La segunda unidad trata sobre las propiedades y leyes de la probabilidad, además se definen los distintos tipos de variables (aleatoria, continua y discreta). También se establece la varianza y desviación estándar, teniendo en cuanta autores como Chébyshev. En el estudio de la segunda unidad se trabajaran temas como: variable aleatoria, Distribución discreta de probabilidad, Distribución continua de probabilidad, varianza de variables aleatoria, Teorema de Chébyshev, distribución de la probabilidad discreta, distribución de la probabilidad continua, etc. La segunda unidad permite complementar los temas que se vieron en la primera unidad enfatizando en las diferentes operaciones, la agrupación, distribución, análisis y procedimientos que hacen una comprensión completa de la materia. El siguiente trabajo muestra un cuadro sinóptico que resume los temas de la unidad y presenta diferentes ejercicios a manera de ejempl9o de los temas tratados.

CUADRO SINÓPTICO, CAPITULO UNO, UNIDAD 2

CAPITULO 1 VARIABLES ALEATORIAS

Concepto

Definición Función que ubica el espacio muestral en el conjunto de los

Variable aleatoria

números reales. Donde X define es una función. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda =X(cara)=0 y X(sello)=1 Función de valor que asigna un número real finito (o infinito contable) a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Puede ser aleatoria o discreta Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos

Variable aleatoria discreta

Siguientes: ∑P(X=x)=1, 0≥P(X=x)≤1 Ejemplo: Función que pueden tomar valores en una escala continua, el procedimiento es casi el mismo que la variable aleatoria. Se dice

Variable aleatoria continua

que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales. Se caracteriza f(x). En toda función se debe cumplir: f(x)≥0, ∫ f(x)dx=1, p(a≤x≤b) b∫a f(x)dx. Ejemplo:

da valor esperado de una variable aleatoria discreta X es: µx =E(X) =∑ (x*f(x)) Ejemplo: Considere la siguiente distribución de una variable Valor esperado y

aleatoria X.

varianza de una variable Aleatoria

X F(x

0 1 2 0.04 0.32 0.64

) La medida está dada por: µx =E(X) = (0*0.04) + (1*0.32) + (2*0.64) Distribución binomial,

Se aplica en áreas que tienen que ver con: inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones. Dichas distribuciones permiten abordar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categorías de gran relevancia: Que ocurra un evento determinado o que no lo haga. Este experimento aleatorio particular se denomina Ensayo de Bernoulli. La función de distribución binomial acumulada se expresa como:

Distribución binomial

Representa el número de fracasos que ocurren hasta obtener el n-

negativa

ésimo éxito en la realización de ensayos de Bernoulli con probabilidad p de éxito.

Distribución Geométrica

Representa el número de fracasos que ocurren hasta obtener el primer éxito en la realización de ensayos de Bernoulli con probabilidad p de éxito.

Distribución de Poisson

es en realidad una v.a. Binomial llevada al límite, es decir cuando n→∞ (aunque basta con que sea suficientemente grande) y p→0 (aunque basta con que sea suficientemente pequeño).

Distribución hipergeométrica

representa el número de éxitos que ocurrirán cuando de una población en la que hay N objetos cuya elección se considera (arbitrariamente) un éxito y M-N objetos fracaso, se extrae una muestra, sin repetición, de tamaño n.

Distribución uniforme

La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma

discreta

sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribución uniforme discreta está dada por: Para una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores 1, 2,…, n, la media es:

Su desviación

estándar es: Otros autores expresan estos parámetros en términos del rango de la

variable

aleatoria

discreta

uniforme

[a,

b].

Distribución uniforme

La distribución uniforme es útil para describir una variable

continua

aleatoria con probabilidad constante sobre el intervalo [a, b] en el que está definida. Esta distribución presenta una peculiaridad importante:

la

probabilidad

de

un

suceso

dependerá

exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable. Cualquiera sea la distribución F de cierta variable X, la variable transformada Y=F(X) sigue una distribución uniforme en el intervalo [0,1]. Esta propiedad es fundamental por ser la base para la generación de números aleatorios de cualquier distribución en las técnicas de simulación. Campo de variación: a £ x £ b Parámetros:

a: mínimo del recorrido b: máximo del recorrido

Distribución normal

se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida] La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de

Distribución cuadrado

una función gaussiana. chi Sea

k variables

aleatorias normales e independientes cada una con media 0 y desviación

estándar

1,

entonces

la

variable

aleatoria Se llama

variable aleatoria chi cuadrado con K grados de libertad

Formula:

Distribución t de student

Se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una independientes. De modo preciso, llamamos distribución tStudent con n grados de libertad,

a la de una v.a. T,

La distribución t de Student tiene propiedades parecidas a N (0,1): Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma; Es algo más dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando el número de grados de libertad aumenta.

