Tema 1 VECTORES PROFESOR SOTO PRIMERO DERECHO Y ADE PDF

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TEMA 1 DE VECTORES PDF TEORIA
DE DERECHO Y ADE
PROFESOR SOTO
MATEMATICAS ADE
UNIOVI...

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TEMA 1 ESPACIO VECTORIAL REAL

1. El espacio vectorial de Rn ESPACIO VECTORIAL Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, que cumple una serie de propiedades para la operación interna suma (establecida entre elementos del conjunto) y una operación externa (producto de un escalar por elementos de dicho conjunto). A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores. Por ejemplo: R, R2, R 2, …Rn son espacios vectoriales. Y también lo son el conjunto de las matrices de orden mxn, y también los polinomios de grado n. En este curso, nos centraremos en el espacio vectorial Rn

2. Combinación lineal de vectores , 2 ,…..,𝑣𝑟 , se denomina combinación lineal de los mismos, al vector 𝑣, Dados los vectores 𝑣 𝑘 que resulta 1 𝑣 de sumarlos multiplicados por escalares (reales) arbitrarios, esto es al vector que resulta de la expresión. 𝑣𝑘 = 

𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ … … … … … … . . + 𝛼r𝑣𝑟

Ejemplo a partir de los vectores: (1,2) y (2,2)

3. Dependencia e independencia lineal de vectores Un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se pude expresar como combinación lineal de los otros. Son linealmente dependientes, si alguno de ellos puede expresarse como combinación lineal del resto. Ej: {(1,2), (1,4), (3,10)} son linealmente dependientes (3,10) = 1 (1,2) + 2 (1,4) Ej: {(1,2), (1,4)} son linealmente independientes

Combinación lineal convexa de vectoresEs un caso particular de combinación lineal, en la que todos los escalares son no negativos y la suma de los mismos es 1. Ej. El vector (−1,

(−1,

3 2

1

3 2

) es combinación lineal convexa de los vectores (1,3) y (-3,0) 1

) = 2 (1,3) + 2 (-3,0)

;

1 2

≥0 ,

1 2

1

+2=1

¿Cómo se estudia la dependencia e independencia lineal de vectores? Hay distintas formas para su estudio. Nosotros nos centraremos en una de ellas: a través del rango de la matriz de los vectores.

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz queda definido por el número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes de dicha matriz. El rango de una matriz se puede determinar por dos métodos: (1) el método de los determinantes, y (2) por el método de Gauss. Nos centraremos en el método primero. Método de los determinantes │ El rango de una matriz, es el orden del mayor menor cuyo determinante no sea nulo. Para su cálculo, se irán orlando filas y columnas

VIN 1. En R2 como máximo tendremos 2 vectores linealmente independientes, en R3 como máximo tendremos 3 vectores linealmente independientes, en R 4 como máximo tendremos 4 vectores linealmente independientes, y así sucesivamente.

4. Sistema generador y Base de un espacio vectorial Sistema generador Dado el espacio vectorial Rn, se define sistema generador de R n como un conjunto de vectores de R n a partir de los cuales y como combinación lineal de los mismos se puede generar cualquier vector de R n Por ejemplo: (1,2) y (3,3) son sistema generador.

BASE Se define base R n, como un conjunto de vectores que son sistema generador y además son linealmente independientes.

VIN 2. Una base de R2 estará formada por 2 vectores de R2 linealmente independientes, una base de R3 estará formada por 3 vectores de R3 linealmente independientes, una base de R 4 estará formada por 4 vectores de R 4 linealmente independientes, y así sucesivamente.

Dimensión de un espacio vectorial. El número de vectores que componen una base de un espacio vectorial nos da la dimensión del mismo.

Nota. Los coeficientes de un vector respecto a una base son siempre únicos y reciben el nombre de coordenadas....