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Resumen Sistema de ecuaciones de primer grado...

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ASIGNATURA: MATEMATICAS APLICADAS

SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

La ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas y contiene una o más incógnitas. Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + ¿ = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).

EJEMPLO:

Escribimos los monomios con incógnita en la izquierda y los que no tienen incógnita en la derecha. Como 5x5x está sumando en la derecha, pasa restando a la izquierda. El número 1 de la izquierda está restando, así que pasa sumando al otro lado:

Sumamos los monomios en cada lado:

Es decir,

Para despejar la incógnita, debemos pasar el coeficiente de la incógnita a la derecha. Como está multiplicando, pasa dividiendo (con el signo negativo incluido):

Finalmente, simplificamos la fracción:

Por tanto, la solución es x=−3x=−3.

SISTEMA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0 Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

x=

−b ± √b 2−4 ac 2a

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer grado 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación 3.

Se

resuelve

la

ecuación

resultante.

4.

Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

EJEMPLO: 2

2

x + y =25 x + y =7

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y=7−x 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3. Se resuelve la ecuación resultante. los cálculos auxiliares) x 2+49−14 x + x 2=25

(En el lado derecho se muestran

Resolvemos (7-x)2 = (7-x) . (7-x)

2 2 x −14 +24 =0 Agrupamos los términos semejantes.

x 2−7 x +12=0

Dividimos todos los términos por 2

Resolvemos la ecuación de segundo grado utilizando la fórmula: x=

−b ± √ b −4 ac 2a

x=

7 ± √ 49 −48 7 ± 1 =¿ x1=4 x2= 3 = 2 2

2

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x=3

y=7−3

y=4

x=4

y=7−4

y=3

METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES: METODO DE IGUALACIÓN. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

EJEMPLO:

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:

Entonces, Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.

METODO DE SUSTITUCIÓN. consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita. Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

-17 y = -17, y = 1. Como

, y se

, entonces x = 2.

METODO DE REDUCCIÓN. 

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.



Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.



Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:...