Tema 5. Función Característica PDF

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GRADO ECONOMÍA PROBABILIDAD. MODELOS PROBABILÍSTICOS. UNED. CENTRO ASOCIADO DE LAS PALMAS DE GC.

TEMA 5 FUNCIÓN CARACTERÍSTICA La función característica se utiliza para identificar la función de distribución de una variable aleatoria y se define como: 

Distribución discreta:



Distribución continua:

 (t )  E (eit )   eitx p j. 

( t)  E( eit )   eitx f ( x) dx

t es una variable real, no aleatoria e i es la unidad imaginaria (i 

1)

PROPIEDADES 1. La función característica de una variable aleatoria existe siempre. 2. La función característica particularizada en t =0 es igual a la unidad.

 (0)  E (ei0  )  E (e0 )  1 3. El módulo de  (t ) es siempre menor o igual que la unidad. it  it 

 (t )  E (e )  E ( e )  E ( cos t  isent  E ( cos2 t  sen2 t )  E(1)  1 a  bi   a 2  b2

4. La función característica en –t es la conjugada de (t )

( t)  E(cos t   isent )  (t) 5. La función característica es uniformemente continua en todo intervalo real de t. 6. Si w es una transformación lineal de la variable aleatoria ξ y w a b  su función característica será:

 w( t)  eita ( tb)

7. La función característica de la suma de variables aleatorias estadísticamente independientes es igual al producto de las funciones características de cada una de esas variables aleatorias.

  1  2  ...   n  (t )  1 (t ) 2 (t )  ... n 8. Si en una variable aleatoria existe el momento respecto al origen de orden r, entonces la función característica es derivable r veces. Se calculan:

 r (t) t r t0  r  E ( r )  ir 9. Se puede identificar la distribución de probabilidad (caso discreto) o función de densidad (caso continuo) de una variable aleatoria si conocemos su función de distribución o bien su función característica. 10. A toda función característica le corresponde una y sólo una función de distribución y viceversa.

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11. Si tenemos una sucesión de variables aleatorias, la condición necesaria y suficiente para que su sucesión de funciones de distribución converja hacia alguna función de distribución F(x), es que la sucesión de sus funciones características converja a la función característica de F(x).

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA BIDIMENSIONAL. it2

itx j ityl

Tipo discreto:

 (t1 ,t2 )  E (eit1

Tipo continuo:

 (t1,t 2 )  E (eit 1 it 2 )  

)   e  



 

 pjl

eitx ity f ( x, y )dxdy

Propiedades 1. Siempre existe, ya que debe cumplirse la condición de convergencia absoluta. 2. Para t1  t2  0   (0,0)  1 3. La función (t1 , t2 ) está acotada, siendo

 (t1 , t2 )  1

4. Si los momentos existen respecto al origen se pueden calcular a partir de  (1t , t2 ) 5. La función característica es única; a cada función de distribución bidimensional le corresponde una y sólo una, y viceversa. 6. Si  (t1 , t2 ) es función característica de la variable aleatoria bidimensional (1 , 2 ) si tenemos la variable   1  2 entonces su función característica será:  (t )    (t; t) 1 2

Si

(1 , 2 )

son

estadísticamente

independientes

entonces

:

 ( t)  1 2 ( t; t)  1 ( t) 2 (t ) FUNCIONES CARACTERÍSTICAS MARGINALES.

 (t1,0)  E(eit 1 ) 1(t1)  (0,t 2 )  E (e it 2 )   2 (t 2 ) Si las variables aleatorias (1 , 2 ) son independientes:

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 (t1 , t2 )  1 (t1 ) 2 (t2 )

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EJERCICIOS

 (t ) 



 



eitx f

(x )dx   e itxe  xdx

0 tenemos la misma base, sumamos los exponentes  itx x

0 e

dx

como tenemos en uno de los límites de integración el valor convergente hacemos



1it  x e dx   0







y queremos que la integral sea



 1it x  1 1 e    1  it 0 1  it 

1  1it x e  0



1 1 1 1 1 1    1  it   1 it    1 it  1 1 it 

derivamos con respecto a

y particularizamos para

t2

t1  0; t2  0

Como es un cociente:

   t1;t2   t 2





it 1e 2

  eit2 ie

 2  eit1 1     e         2

e1 eit2     

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



  t1;t2    t 2  t  0 1 i



 e

i0

ie

1 ei 0

 2 ei 0 1    e     

 2 11   1 ie11  e   

2

 e1 ei 0     

t2 0



e  2 11



i i

E ( )   01   1

Derivamos una vez y obtenemos 2 d  4te2t si particularizamos para t  0



 10  0

Volvemos a derivar:

d 2t2 2t2 2t2 16 2 2t2 4 4 4 4 e t t e e         t e      dt2 hacemos t  0

4e0  16  0  4  4  20 V ( X )   20   10   4 2

 it 3 3    it    (t )  E  e   E e  1 2    E e3it13it 2   E  e 3it  E e 3it 2              Por la propiedad: Si w es una transformación lineal de la variable aleatoria ξ y será:

w a b 

su función característica

 w (t )  eita  (tb)

