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Muy buenos...

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ELECTRICIDAD

TEMA 5 INDUCCIÓN MAGNÉTICA 1.-

INTRODUCCIÓN

2.- LEYES DE FARADAY Y LENZ

3.- INDUCCIÓN MUTUA Y AUTOINDUCCIÓN

4.- ASOCIACIÓN DE AUTOINDUCCIONES

5.- CIRCUITO LR

6.- ENERGÍA MAGNÉTICA

1.- INTRODUCCIÓN ¿Qué conocemos que lleve el apellido INDUCCIÓN? COCINA DE INDUCCIÓN, la plancha genera un campo magnético variable, cuando colocamos la sartén (conductor) se crea una corriente eléctrica en la base de la sartén y por el efecto JOULE, tenemos CALOR. Otros ejemplos que usan la inducción magnética y que están presentes en nuestra vida diaria son: Mando a distancia del garaje; la radio, la TV o el WIFFI. Hemos estudiado los campos magnéticos estacionarios que crean corrientes estacionarias. Vamos a realizar ahora el estudio básico de los campos eléctricos sobre conductores asociados a variaciones del campo magnético. Si miramos la figura, es una espira conectada a un galvanómetro. Si no existe fem, no circula corriente eléctrica, pero si acercamos un imán (por su polo norte), el galvanómetro nos muestra la existencia de una corriente eléctrica en la espira (que aumenta su intensidad cuanto más rápido se acerca). Si el imán se detiene, deja de haber corriente.

Si repetimos la experiencia acercando el imán por su polo sur, ocurre lo mismo que antes, pero variando los sentidos adoptados por la corriente. Parece que la intensidad de corriente inducida en la espira, está relacionada con la velocidad con que varía. Sean ahora dos espiras: por la espira 2 circula una corriente, que provoca la aparición de una densidad de flujo magnético en la espira 1. Si hacemos variar la intensidad de la espira 2, lo que ocurre es:  Aumentamos I2 → aparece una corriente inducida en la espira 1, I1, que será mayor cuanto más rápido aumente I2.  Disminuimos I2 → I1 tiene sentido contrario al del caso anterior  Si I2 permanece constante, no existe corriente inducida en la espira 1. Podemos decir que la aparición de una corriente inducida está ligada a la variación del flujo magnético.

2

B uniforme (no varía en el espacio) Tenemos ahora un campo magnético  y constante (no varía en el tiempo), si transcurrido un espacio de tiempo, la espira se deforma, de forma que varía su área, aparece una corriente inducida, B no ha variado. pese a que 

Podemos decir que la aparición de una corriente inducida está ligada a la variación del área de la espira. B uniforme y También aparece una corriente inducida a pesar de tener, un  constante y una espira en la que no varía su área, cuando hacemos girar la espira.

Podemos decir que la aparición de una corriente inducida está ligada al giro de la espira.

RESUMIENDO: Existen 3 formas de inducción de corriente: B .  Variación de la densidad de flujo magnético,   Variación de la forma del conductor, S . B y S  Giro, variación del ángulo que forman 

Estas 3 causas implican la variación del flujo magnético. B Definiremos el concepto de flujo de campo magnético  superficie S como:

a través de una

❑

Φ=∫  B · d S S

2.- LEYES DE FARADAY Y LENZ 3

Lo expuesto anteriormente nos define de forma implícita la fem inducida. El valor de esta fem inducida sería el de la fem de un generador ideal, intercalado en un circuito que originara una corriente igual a la que aparece por la inducción. Sea la barra conductora MN de la figura (de B ); si esta barra se longitud l y perpendicular a  mueve paralelamente a sí misma y B ( ⊥ al papel y hacia perpendicularmente a  dentro), con una velocidad v (hacia la derecha), los electrones libres de la barra MN se mueven con ella, de forma que esos electrones libres (que son cargas en movimiento) van a sufrir la acción de la densidad de flujo magnético. Esta fuerza que actúa sobre cada electrón libre es:

{

π módulo: F m=|⏟ q||v ×  B|=e|v|| B|sin =e·v·B 2 ⏟

 F m=q v ×  B→

e

1

{}

dirección :⊥ v ≡la de la barra  B  F m va hacia N sentido : v × B va hacia M →  q>> l2. 9

