Reporte de proyecto cálculo integral PDF

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En este reporte se incluye una práctica que sirvió como proyecto final de la materia de cálculo integral en el que en base a un problema se realizaron los cálculos correspondientes para solucionarlo y además se hicieron los procedimientos necesarios para obtener prototipos físicos. Principalmente se...

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COBAED #20 Área: Especialidad Nutrición Cálculo Integral UNIDAD 4 REPORTE FINAL DE PROYECTO DE ASIGNATURA

“Nadando en integrales” Equipo conformado por: Joel García García Jesús Alejandro López Soto Blanca Beatriz Campos Alanís Salma Esparza Sánchez

Maestra: M.E. María Luisa Valdés Lares Cd. Gpe. Victoria Dgo. Fecha de entrega: 10/06/2018

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Índice Introducción...............................................................................................................1 Justificación...............................................................................................................2 Objetivos....................................................................................................................3 Generales...............................................................................................................3 Específicos.............................................................................................................3 Marco Teórico............................................................................................................4 Aplicaciones de la integral.....................................................................................4 Modelación matemática.........................................................................................5 Uso de softwares en matemáticas.........................................................................6 Impresión 3D..........................................................................................................8 Metodología.............................................................................................................10 Problema: Nadando en integrales.......................................................................10 Alberca 1..............................................................................................................12 Alberca 2..............................................................................................................20 Alberca 3..............................................................................................................26 Alberca 4..............................................................................................................29 Impresión 3D de las piezas..................................................................................36 Comprobación de las integrales y del volumen en Python..................................40 Elaboración de la maqueta..................................................................................42 Lista de materiales a utilizar.................................................................................43 Cronograma de actividades.....................................................................................44 Conclusión...............................................................................................................45 Bibliografía...............................................................................................................46

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Introducción La elaboración de este documento se basó principalmente en cumplir con el objetivo de informar sobre lo realizado en el proyecto de la asignatura de cálculo integral, dicho proyecto se basó en la aplicación de la integral definida con demostraciones prácticas, el proyecto fue titulado “Nadando en integrales”. Las aplicaciones que fueron elegidas para ser demostradas fueron la interpretación del área bajo la curva y del área entre dos gráficas, tomando como modelos albercas de plásticos con formas basadas en funciones, las cuales fueron incluidas en una maqueta para representar un parque acuático. Los planos de las piezas se elaboraron en GeoGebra, para descubrir las funciones a graficar se utilizó la resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices. El diseño de la pieza en 3D se elaboro en SolidWorks debido a la experiencia con el uso de dicho software. Diseñar la pieza en SolidWorks permitió que fuera posible realizar su impresión em 3D y obtener así una gran exactitud en la forma y diseño deseados. El cálculo del volumen se realizó antes de imprimir las piezas, pues al conocer las funciones y la altura de la pieza se podía calcular con anticipación y después comprobar el volumen con la pieza real para conocer si los cálculos eran correctos, Se utilizó Python y en particular la librería Sympy para calcular las integrales correspondientes y verificar los cálculos ya obtenidos anteriormente. Los resultados que se obtuvieron son satisfactorios pues al momento de comprobar las integrales todas concordaron con los datos ya conocidos. En el caso de los volúmenes de las piezas al comprobarse en la realidad se llegó a la conclusión de que la estimación del volumen que se encontró con las integrales es correcta pues todas las piezas se llenaron con la cantidad de líquido que ya se había calculado.

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Justificación

El proyecto se decidió realizar del cálculo del volumen de una alberca, debido a la forma y estructura que estas posen se pueden utilizar diversas fórmulas e integrales para encontrar el volumen exacto del prisma irregular que se genera. Utilizando integrales definidas e indefinidas, así como curvas que generen las diferentes funciones a integrar. Al ser las integrales el tema principal del semestre, se consideró una excelente manera de relacionarlo con la materia y con los temas que se desarrollan durante todas las unidades temáticas. Se cree que este proyecto puede ayudar y generar un impacto positivo en la sociedad pues al ser una materia muy teórica en ocasiones podemos dejar a un lado la aplicación práctica de la materia. Este proyecto podrá ayudar a las personas que estudian el cálculo integral a comprender la importancia de las integrales definidas, así como visualizar una aplicación práctica ellas. Se podrá analizar visualmente la comprobación del volumen después de haber obtenido el resultado de la integral definida y se corroborará la solución utilizando vasos de precipitado graduados. En relación con los contenidos temáticos de la asignatura se incluye el uso de funciones, resolución de ecuaciones múltiples, sumas de Riemann para encontrar el área bajo la curva, integral definida para interpretar áreas, y aplicación de la integral definida en el cálculo de volúmenes de primas irregulares.