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1

1 27it  1 27it 

1

 1 27it 

2

1. Calcular la función característica de la variable X, cuya función de densidad es

f ( x)  2 x

0 x1 1

 (t )  E (e )  0 2xe dx itX

1

0 2xe

itx

u  2x por partes

1

1   dx  2x  1e itx   0 1e itx  2dx it  0 it 



itx

du  2dx

dv  eitx dx v   eitx dx  1

1 itx e it

1     2x  1e itx   2 e itxdx it  0 it 0 



1

    2x  1e itx   it  0 

1

 it   it     2   1 eitx    2 e    22e2  222  it  it 0  it   i t i t 

2. Dada la variable bidimensional discreta (X; Y) con función de cuantía: X Y 1 2 1 0’1 0’1 2 0’2 0’6 Calcular: función característica conjunta; función característica de la variable X; utilizando la función característica hallar la varianza de X; calcular el momento con respecto al origen de orden uno, uno. a) Función característica conjunta: itX i iuY j

 (t ;u )  E (e itX  iuY )   e

P ( X  x;Y  y )  eit  iu  0'1 eit  2iu  0'1 e2it iu  0'2 

e 2it  2iu  0'6 b) Función característica marginal de X. X Pi.

1 0’2

2 0’8

(t;0)  e it  0'2  e2 it  0'8 c) Varianza de X.

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10 

1  (t ,0)  i  t t  0

 (t ,0)  0'2ieit  0'8  2i  e2it (0,0)  0'2i 1'6i  1'8i t

10  11'8i  1'8 i

 20 

1   2 (t ,0)   i2   t2  t 0

 2 (t ,0)  0'2 i2 eit  0'8 4 i2 e2it (0,0)  0'2 i2  3'2 i2  3'4 i2 2 t

1  20  2 3'4i 2  3'4 i

20   20  10   3'4  1'8   0'16 2

2

d) Momento con respecto al origen de orden uno, uno.

 2    t u ( , ) 1   11  2  t u i    

t 0;u 0

(t, u)  0'1ieit iu  0'1ieit 2iu  0'2 2ie2it iu 0'6 2ie2it 2iu t 2(t, u)  0'1i2eit iu 0'12i2eit 2iu  0'2 2i2e2it iu 0'6 2 2i2e2it 2iu  t u (0,0)  0'1i2  0'2i2 0'4i2 2'4i2 3'1i2 11  12 3'1i2 3'1 i 3. Si una variable aleatoria continua X tiene por densidad la función

f (x )  axa1 ;0  x 1 hallar las funciones de distribución y de densidad de la variable

Y ln X

El campo de variación de la nueva variable será:

x 0 x1

y  ln 0      y  0 y  ln1  0

Función de distribución ey

 xa11   ax a 1dx  a  0  a  1  1 0

G ( y )  P (Y  y )  P (ln X  y )  P ( X  ey )  

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ey

 eay

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G ()  0; G (0)  1 g ( y )  G '( y )  ae ay 4. Dada la función f(x) = a) característica

3 x( x –1) para 0 < x < 2 es función de: 2

b) distribución

c)densidad d)Ninguna

La solución correcta es d) Ninguna es cierta. Para ello comprobamos que no puede ser función característica ni de distribución ni de densidad. Para ello, recordamos que en cada caso debe cumplir una serie de propiedades. No es función característica ya que f(0)  1 Sabemos que una de las propiedades de la función característica es que, necesariamente, es igual a 1 en el punto t = 0. Sin embargo, en este caso f(0) = 0 No es función de distribución ya que f(+∞)  1 Sin embargo f(+∞) = +∞ Evidentemente, se pueden utilizar otras propiedades para esta comprobación. Y finalmente, no es función de densidad ya que existen algunos valores x del recinto de definición para los cuales f(x) < 0. 1 2

Concretamente f ( ) =

3 1 1 3 1 ( - ) = - < 0 siendo 0 < < 2 2 2 2 8 2

Podría utilizar otro camino, por ejemplo que la integral de la función en el recinto no es igual a 1. Observación Si la función propuesta fuera f(x) =

3 2 x( x 1)

Se llegaría a la misma respuesta d). Para ello puede utilizar las mismas propiedades que en el caso anterior

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7...