Por el primer solenoide circula una corriente de intensidad I1, de forma que crea en su interior una densidad de flujo paralela al eje que será:

nºespiras x unidad d e long

⏞ N1 L1

n⏞1

B 1=μ0 ·

· I 1 → B 1=

μ0 · N 1 · I 1 L1

Si llamamos S2 a la superficie de cada espira del 2º solenoide, como están situadas frente al campo (que es paralelo al eje), el flujo magnético por cada una de esas espiras será: B1 · Φespira = S 2= B⏟1 · S 2 · cos 0= μ0 N1 I 1 L1

μ0 · N 1 · I 1 · S2 L1

Si el número total de espiras que hay en el 2º solenoide es N 2, el flujo total de ese solenoide es: Φ2 =N 2 · Φespira → Φ2=N 2

⟹M =

Φ2 I1

=

μ0· N 1· I 1 Φ2 S 2 ⟹ =M L1 I1

μ0 · N 1 · N 2 · S 2 L1

Siendo M el coeficiente de INDUCCIÓN Si la intensidad I1 del primer solenoide varía con el tiempo, en el 2º aparece una fem inducida, ε 2 =−M

d I 1 −μ 0 · N 1 · N 2 · S2 d I 1 · = L1 dt dt

AUTOINDUCCIÓN Podemos considerar la autoinducción como un caso particular del apartado anterior; que resulta de considerar la inducción de un circuito sobre sí mismo. Sea un circuito por el que circula una corriente, va a dar lugar a un flujo magnético a través de sí mismo, que se llama flujo propio. 10

Este flujo también varía con la intensidad de la corriente (igual que ocurre con el flujo a través de otro circuito distinto). A la constante de proporcionalidad, se le denomina coeficiente de autoinducción L, Φ=L·I → L=

Φ I

{

Siempre L>0 siendo L Depende unicamente de la geometría del circuito Su unidad en el SI es el H (henrio )

Si la intensidad en el circuito varía, aparece una corriente autoinducida que corresponde a una fem, ε=

−d Φ −d ( L·I ) dI = =−L dt dt dt

Autoinducción de un solenoide Sea un solenoide toroidal de longitud l=2 πR (R es el radio de la circunferencia media, NO de la espira), con N espiras de área S,  La densidad de flujo en su interior es tangente al eje (es decir, de frente a las espiras) y vale, μ0 ∋ ¿ l B=¿

 El flujo a través de una espira, μ 0∋ ¿ S l   Φespira = B· S=B·S· cos 0=¿

 El flujo total μ 0 N 2 IS μ0 ∋ ¿ S → Φ= l l Φ=N·Φ espira=N· ¿

 El coeficiente de autoinducción es: μ 0 N 2 IS 2 2 μ N IS μ N S l Φ L= = = 0 → L= 0 I l I I·l

si multiplicamos numerador y denominador por l, 11

2 μ0 N 2 S l 2 L= · =μ 0 · l·S N2 → L=μ0 · n · l·S l l l ⏟ n

2

4.- ASOCIACIÓN DE AUTOINDUCCIONES Asociación en serie Tenemos un conjunto de autoinducciones dispuestas como muestra la figura. Todas recorridas por la misma intensidad de corriente I, (dispuestas en serie).

Cuando I varía, una autoinducción de coeficiente Li equivale a un generador de fem, ε i =−Li

dI dt

De forma que el conjunto de autoinducciones equivale a una asociación de generadores en serie,

(

ε =∑ε i =∑ −Li

)

dI dI −ε dI =− ( ∑ L ) → ε=−L ⟹ L= dI dt ⏟i dt dt L dt

Se llama coeficiente de autoinducción equivalente de una asociación al que, al variar la intensidad de la corriente a la misma velocidad (d I/dt), da lugar a la misma fem inducida. CONCLUSIÓN:

I =I i ∀i; ε=∑ ε i ; L=∑ L i

Asociación en paralelo Sea la asociación de autoinducciones de la figura, todas ellas sometidas a la misma diferencia de potencial (disposición en paralelo).

