Segunda Relación Tema 1 Soluciones PDF

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Ejercicios con solución muy completos...

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Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas) Matemáticas de las Operaciones Financieras

Solución ejercicios Segunda Relación del Tema 1

1. Suponga que usted invierte 10.000 € los cuales generan 500 € de intereses tanto para el caso de la que la inversión dure 180 días como 200. ¿Tendrían las dos operaciones la misma rentabilidad efectiva? Justifíquelo analíticamente (utilice la capitalización simple y considere el año civil, es decir, 365 días). Solución: El esquema gráfico es el siguiente: 10.000

10.000+500

|—————————————————| 0

180 días

10.000

10.000+500

|————————————————————| 0

200 días

æ 180 ÷ö 10.000 çç1 + ·i ÷ = 10.500  i = 0,101388889  10,14% çè 365 ÷÷ø æ 200 ÷ö 10.000 çç1 + ·i ÷ = 10.500  i = 0, 09125  9,13% çè 365 ÷÷ø

La primera inversión tiene una mayor rentabilidad efectiva, como cabía esperar, ya que recibimos la misma cantidad de intereses que en la segunda, pero 20 días antes.

2. Suponga que el tipo de interés al que una entidad financiera remunera sus cuentas de depósito es, en estos momentos, el 4% anual, previéndose que dentro de dos años el tipo de interés se reduzca al 3% anual. Obtenga la cuantía acumulada en dicha cuenta al cabo de cinco años si se liquidan los intereses bajo el régimen de capitalización compuesta a partir de una inversión inicial de 1.000 €. Solución: El esquema gráfico es:

1

1.000 |—————|—————|—————|—————|—————| 0

1



4%

2

3



4

3%

5

años



C 5 = 1.000(1 + 0, 04)2(1 + 0, 03)3 = 1.181, 89 Aunque no lo pida, calcularemos la rentabilidad efectiva, tanto en simple como en compuesta:

1.000(1  i )5  1.181, 89  i  0, 033987793 1.000(1  5i)  1.181, 89  i  0, 036378

3. Ordene, de mayor a menor rentabilidad, los siguientes tantos nominales: a)

6,25% capitalizable mensualmente.

b)

6,3% capitalizable semestralmente.

c)

6,3% capitalizable trimestralmente.

d)

6,2% capitalizable bimestralmente.

Solución: Calcularemos el tanto efectivo anual:

a) i12 =

j 12 12

12

=

æ 0, 0625 0, 0625 ö÷ ÷ - 1 = 0, 064321815  i = çç1 + çè 12 12 ÷÷ø 2

æ 0, 063 0, 063ö÷ ÷÷ - 1 = 0, 06399225  i = çç1 + b) i 2 = = çè 2 2 2 ÷ø j2

4

æ 0, 063 0, 063ö÷ =  i = çç1 + c) i4 = ÷÷ - 1 = 0, 064504064 çè 4 4 4 ÷ø j4

6

æ 0, 062 0, 062ö÷  i = çç1 + d) i 6 = = ÷÷ - 1 = 0, 063623906 çè 6 6 6 ÷ø j6

Orden: c, a, b y d.

4. Si tiene una "punta de tesorería" de un millón de euros, ¿cuál de las siguientes opciones elegiría para invertir dicha cuantía? ¿Por qué? 2

a) Bonos de la Compañía Nacional Ferroviaria que le ofrece un 5% nominal pagadero por trimestres. b) Una cuenta remunerada de su banco que ofrece un 5% anual. c) Bonos del Estado con un 5% nominal pagadero por semestres. d) Bonos de la Junta de Andalucía que generan un 5% nominal pagadero por meses. e) Me daría igual ya que todos los tipos son iguales (todos un 5%). Solución: 4

æ 0, 05÷ö a) j 4 = 5%  i = ççç1 + ÷÷ - 1 = 0, 050945337 4 ÷ø è

b) j = 5%  i = 0, 05 2

æ 0, 05ö÷ ÷ -1 = 0, 050625 c) j 2 = 5%  i = çç1 + çè 2 ÷÷ø

d)

12 æ 0, 05 ö÷ ÷÷ - 1 = 0, 051161898 j12 = 5%  i = çç1 + çè 12 ÷ø

Elegimos la opción d puesto que ofrece la mayor rentabilidad efectiva. Además es la opción que paga antes los intereses, con un mismo tipo nominal.

5. A usted se le ofrecen dos opciones para invertir: 

Bonos “Lapera”, que generan intereses al 6% cuatrimestral.