ESTUDIO DE CASO 1 La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una de sus características consiste en que sólo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento y los resultados son mutuamente excluyentes; Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de

éxitos en el número total de ensayos. Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro. Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 76.2% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 12 vehículos.

DESARROLLO 1. ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución binomial? Identifíquelos Una distribución binomial consiste en repetir una prueba n veces. La prueba solo puede presentar dos resultados éxito o fracaso con suma de esas dos probabilidades igual a 1. A la probabilidad de éxito se le llama p. Y debe presentar la característica de que la probabilidad de cada prueba es independiente del resultado de las anteriores, es decir, que p es constante para todas las pruebas. Esta situación no cumple por entero los requisitos de una distribución binomial, cuando salga un conductor con cinturón la probabilidad de que los otros lleven cinturón disminuirá algo y viceversa. Pero se supone que la cantidad de conductores es tan grande que esa diferencia es despreciable. Por tanto, podemos asumir que es una

binomial casi perfecta. Es una B (

)

2. Elabore un diagrama de barras para la distribución de probabilidad binomial que representa esta situación Diagrama de barras

3. ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 7 de los 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad? La fórmula de probabilidad de la binomial es:

Aplicamos la fórmula para

4. ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 7 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad? Ya tenemos la de 7, calculamos las de 8 hasta el 12

=

5. ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera de máximo 7 de los 12 vehículos

=1 P (>7)=1 [P (≥ 7) [0.9563438176

(7)] =

0.09021832636]= 0.1338745087

Encuentre el valor esperado del número de vehículos en los que los ocupantes de la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad?

ESTUDIO CASO 2 El Baloto, es la lotería en línea de Colombia, supervisado por ETESA (Empresa territorial para la salud). Es un juego que consiste en acertar 6, 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 45; El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 45 balotas numeradas del 1 al

45. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números.

DESARROLLO 1. ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica? Identifíquelos (Sugerencia: Divida los 45 números en dos grupos: ganadores y no ganadores) Si en el apartado 2 nos dicen que calculemos la probabilidad usando la distribución hipergeométrica será porque este apartado es verdadero, luego a intentar demostrarlo. En la distribución hipergeométrica hay una población N y unos elementos de ella que cumplen una propiedad, la cantidad de estos elementos es d. Entonces nosotros extraemos una muestra n de la población y la distribución nos da la probabilidad que hayamos elegido x elementos con la propiedad. La población N son los

números.

Los elementos que cumplen la propiedad son los 6 que han salido en el sorteo. La muestra que tomamos es una muestra de 6 números. Y la probabilidad que nos da la distribución hipergeométrica es la de tener de 0 a seis ganadores en la muestra. 2. Usando la distribución de probabilidad hipergeométrica determinar la probabilidad de que el jugador acierte los 6 números La probabilidad viene dada por esta fórmula:

P

)=

La de acertar 6 es:

P

)=

3. La empresa encargada del sorteo informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 8145060. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? Coincide esto con su respuesta anterior. El sorteo también otorga un premio si el jugador hace coincidir 3, 4 o 5 de los números ganadores En términos de probabilidad significa P

)=

Coincide a la perfección porque llega a esa misma fracción.

4. Calcule la probabilidad, para hacer coincidir 3 de los 6 números ganadores. Se usara la fórmula que se anunciaba antes pero ahora x=3

P

)=

La de acertar 3 es

P

)=

5. Calcule la probabilidad de que coincidan 4 de los 6 números ganadores

Aplicamos la fórmula para el caso n=

P

)=

La de acertar 4

P

)=

El combinatorio 45 sobre 6 ya está calculado dos veces antes, lo pongo directo.

6. Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores

P

)=

La de acertar 5 es

P

)=

El combinatorio 45 sobre 6 ya está calculado dos veces antes, lo pongo directo.