12

Cuando la intensidad Ii que la recorre varía, una autoinducción de coeficiente Li equivale a un generador de fem, ε i =−Li

dI dt

es decir, el conjunto equivale a una asociación de generadores en paralelo, todos con la misma fem, εi = ε, ε

∑ Ii

ε i =−Li

dI

−∑ε i ⏞ ε i d ⏞I −ε i d Ii ⏞ ∑d I i dI → → →− = → =∑ = Li dt L dt ∑ L dt dt ⏟ i i ⏟ ¿∑

( ) −εi Li

¿

∑ d Ii dt

→

−ε como L= 1 dI dI L= −ε → L= 1 ⟺ 1 =∑ 1 →−ε∑ = L 1 1 Li dt Li dt ∑ −ε∑ Li Li al sustituir

CONCLUSIÓN:

I =∑ I i ;ε =ε i ∀i;

1 1 =∑ Li L

5.- CIRCUITO RL Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y una bobina en serie. Se dice que la bobina se opone transitoriamente al establecimiento de una corriente en el circuito. 13 Sea el circuito de la figura con una i t i R fi i t d

Inicialmente el circuito está abierto, por lo que no circula ninguna corriente. Al cerrar el circuito, el generador da lugar a una corriente cuya intensidad I crece hasta alcanzar su valor final IF (ε/R). Este proceso es rápido, pero no inmediato, vamos a obtener la expresión que describe este proceso. En un instante cualquiera, tenemos la fem del generador y la fem inducida, por la ley de Ohm generalizada, −L

I=

dI dt

ε +ε i ε ⏞ε i 1 dI L dI = + =I F + −L → I =I F − → R dt R R R R dt ⏟

(

)

IF

→

R dI = ( I F −I ) L dt

Conforme aumenta la intensidad de corriente ( ↑ I F) , disminuye la velocidad

(↓ dIdt )

con que varía

.

Vamos a resolver la ecuación diferencial, dI R dI dI R R = dt → ∫ = ( I f −I ) → =∫ dt L I f −I L L dt I −I ⏟ f ⏟ −ln (I f −I )

→ I f −I =e

(

− R t+K L

)

−K

→ I =I F −e

·e

R t+ K L

( RL )t 14

Para determinar la constante de integración (K), utilizamos las condiciones iniciales, t=0 ⟷ I =0 ⟹ 0= I F −e− K · e0 → I F =e− K al sustituir,

−R t L

I =I F − I F e

(

1 τ

⏞ R − ·t

→ I=I F 1−e

L

)

↔ I=I F

−t τ

(1−e )

coef .autoinducción

siendo

τ=

⏞L ⏟R

la constante de tiempo del circuito, que suele usarse

resistencia

como un valor indicativo de la rapidez del proceso. Al elaborar una gráfica en la que enfrentamos la intensidad frente al tiempo, vemos que el proceso será más lento ( τ mayor) cuanto mayor sea el coeficiente de autoinducción L y menor la resistencia del circuito R.

Extra corriente de apertura Vamos a estudiar ahora lo que ocurre cuando abrimos el circuito. Sea el circuito de la figura, por el que está circulando una corriente de intensidad I0 y se abre el interruptor, la corriente se interrumpe bruscamente (muy rápidamente), dando lugar a una gran fuerza electromotriz inducida,(vemos chispas en el interruptor y se pueden dañar algunos elementos del circuito). Una forma de solucionar este problema es que cuando se abra el interruptor se cortocircuite el generador, de forma que sigue circulando la corriente y se anula a una velocidad menor. Si aplicamos la ley de Ohm generalizada al circuito de la figura, −L

I=

dI dt

ε⏞i 1 −R dI dI dI R dt = −L → = I → ∫ =∫ L R dt dt L R ⏟I ⏟

(

)

LnI

−R · t +K L

Al resolver la ecuación diferencial, −R −R t t+K ( ) L K → I=e · e L → I=e

15

Para determinar la constante de integración (K), utilizamos las condiciones iniciales, K

K

0

−R t L

t=0 ⟷ I =I 0 → I 0=e · e → I 0=e ; I= I 0 · e

−t

↔ I=I 0 · e τ

Al observar la gráfica, tenemos inicialmente una intensidad I0, que va disminuyendo con el tiempo, acercándose asintóticamente a 0. La constante de tiempo nos indica en este caso el tiempo necesario para que la intensidad se reduzca.

−t

La expresión I =I 0 · e τ , recibe el nombre de extracorriente de apertura.

