TEMA 4 - Apuntes 4 PDF

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Apuntes impartidos por Clara Jiménez...

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TEMA 4. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 1. CORRESPONDENCIAS Dados dos conjuntos A y B se llama «correspondencia f entre A y B» y se representa f: A → B a toda relación que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Si a un elemento x ∈ A se le asocia un elemento y ∈ B se dice que « y es el elemento imagen de x en la correspondencia f» o que « x es el elemento original de y en f». Se expresa de la forma y = f (x). La correspondencia inversa de f: A → B es otra correspondencia f -1: B → A, que a cada elemento de B le asocia el elemento de A que era su original en f, es decir f -1(y) = x, siendo y = f (x). Dada una correspondencia f: A → B se llama:

  

conjunto inicial de f al conjunto A, conjunto final de f al conjunto B, conjunto original de f al conjunto de los elementos que son originales de otro Orf = {x ∈ A|∃y ∈ B, y = f(x)}



conjunto imagen de f al conjunto de los elementos que son imagen de otro Imf = {y ∈ B|∃x ∈ A, y = f(x)}

EJEMPLOS:

- Sean A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7, 8}. Podemos definir la correspondencia f: A → B tal que f (x) = 2x. - Sea A = {personas matriculadas en MyDMEI} y B = {grupos de trabajo para la programación didáctica}. Definimos la correspondencia f: A → B tal que f (x) = y si x está en el grupo de trabajo de y.

1.1 Tipos de correspondencias 

Una correspondencia es unívoca si a cada elemento del conjunto inicial se le asocia a lo sumo un elemento del conjunto final. Los elementos que tienen imagen, tienen sólo una.

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Una correspondencia es biunívoca si los elementos del Conjunto Inicial que tienen imagen tienen sólo una y los elementos del conjunto final que tienen original tienen sólo uno. La correspondencia y su inversa son unívocas.

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Llamamos función a cualquier correspondencia unívoca entre conjuntos numéricos. Se llama dominio de f a Orf y recorrido o rango de f a Imf.

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2. APLICACIONES Si A y B son conjuntos, una aplicación f de A en B, f: A → B, es una correspondencia en la que todo elemento del Conjunto Inicial tiene una única imagen. ∀x ∈ A, ∃|y ∈ B, tal que

y = f (x)

Una aplicación es una correspondencia unívoca, en la que el Conjunto Inicial coincide con el Conjunto Original.

2.1 Tipos de aplicaciones 

Una aplicación f: A → B es inyectiva si elementos distintos tienen imágenes distintas, es decir x ≠ y ⇒ f (x) ≠ f(y) o bien f (x) = f (y) ⇒ x = y

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Una aplicación f: A → B es suprayectiva si todo elemento del conjunto final B, es imagen de algún elemento del conjunto inicial ∀y ∈ B ∃x ∈ A tal que y = f (x)

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Una aplicación f: A → B es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva a la vez.

2.2 Composición de aplicaciones Dadas dos aplicaciones f: A → B y g: B → C, se llama aplicación composición de f con g a la aplicación g ₀ f: A → C definida como ∀x ∈ A, (g ₀ f)(x) = g(f(x))

La composición de aplicaciones no siempre es posible. Es condición suficiente para que se puedan componer f con g que el Conjunto Final de f esté contenido en el Conjunto Inicial de g. Una condición necesaria y suficiente para que se pueda componer f con g es que el Conjunto Imagen de f esté incluido en el Conjunto Original de g Imf ⊆ Domg ⇒ ∃g ₀ f Propiedades de la composición de aplicaciones: 1. No es conmutativa. En general g ₀ f ≠ f ₀ g 2. Es asociativa. Si f: A → B, g: B → C y h: C → D entonces h ₀ (g ₀ f) = (h ₀ g) ₀ f 3. La composición de dos aplicaciones inyectivas es siempre otra aplicación inyectiva. 4. La composición de dos aplicaciones suprayectivas es siempre otra aplicación suprayectiva. 5. La composición de dos aplicaciones biyectivas es siempre otra aplicación biyectiva.

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2.3 Aplicación inversa Dada una aplicación biyectiva f: A → B, llamamos aplicación inversa de f y la representaremos f -1 : B → A, a otra aplicación que a cada elemento de B le asocia el elemento de A que era su original en f, es decir: ∀y ∈ B f -1 (y) = x si y = f(x) La correspondencia inversa siempre existe, pero la aplicación inversa de f sólo existe si f es biyectiva. Propiedades de la aplicación inversa: 1. La aplicación inversa de una aplicación biyectiva es siempre otra aplicación biyectiva. 2. Dada una aplicación biyectiva f, la inversa de f -1 es la aplicación f ( f -1) -1 = f 3. Si f: A → B y g: B → C son dos aplicaciones biyectivas ( g ◦ f ) -1 = f -1 ◦ g -1

3. LEYES DE COMPOSICIÓN Se llama operación o ley de composición interna en A a cualquier aplicación definida de A × A en A. En general, para representar las operaciones utilizamos los símbolos +, −, ∗, ·, / en vez de letras. A la imagen de cada par de elementos ( a, b) en una operación ∗ se le llama resultado de operar a y b en la operación ∗, y se simboliza a ∗ b ∗: A × A → A (a, b)

→a∗b

3.1 Propiedades Dado un conjunto A y una ley de composición interna ∗ definida en A se dice que ∗ es:  Conmutativa: si el resultado de operar dos elementos cualesquiera no depende del orden en que se operan. ∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a  Asociativa: si el resultado de operar tres elementos cualesquiera no depende de como los agrupemos. ∀a, b, c ∈ A, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Dadas dos leyes de composición internas, · y ∗, definidas en un conjunto A, se dice que · es distributiva respecto de ∗ si para todo a, b, c ∈ A: (a ∗ b) · c = (a · c) ∗ (b · c) c · (a ∗ b) = (c · a) ∗ (c · b)

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3.2 Elementos destacados Elemento neutro: Un elemento e ∈ A se dice que es elemento neutro de ∗ si al operarlo con cualquier otro elemento x de A el resultado es el propio x. ∃e ∈ A tal que ∀x ∈ A, e ∗ x = x = x ∗ e Elemento inverso: Un elemento a ∈ A se dice que es inversible respecto de ∗ si existe otro elemento a1 ∈ A que operado con a da como resultado el elemento neutro de ∗. ∃a1 ∈ A tal que a ∗ a1 = e = a1∗ a Al elemento a1 se le llama elemento inverso de a respecto de la operación ∗.

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