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Objetivos

El proyecto cuenta con el objetivo principal de mostrar la aplicación de las integrales, para cumplirlo se ha seleccionado un prisma irregular representado en un objeto de uso común, de tal manera que se pueda observar fácilmente su aplicación. Se cuenta con la siguiente clasificación de objetivos centrales para su entendimiento y demostración. Generales 1. Utilizar el concepto general de antiderivada de una función. 2. Aplicar el concepto de integral definida. 3. Analizar la relación del cálculo integral y el área bajo la curva. 4. Analizar la relación entre la integral definida y situaciones que impliquen el cálculo de volúmenes de prismas irregulares.

Específicos 1. Presentar de forma práctica la aplicación de la integral definida analizando aspectos importantes de una maqueta, representada por varias albercas. 2. Aportar el conocimiento de integral definida a cualquier persona, por medio de una representación en objetos conocidos, para que sea fácil de observar y entender. 3. Calcular integrales indefinidas del prisma irregular que genera el plano de la alberca para obtener el área bajo la curva y poder así encontrar el volumen de la alberca. 4. Representar la forma de la alberca por medio de funciones polinomiales. 5. Demostrar de forma práctica y visual que el resultado de la integral indefinida es correcto.

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Marco Teórico Aplicaciones de la integral La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida [ CITATION Dom10 \l 2058 ]. Área bajo la gráfica de una función Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:

Imagen 4.1 (Interpretación del área bajo la curva)

Área entre las gráficas de funciones Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas. Más bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g [ CITATION Lui11 \l 2058 ]. Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [b,a] con, f(x) > g(y), el área de la región R está dada por:

Imagen 4.2 (Fórmula para obtener el área entre dos gráficas)

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Longitud de curva En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Imagen 4.3 (Caso 1 para medir la longitud de una curva)

Imagen 4.4 (Caso 2 para medir la longitud de una curva)

[ CITATION Jim16 \l 2058 ] Modelación matemática Este método se aplica en aquellas situaciones donde el estudio o análisis del objeto cognitivo es inviable, resulta muy costoso o demasiado riesgoso. El trabajar con el modelo del objeto cognitivo y no con su original ofrece la ventaja de que, en forma segura, rápida y sin grandes gastos económicos permite estudiar las propiedades del objeto cognitivo en cualquier situación imaginable. La aplicación de la modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática (modelo matemático) la cual, implementada

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en algoritmos lógico – numéricos en un ordenador, permite estudiar las cualidades del proceso original[ CITATION Lui13 \l 2058 ]. Este método de cognición conjuga las ventajas de la teoría y del experimento. Al trabajar con el modelo matemático y no con el objeto cognitivo, en forma relativamente rápida y a bajos costos, se pueden estudiar y pronosticar sus propiedades de estado (ventaja teórica). Al mismo tiempo los algoritmos numéricos permiten, apoyándose en la potencia de cálculo de los ordenadores, verificar las cualidades del objeto cognitivo en una forma no accesible para los enfoques teóricos (ventaja del experimento). El segundo nacimiento de la modelación matemática tuvo lugar con la aparición del ordenador en los años 40 – 50 del siglo XX y fue impulsado por los requerimientos, sin precedente, de los gobiernos de Estados Unidos y de la Unión Soviética (Samarsky y Mikhailov, 1997) para la creación de escudos de defensa antiaérea contra mísiles nucleares. En este caso la modelación matemática cumplió con todas las expectativas, explosiones nucleares, trayectorias de misiles y lanzamiento de satélites fueron realizados con anterioridad en las entrañas de ordenadores con la ayuda de modelos matemáticos [CITATION Dom10 \l 2058 ]. Uso de softwares en matemáticas Phyton Python es un lenguaje de programación cuya filosofía hace hincapié en una sintaxis que favorezca un código legible. Se trata de un lenguaje de programación que soporta orientación a objetos, programación imperativa y en menor medida, programación funcional[ CITATION Lui13 \l 2058 ].