Bonos “Novamás”, que producen intereses al 3% bimestral.

a) ¿Cuál de las dos opciones le proporcionará una mayor rentabilidad efectiva según la ley de capitalización compuesta? b) ¿Qué valor tendría que alcanzar el tanto cuatrimestral para obtener la misma rentabilidad efectiva que los bonos “Novamás”? ¿Deberá ser superior o inferior al 6%? Razone la respuesta. Solución: a)

3

i = (1 + i3 ) - 1 = (1 + 0, 06)3 - 1 = 0, 191016

3

6

i = (1 + i6 ) - 1 = (1 + 0, 03)6 - 1 = 0,194052297

Este resultado es lógico ya que la opción bimestral paga justo la mitad del interés que la cuatrimestral (dos bimestres), pero lo paga antes. 3

b)

(1 + i ¢ ) 3

= 1,194052297  i 3¢ = 0, 0609

Para que las dos opciones sean equivalentes en rentabilidad, los tipos cuatrimestral y bimestral deben ser equivalentes, es decir, (1  i 6)2  (1  i 3)  i 3  (1  0, 03)2  1  0, 0609

Puesto que estamos en compuesta, los intereses bimestrales se acumulan al capital y generan nuevos intereses, luego el tipo de interés cuatrimestral, equivalente a un 3% bimestral, será mayor al doble de dicho 3%.

6. A un inversor, con 10.000 € y para un plazo de 2 años, se le ofrecen las dos siguientes alternativas: a) BANCO A: nominal del 7% pagadero por meses, durante los cuatro primeros meses, para posteriormente aplicar el 5% nominal, también pagadero por meses, durante el resto del primer año. El segundo año le aplicarían el 3% nominal pagadero por trimestres. b) BANCO B: pago semestral de intereses con un tanto efectivo del 4% durante el primer año y pago bimestral a un tanto bimestral del 1% durante el segundo. Si en ambos casos los intereses se acumulan al capital, determine la rentabilidad efectiva, en compuesta, de las dos alternativas, señalando cuál sería la elegida por dicho inversor. Solución: Banco A |——————|——————————|——————————| 0

4

 j12=7%  

12  

j12=5%

4

24 meses j4=3%



Banco B |—————————————|—————————————| 0

12



24 meses



i = 4%

i6 = 1%



4 8 4 æ 0, 07 ÷ö æç 0, 05 ÷ö æç 0, 03÷ö ç ÷÷ ç1 + ÷÷ ç1 + ÷÷ = 10.902, 62 C = 10.000 ç1 + çè 12 ÷ø çè 12 ÷ø çè 4 ÷ø A 2

(

10.000 1 + i A

2

)

= 10.812, 33  i A = 0, 044156119 4, 42%

Puesto que durante el primer año en el Banco B los intereses se pagan semestralmente, debemos calcular dicho interés equivalente al anual del 4%: 2

(1 + i ) 2

1

=1 + i  i2 =(1 +0, 04) 2 -1 = 0, 019803903 2

6

C B2 = 10.000 ( 1 + 0, 019803903) ( 1 + 0, 01) = 11.039, 81

(

10.000 1 + i B

2

)

= 11.039, 81  i B = 0, 050705001  5, 07%

Elegimos por tanto la inversión en el Banco B, ya que es la más rentable.

7. Un inversor adquiere acciones en bolsa por 20.000 € pagándolo al contado. Transcurrido un año compra otro paquete de acciones por un importe de 30.000 €. Pasados dos años más vende todas sus acciones por 60.000 €. Determine la rentabilidad efectiva obtenida, utilizando la capitalización simple y valorando al final de la operación. Solución: Planteamos en primer lugar el esquema gráfico: 20.000

30.000

60.000

|————————|————————|————————| 0

1

2

3

años

Prestación = Salidas de dinero = Inversiones = 20.000 (en 0) + 30.000 (en 1) Contraprestación = Entradas de dinero = Reintegro = 60.000 (en 3) Elegimos el momento final de la operación porque así lo establece el enunciado:

20.000 (1 + 3i ) + 30.000 (1 + 2 i ) = 60.000  i =

5

1  8, 33% 12

El problema está resuelto. No obstante, voy a plantear su solución eligiendo el momento actual para la igualación financiera:

20.000 + 30.000(1 + i)- 1 = 60.000(1 + 3i )- 1 6i 2  11i  1  0  i1   1, 92013, i 2  0, 0867995 Esta expresión es un polinomio de segundo grado, con dos raíces, una negativa, sin sentido financiero y una positiva de valor diferente de la que obtuvimos valorando al final.

