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Matemática/análisis matemático del cbc. Teoría sobre la suma geométrica. Formulas y ejemplos con explicación....

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17/6/2020

Suma geométrica

Suma geométrica Suma geométrica Consideremos la progresión geométrica de razón

y término

:

cuyo término general es

Las sumas parciales de esta sucesión son:

¿Podemos calcular cuánto da esta suma para cualquier siguiente cuenta:

? La respuesta es sí, y lo podemos hacer por medio de la

Despejando, obtenemos

Si ahora nos interesa saber si la serie

es convergente, lo que tenemos que estudiar es el límite

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Suma geométrica

Como

, pues

, nos queda:

Por lo tanto

Notemos que en las explicaciones de series ya habíamos calculado cuánto sumaba esta serie, aunque desde daba . Al sumar el término , nos queda . En general, para cualquier progresión geométrica de razón

Para determinar si la serie

,

, la

-ésima suma parcial,

, da:

es convergente, tenemos que estudiar el límite

y se nos presentan tres casos: cuando Cuando

y término

,y

, cuando

y cuando

.

, por lo que tenemos:

y de acá deducimos que la serie converge y

Cuando

, tenemos dos situaciones posibles:

segundo caso, los signos de grandes, es decir,

o

se van alternando según si

. En el primer caso,

. En el

es par o impar, pero en módulo se hacen cada vez más

. En cualquiera de los dos casos, la sucesión de sumas parciales no converge a un

número real. Cuando cuando

, la sucesión de sumas parciales tampoco tiende a un número real (¿cuánto vale ?).

cuando

? ¿y

Concluimos entonces que

Importante: Las fórmulas que vimos valen cuando la suma de la serie geométrica empieza en www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=115

. 2/5

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Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos. Estudiar la convergencia de las siguientes series y, si es posible, calcular su suma. 1Notemos que

Así, nos queda la razón

, por lo que podemos reescribir la serie de la siguiente manera:

, cuyo módulo es menor que , y por lo tanto:

Resumiendo:

2Nuevamente, tenemos que reescribir el término general de la serie para poder estudiar su convergencia:

Como

, la serie es convergente. Calculemos su suma:

Resumiendo:

3-

En este caso, la razón es

y cumple

, por lo que la serie converge. Pero para aplicar la fórmula que

conocemos es muy importante que comencemos a sumar en sumaremos y restaremos los términos

y

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, y aquí empezamos en

. Por lo tanto,

, y luego aplicaremos la fórmula:

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Resumiendo:

4Notemos que el término general de esta serie es

Estudiemos, entonces, por separado las series

y

.

Basándonos en la cuenta que hicimos en el ejemplo anterior, para la primera de estas series tenemos:

El término general de la segunda serie es . Luego, la serie

Como

converge y

, por lo que es una serie geométrica de razón

diverge.

diverge, tenemos que:

5En este caso, como hicimos en los ejemplos anteriores, podemos reescribir el término general como

Para ver si la serie converge, estudiemos por separado las series

Para la primera, el término general es

, por lo que la razón es

y

.

y su módulo es menor que uno. Entonces, es

convergente y su suma da:

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Para la segunda, el término general es

Suma geométrica

, por lo que la razón es

y su módulo también es menor que uno.

Entonces, esta serie también es convergente y su suma da:

Como estas dos series convergen, la original también converge y su suma da:

(ver propiedades básicas de la convergencia de series). Resumiendo:

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