Imagen 4.5 (Interfaz de software Python)

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SolidWorks SOLIDWORKS es un software de diseño CAD 3D (diseño asistido por computadora) para modelar piezas y ensamblajes en 3D y planos en 2D. El software que ofrece un abanico de soluciones para cubrir los aspectos implicados en el proceso de desarrollo del producto. Sus productos ofrecen la posibilidad de crear, diseñar, simular, fabricar, publicar y gestionar los datos del proceso de diseño [CITATION Lui \l 2058 ].

Imagen 4.6 (Interfaz de SolidWorks)

GeoGebra GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.

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Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas [ CITATION Mig97 \l 2058 ].

Imagen 4.7 (Interfaz de GeoGebra)

Impresión 3D La impresión 3D es aquel proceso mediante el cual, un cable de un material generalmente es un plástico o derivado, se moldea por adición para tomar una forma específica que se corresponde a unos planos desarrollados por computadora. El proceso Lo que se hace es calentar el material plástico a una temperatura determinada hasta que se puede verter para que tome una forma determinada, solidificándose al enfriarse. Existen una gran variedad de métodos para calentar los materiales con los que se imprime, como fundir el material, o utilizar un láser o distintos tipos de rayos (haz de electrones, ultravioletas). Una vez fundido y moldeable, lo que hace la impresora es verter el líquido o semilíquido resultante en forma de capas sucesivas según las instrucciones dadas por el programa informático que sigue los planos creados por el diseñador. 9

También se pueden llegar a utilizar materiales distintos, como papel, yeso, cemento o metales, aunque son los menos comunes y los más especializados. Y, finalmente, podríamos hablar de las impresoras 3D de comida, para las cuales el material base es el alimento crudo y cuyo resultado es un plato cocinado, en la línea de los llamados “robots de cocina”[ CITATION Gui16 \l 2058 ]. Para imprimir en 3D en una impresora pequeña/media de tipo doméstico, en primer lugar hay que llevar a cabo un proceso de alineación de la plataforma con el cabezal y que la distancia entre ambos sea la adecuada. También hay que calentar ambos elementos a una temperatura que sea la adecuada para el proceso. Durante la impresión, deberemos monitorizar que los parámetros de temperatura sean siempre los adecuados. El uso de tecnología de impresión 3D es ya a día de hoy una realidad, utilizada tanto a nivel industrial como en el entorno doméstico, aunque por el coste de las impresoras y materiales, esto último es menos común. En el terreno industrial, se pueden realizar piezas a medida para maquinaria y otros usos, de forma que se ahorra tiempo y dinero en la creación de moldes para después fabricar, por inyección, lo que a lo mejor solo se necesita un sólo ejemplar[ CITATION Gui16 \l 2058 ].

Imagen 4.8 (Proceso de impresión 3D)

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Metodología El problema en el que se basa este proyecto se retoma de la aplicación de las integrales para encontrar el área bajo de la curva, el enunciado del problema se muestra a continuación. Problema: Nadando en integrales Un balneario cuenta con 4 albercas diferentes, al responsable del cuidado de las albercas se le informa que cierto día no habrá servicio de agua potable, por lo que deberá contratar pipas para poder rellenar de agua las albercas y no cerrar el balneario. El encargado de las albercas desea saber con la mayor exactitud posible la cantidad de agua que requerirá para rellenar las albercas pues quiere conocer la cantidad de pipas que deberá contratar. De cada una de las albercas se conocen los siguientes datos: Alberca 1.- Esta alberca es de forma rectangular, mide 18.5 metros de largo y 7 de ancho, la alberca esta dividida en dos secciones, la sección infantil tiene 1 metro de profundidad mientras que la sección para los adultos 2 metros, la sección infantil mide 10 metros de largo, la sección para adultos 5.5 metros y se encuentran separadas 3 metros entre si por una pendiente que conecta la profundidad de 1 metro con la de 2 formando una especie de diagonal. Ambas secciones de la alberca tienen formas parabólicas que son parte de su diseño, en la sección infantil se sabe que la forma parabólica pasa por el punto (4,7), (6,5) y (7,6), dicha forma se une a un rectángulo que toca el punto (7,6) y que mide 3 metros de largo por 1 de ancho, en la sección para adultos se sabe que los puntos por los que pasa la forma parabólica son (13,7), (15,5) y (16,6), de igual forma un rectángulo toca el punto (16,6) y mide 2.5 metros de largo por 1 de ancho. Se sabe que ambas formas parabólicas son exactamente iguales. Alberca 2.- Tiene una forma irregular, se sitúa en un plano de 7.5 metros de largo por 6 de alto. Se pueden distinguir 2 pequeños vértices en los extremos de la alberca, la zona de abajo es cuerva semejante a la forma de una parábola, en los planos de la alberca se encontró que esa curva pasa por el punto (4, .5), inicia en 11