8.- La empresa “X” descuenta en una entidad bancaria una letra de nominal 100.000 € que vence dentro de tres meses a un tanto de descuento del 5%. Determine: a) El efectivo que recibe la empresa “X” y la cuantía del descuento. b) El tanto de interés anual (rentabilidad efectiva, tanto en capitalización simple como en compuesta) que obtiene la entidad bancaria con esta operación financiera. Solución: a)

E =N -N ·d·n = 100.000 - 100.000·  descuento

b)

En simple:

En compuesta:

0, 05 ·3 = 100.000 - 1.250  = 98.750 12 descuento

 3  98.750 1  ·i   100.000  i  0, 050632911  5, 06% 12  

98.750 (1 +·i )

3

12

= 100.000  i = 0, 051602434  5, 16%

9. La empresa de la que usted es gerente lleva al banco tres letras de cambio de 2.000 € cada una y vencimientos trimestrales consecutivos. Si el tipo de descuento anual es del 10%, calcule el total efectivo abonado en su cuenta corriente así como el coste efectivo (utilice la capitalización simple) de cada letra individualmente.

6

Solución: 2.000

2.000

2.000

|————————|————————|————————| 0

1

2

3

trim.

Valoramos en 0 todos estos capitales utilizando la ley de descuento: æ ö æ ö æ ö 3 6 9 E = çç 2.000 - 2.000· ·0,1÷÷÷ + çç 2.000 - 2.000· ·0,1÷÷÷ + çç2.000 - 2.000· ·0,1÷÷÷ = çè ÷ø çè ÷ø çè ÷ø 12 12 12

=(2.000 -50) +(2.000 -100) +(2.000 -150) = 1.950 +1900 + 1850 = 5.700 1a letra:

æ 3 ö 1.950 çç1 + i ÷÷÷ = 2.000  i = 0,102564103  10, 26% çè 12 ÷ø

2a letra:

æ 6 ö 1.900 çç1 + i ÷÷÷ = 2.000  i = 0,105263158  10, 53% çè 12 ÷ø

3a letra:

æ 9 ö 1.850 çç1 + i ÷÷÷ = 2.000  i = 0,108108108  10, 81% çè 12 ÷ø

Podemos observar que a mayor plazo del descuento mayor rentabilidad efectiva para el banco, y en consecuencia, mayor coste para el librador. Es fácil deducir la expresión que relaciona el tipo de descuento con el tipo de interés simple:

E (1 + n·i ) = N  N (1 - d ·i )(1 + n·i ) = N  i =

d 1 - d ·n

Para un mismo tipo de descuento, d, a mayor tiempo, n, el denominador disminuye, con lo que fracción aumenta.

10. a) Calcule el nominal por el que un empresario ha de librar una letra de cambio para dentro de 10 meses, si el efectivo recibido en este momento es de 1.000 € y el tanto de descuento aplicado es del 10% anual. b) Obtenga también el coste efectivo que ha supuesto para dicho empresario esta operación, utilizando para ello la capitalización compuesta. Solución: a) En este caso conocemos el efectivo y deseamos calcular el importe del nominal, tal que una vez restado el descuento nos quede el efectivo pedido:

7

æ 10 ö E = N - N·d· n  1.000 = N çç1 - 0, 1 ÷÷÷  N = 1.090, 91 çè 12 ÷ø 10

1.000 (1 + i )

b)

12

= 1.090, 91  i = 0,110060649  11, 01%

11.- Un empresario desea sustituir dos letras de cambio, la primera de 5.000 € que vence dentro de 4 meses y la segunda de 3.335 € que vence dentro de 9 meses, por una sola letra. Si se aplica un tanto de descuento comercial del 5%, determine: a) La cuantía de la letra equivalente dentro de 7 meses. b) El vencimiento medio, es decir, el vencimiento de la nueva letra si el nominal asciende a la suma aritmética de los nominales de las letras sustituidas. Solución: a) Dibujamos primero la gráfica: 5.000

N

3.335

|————————|————————|————————| 0

4

7

9

meses

Igualamos en 0 las letras antiguas con la nueva letra: æ ö æ ö æ ö 7 4 9 N ççç1 - 0, 05 ÷÷÷ = 5.000 ççç1 - 0, 05 ÷÷÷ + 3.335 ççç1 - 0, 05 ÷÷÷  N = 8.370, 75 12 12 12 è ø÷ è ø÷ è ø÷