7. Con base en los resultados obtenidos, usted invertiría dinero en el BALOTO?

Con base a los resultados no, porque acertar 6 es casi imposible y acertar

imposible, tampoco es fácil acertar

y acertar

medio

con suerte una vez al año si juegas

todas las semanas. Pero aparte de las probabilidades hay que tener en cuenta lo que no se reparte en

premios porque se lo lleva el estado, y eso puede ser el

o más, y después los

impuestos si te tocara un premio gordo. Luego no, no jugaría. Solo cuando hay un bote gordísimo a lo mejor me da por jugar un poquito.

ESTUDIO DE CASO 3 La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado. La compañía de aviación Delta Airlines, se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros, por lo que pocas veces se pierde equipaje. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.3. DESARROLLO 1. ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson? Identifíquelos Los supuestos de la distribución de Poisson son sucesos puntuales que se dan en el tiempo o en el espacio continuo; son sucesos independientes, la probabilidad de que suceda uno no cambia la probabilidad de que suceda otro; y la probabilidad es constante en todo el continuo espacio-tiempo. El elemento que se necesita es la media de sucesos que ocurren en una unidad de espacio o tiempo. En este caso son 0.3 maletas perdidas por vuelo.

2. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta Debemos usar la fórmula:

3. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta

4. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas.

5. Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas Si. Habría que restar de 1 la probabilidad de perder 0,1,2,3,4 maletas. Aunque se podría aprovechar lo hecho lo haré todo en una sola cuenta.

6. ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están perdiendo demasiadas maletas? se pierden 2 ya son muchas, porque la probabilidad de perder 2 o más solo es:

ESTUDIO DE CASO 4

Para una población grande de personas sin hogar, Wong y Piliavin (2001) examinaron factores de estrés, recursos y agotamiento psicológico empleando la Escala de Depresión del Centro de Estudios Epidemiológicos (CESD), un cuestionario de evaluación comunitario. Entre las personas sin hogar, la puntuación media del cuestionario CESD es 23,5 con una desviación estándar de 7.5 y se considera que para la Variable X = puntuación del CESD, la distribución es normal. Como trabajador en el área de admisiones en un refugio para personas sin hogar, usted es el encargado de aplicar el CESD y debe evaluar los resultados para las nuevas personas que lleguen al centro. Dentro de las políticas del refugio se encuentra que cualquier persona cuya puntuación sea de 20 o más puntos en el CESD debe enviarse a ver a un doctor. Para el desarrollo del informe se empleara la tabla de Distribución Normal

DESARROLLO 1. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor Para ello emplearemos de distribución normal: Por lo tanto:

Reemplazamos:

Utilizamos la tabla correspondiente: Por lo tanto:

La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor es del 68.09%

2. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos

Entonces:

Este valor lo tomamos de la tabla y hace referencia a:

La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos es de 14%

3. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos Aplicando el inciso d del teorema de Distribución Normal (d) para todo a y b reales, se cumple que

Por lo tanto:

Verificamos el valor en la tabla:

La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos es de 16.05%

4. Si las personas sin hogar con puntuación en el 15% más alto deben ser enviadas a los servicios de prevención de suicidios, ¿Qué puntuación hace calificar a una persona que llega al refugio para este servicio? Buscamos en la tabla 1B, el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,85 (85%), por lo que por arriba estaría el 15% restante. Este valor corresponde a Z = 1.04. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada: Hay que encontrar los puntos que permitirán para calificar en ese servicio, para lo cual hay que despejar la formula de Distribución Normal

Reemplazando:

Por lo tanto, la puntuación que hará calificar a una persona para los servicios de prevención de suicidios es 31.3 puntos.

5. Las personas sin hogar con puntación en el 25% más bajo, se les envía a un servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos. ¿Qué puntuación permite calificar a una persona para acceder a este servicio? Buscamos en la tabla 1A, el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,25 (25%), en este caso usaremos el porcentaje dado en la taba con negativos, ya que se trata del valor más bajo. Este valor corresponde a Z = -0.65. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada utilizando la siguiente formula:

Reemplazamos valores: Tomando valores de la tabla:

A partir de ello podemos decir que: la puntuación que hará calificar a una persona para los servicios de orientación laboral es 18.625 puntos....