el punto (0,2.5) y termina en el punto (7.5,3), la parte de arriba que cierra la alberca también tiene forma curva pero de forma doble, asemejándose a la forma de una función de grado 4, esta curva inicia de igual forma en el punto (0,2.5) y se sabe que pasa por los puntos (1.5,4), (4,3.5) y (6.5,5.5), terminando en el punto (7.5,3). Tiene una profundidad de dos metros. Alberca 3.- Tiene una forma irregular, asemejándose a una piano, se sitúa en un plano que mide 5.5 metros de largo y 7 de alto. Dos se sus lados son totalmente rectos, formando una escuadra con las medidas de los datos anteriores. Esta alberca está formada por secciones circulares. Suponiendo que el lado recto que representa la altura se sitúa del lado derecho en el plano se puede afirmar que del punto (5.5,7) se genera un segmento de recta hacia el lado izquierdo que mide 1.5 metros de largo, de ahí se observa una sección curva, del tamaño de la cuarta parte de una circunferencia con centro en (4,6) y que pasa por el punto (4,7) y (3,6). Del punto (3,6) se aprecia un segmento de recta hacia debajo de 1 metro de largo, luego se aprecia otra sección circular que se sabe que tiene su centro en el punto (1.5,5) y que pasa por los puntos (3,5) y (1.5,3.5), de ahí en el plano se aprecia otra sección recta hacia la izquierda que mide medio metro, posteriormente otra sección circular con centro en el punto (1,2.5) y que pasa por los puntos (1,3.5) y (0,2.5), cerrando la alberca se encuentra una recta que mide 2.5 metros de largo y que une los puntos (0,2.5) con el vértice de la alberca. Esta alberca tiene una profundidad de 2 metros. Alberca 4.- Es parecida a la forma de la alberca 2, sin embargo, en el plano de la alberca se aprecia que, si bien se divide en 2 secciones, la sección de abajo no es de forma parabólica si no que involucra dos secciones de forma circular y una línea recta. La alberca se ubica en un plano de dimensiones máximas de 7.5 metros de largo por 6 metros de alto. La primer sección circular de abajo inicia en el punto (0,2.5) termina en el punto (2.5,0), además se sabe que tiene centro en el punto (2.5,2.5).

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Después sigue un segmento de recta que inicia en el punto (2.5,0) y que mide 2.5 metros de largo, el cual conecta con el segundo segmento circular, del mismo tamaño que el primero solo que este tiene centro en el punto (5,2.5). La sección de arriba que cierra la alberca tiene forma de doble curva, parecida a la forma de una función de grado 4, se sabe que pasa por 5 puntos diferentes, los vértices de la alberca: (0,2.5) y (7.5,2.5), además de los puntos (1.5,5.5), (4,4.5) y (6,5). La profundidad de esta alberca también es de 2 metros. El encargado de las albercas realizo un extenuante trabajo para recolectar los datos anteriores, el objetivo es calcular el volumen de cada una de las albercas para saber la cantidad de agua exacta que se necesitara. Proceso de solución de los problemas Para trabajar con los datos anteriores se decidió utilizar una escala de 1 cm: 50 cm. Todos los planos y prototipos que se presentaran a continuación utilizan esta escala. Alberca 1 Desarrollo del plano Primeramente y en base a los datos que nos proporciona el ...