En un caso como éste hablamos de vencimiento común. b) En este caso conocemos el nominal de la nueva letra, pero no el vencimiento, que, cuando dicha nueva letra es igual a la suma aritmética de las antiguas letras, se denomina vencimiento medio: æ æ æ nö 4 ö 9 ö (5.000 + 3.335) çç1 - 0, 05 ÷÷÷ = 5.000 çç1 - 0, 05 ÷÷÷ + 3.335 çç1 - 0, 05 ÷÷÷ çè ç ç 12 ÷ø 12 ÷ø 12 ÷ø è è

n = 6, 00059988  6 meses De forma alternativa podríamos haber calculado el vencimiento medio como la media aritmética de los vencimientos ponderada por sus nominales: Vencimiento medio =

N 1t 1 + N 2t 2 5.000 ´ 4 + 3.335 ´ 9 = = 6, 00059988 8.335 N1 + N2

8

12. Una entidad bancaria abona intereses al 2% de interés simple, liquidando los mismos a final de marzo, junio, septiembre y diciembre. Si una persona deposita 1.200 € el día 10 de febrero de 2007, calcular el montante que podrá retirar el 25 de abril del año siguiente (2008 fue un año bisiesto). (Nota: los intereses se ingresan en el propio depósito). Calcule también la rentabilidad efectiva, tanto en capitalización simple como compuesta. Solución: Las liquidaciones a final de cada uno de los trimestres son las siguientes:

C 31 -03 -07 = 1.200 + 1.200

49 0, 02 = 1.203, 22 365

C 30 -06 -07 = 1.203, 22 + 1.203, 22

91 0, 02 = 1.209, 22 365

C 30 -09 -07 = 1.209, 22 + 1.209, 22

92 0, 02 = 1.215, 32 365

C 31- 12- 07 = 1.215, 32 + 1.215, 32

92 0, 02 = 1.221, 45 365

C 31- 03- 08 = 1.221, 45 + 1.221, 45

91 0, 02 = 1.227, 52 366

C 25 -04 -08 = 1.227, 52 + 1.227, 52

25 0, 02 = 1.229, 20 366

Vamos a calcular las rentabilidades efectivas, tanto en simple como en compuesta: æ 440 ÷ö ÷÷ = 1.229,19  i = 0, 02023398  2, 02% Rentabilidad efectiva: 1.200 çç1 + i çè 366 ÷ø 440

Rentabilidad efectiva: 1.200 (1 + i )366 = 1.229,19  i = 0, 020192975  2, 02% Por último, aunque no lo pidan, podemos comprobar el resultado del montante, utilizando la capitalización compuesta por trimestres, que es como se liquidan los intereses: æ 440 ö÷ ç öççè365 ·4 ÷÷÷ø

æ 0, 02 ÷ ÷ C 25 -04 -08 = 1.200çç 1 + çè 4 ÷÷ø

9

= 1.229, 21

La diferencia de 2 céntimos es debido a los redondeos en los cálculos de los intereses y la utilización de 366 días en algunos de ellos.

13. Nuestra empresa ha recibido 350.000 € que utilizaremos dentro de dos años para la construcción de una nave industrial. Durante dicho periodo queremos rentabilizar la liquidez obtenida. Para ello tenemos dos ofertas: Oferta A. Nominal del 3,00% pagadero por meses, durante el primer mes, para posteriormente aplicar el 2,50% nominal durante el resto del primer año, también pagadero por meses. El segundo año se aplicaría el 2,00% nominal pagadero por cuatrimestres. Oferta B. Pago de intereses con un tanto efectivo del 2,50% durante el primer año y de un tanto semestral de 1,50% durante el segundo. Determine la rentabilidad efectiva de las dos ofertas (en capitalización compuesta) y, por tanto, cuál nos interesa más, suponiendo que los intereses periódicos generados se acumulan al capital invertido y estos se producen al final de cada periodo. Solución: Puesto que los intereses que se devengan se acumulan al capital,

podemos calcular el montante al final de los 2 años. Oferta A: 11

C 24

æ 0, 03 ÷öæç 0, 025 ÷ö ÷÷ ç1 + ÷ = 350.000 çç1 + çè 12 ÷øèç 12 ÷÷ø

3

æ ö çç1 + 0, 02 ÷÷ = 366.228, 15 çè 3 ÷÷ø

2

350.000(1 + i) = 366.228, 15  i = 0, 022920395  2, 29%

Oferta B: 2

C24 = 350.000 (1 + 0, 025)(1 + 015) = 369.593, 22

350.000(1 + i)2 = 369.593, 22  i = 0, 027609179  2, 76%

Nos interesa más la segunda oferta puesto que nos ofrece mayor rentabilidad.