6.- ENERGÍA MAGNÉTICA Al igual que se estudió en el campo eléctrico, es necesario un aporte de energía para establecer un campo magnético. 16

Razonemos esta afirmación para el caso del campo creado por el circuito de la figura, de resistencia R, coeficiente de autoinducción L, con un generador ideal de fuerza electromotriz ε y recorrido por una corriente variable en el tiempo I. Mientras se mantenga la variación de corriente, la ecuación del circuito será ε +⏟ ε inducida=R·I → ε−L −L

dI dI =R·I → ε=L + R·I dt dt

dI dt

Si multiplicamos por (I·dt) en ambos miembros, ε ( I·dt )=L

dI ( I·dt )+ RI ( I·dt ) → ε·Idt =L·IdI +R· I 2 dt dt

Esta ecuación nos muestra que, en cada instante, de la energía suministrada por el generador ( εIdt ) , una parte ( R I2 dt ) se disipa en forma de calor por efecto Joule y el resto ( LIdI ) es la energía necesaria para variar la intensidad por el circuito, o lo que es lo mismo, para variar el campo magnético. La energía almacenada en el campo magnético para un circuito por el que circula una corriente estacionaria Ι E será: IE

[]

2 IE

I W =∫ L·I dI = L 2 0

1 1 = L I E 2 ⟺ U= L· I 2 2 2 0

Al igual que la energía del campo eléctrico, la energía del campo magnético está localizada en los puntos del espacio donde existe el campo. La energía por unidad de volumen (densidad de energía) en un punto del espacio asociada a un campo magnético en el vacío es u=

U 1 B2 = V 2 μ0

7.- ALTERNADORER Y TRANSFORMADORES ALTERNADOR Una importante aplicación de la inducción electromagnética es la producción de corriente eléctrica.

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Un alternador es un generador muy simplificado de corriente alterna, como vemos en la figura. Consta de una bobina con N espiras, qué por la acción de un motor, gira con velocidad constante en el seno de un campo magnético uniforme. En la bobina se genera una fem inducida debido a la variación periódica del flujo que la atraviesa. Los extremos de la bobina se unen a 2 anillos metálicos que giran con la bobina sobre el mismo eje. Los anillos se conectan a un circuito exterior (en el que se va a usar la corriente), mediante unas piezas metálicas llamadas escobillas. El flujo magnético que atraviesa la bobina será: Φ=BNScos ⏟θ =BNS cos ωt ωt

La fem inducida, según la ley de Faraday, será: ε=

−d Φ =−BNSω ⏟ (−sin ωt ) → ε=ε 0 sin ωt dt ⏟ε0

fem máx

En la gráfica, vemos los valores de la fem inducida cuando la bobina da una vuelta completa

TRANSFORMADOR La necesidad de los transformadores estriba en el hecho de que en el transporte de energía eléctrica hay que utilizar tensiones altas (100.000 – 300.000 V) y bajas intensidades, para minimizar lo máximo posible las pérdidas por el efecto Joule en las líneas de transporte. 18

Un transformador sencillo, como el de la figura, consta de un núcleo de hierro dulce sobre el que hay enrolladas dos bobinas aisladas entre sí que constituyen el circuito primario y el circuito secundario. El primario y el secundario de un transformador tienen el mismo núcleo de hierro, que asegura que el flujo a través de cada espira sea el mismo. En el circuito primario aplicamos la corriente a transformar. Esta corriente B variable y se genera una tensión inducida V P que crea un campo magnético  es proporcional al número de espiras y que tiende a contrarrestar la tensión aplicada, por ello, por el circuito primario, apenas circula corriente. Debido a la gran permeabilidad del hierro, prácticamente todo el flujo que pasa por el primario lo hace por el secundario, de forma que en el circuito secundario se crea una tensión inducida VS que también es proporcional al número de espiras (del secundario), de forma que: VP = VS

dΦ N V dt → P= P dΦ V S NS −N S dt −N P

Si unimos los bornes del circuito secundario a un circuito de utilización, por el secundario circulará una corriente de intensidad IS, si admitimos que no hay pérdidas, se verifica que: V P I P =V S I S →

{

I S V P NP n > n → reductor de tensión = = → P S IP VS NS n P...