14. a) Calcule el tanto semestral equivalente a un tanto nominal del 5%, capitalizable trimestralmente.

10

b) Usted abrió un depósito bancario con 2.500 €. Pasados 5 meses, ingresó 1.100 € más en el depósito. Transcurridos 4 meses desde este último ingreso, retiró todo el montante, que ascendía a 3.697,45 €. Determine la rentabilidad efectiva que se obtuvo en el depósito, utilizando la capitalización simple y valorando al final. Solución: 2

a)

æ 0, 05 0, 05ö÷ ÷ - 1 = 0, 02515625  2, 52%  i 2 = çç1 + j 4 = 5%  i 4 = çè 4 4 ÷÷ø

b) 2.500

1.100

3.697,45

|————————————|————————————| 0

5

æ 9 2.500 çç1 + çè 12

ö æ 4 i÷÷÷ + 1.100 ççç1 + 12 ø÷ è

9

meses

ö i ÷÷÷ = 3.697, 45  i = 0, 043472119  4, 35% ø÷

15. La entidad bancaria GADE nos ofrece un fondo garantizado para rentabilizar nuestros ahorros. Su publicidad indica que ofrece una rentabilidad de un 9,9983% durante los 3 años y dos meses de duración del producto, es decir, después de dicho plazo recibimos nuestro capital, en concreto, 30.000 €, más el porcentaje anterior sobre el importe invertido. Se pide: a) Calcule la rentabilidad efectiva del fondo. b) Plantee la ecuación que permita el cálculo anterior si la caja nos obliga a abrir una cuenta corriente, con una comisión de administración de 4 € bimestrales por vencido. Nota: Utilice la ley de capitalización compuesta en este ejercicio. Solución:

a)

Montante = 30.000 + 30.000·0,099983 = 32.999,49 30.000( 1 + i)

3+ 2 12

= 32.999, 49  i = 0, 030550444  3, 05%

b) La comisión de administración forma una renta constante pospagable, la cual formará ahora parte de la prestación real, es decir, de las salidas de dinero. Por tanto, la ecuación que nos permitiría el cálculo de la rentabilidad efectiva será: 11

30.000

4

4

4

·····

4+32.999,49

|—————|—————|—————|—————|—————| 0

1 - 1/6

30.000 + 4 (1 + i)

2 - 2/6

+ 4 (1 + i)

3

····· - 19/6

+  + 4 ( 1 + i)

19 bim. - 19/6

= 32.999, 49( 1+ i)

- 19

30.000 + 4

1 - ( 1 + i6 )

-19

= 32.999, 49 (1 + i6 )

i6

La resolución del problema acabaría en este punto. No obstante, la solución de la anterior ecuación, utilizando métodos numéricos o la función “Buscar Objetivo” de Excel, sería i = 2, 98% .

16. Un inversor debe elegir entre las siguientes ofertas para colocar 10.000 euros: a) Deposito a 6 meses de la Caja YYY, con liquidación de intereses al final al 3,5% nominal y sin gastos. b) Deposito a 6 meses de la Caja XXX, con liquidación de intereses al principio al 3,5% nominal y sin gastos. ¿Qué opción elegiría? Utilice el año natural de 365 días en todos los cálculos. Solución: Este problema se puede resolver calculando la rentabilidad efectiva de

ambas inversiones, teniendo en cuenta que ambas utilizan un tanto nominal del 3,5%, es decir, un tanto semestral del 1,75%:

10.000(1 + )i

1

2

=10.000 +10.000·0, 0175  i = 0, 03530625  3, 53% 1

(10.000 -10.000·0, 0175)(1 + i) 2

=10.000  i =0, 035940666  3, 59%

Como cabía esperar la segunda opción es más rentable, puesto que ingresamos la misma cantidad de intereses pero lo hacemos antes, al principio de la operación.

17. Tu caja de ahorros te ofrece rentabilizar tus ahorros en un depósito a 5 años, con intereses variables, capitalizables por semestres, que se acumulan al depósito. Los tipos de interés nominales son los sig...