Vorlesung 8 - Primzahlen PDF

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Datum

07.12.2015

Fach

Mathematik

Dozent

Schreiber

Primzahlen • eine natürliche Zahl >2 heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist Primzahlenzwillinge • zwei Primzahlen (pa und pb), für die gilt: • pb = pa + 2 • Beispiele: (3; 5), (5; 7) Zusammengesetzte Zahl • eine Zahl, die mehr als zwei Teiler hat • 11 ist eine Primzahl (Teiler: 1 und 11) • 43 ist eine Primzahl (Teiler: 1 und 43) • 43+43+11= 87 • 87 ist eine zusammengesetzt Zahl (Teiler: 1, 3, 29, 87) Teilermenge • die Menge aller Teiler einer Zahl a • sind endliche Mengen • enthalten mindestens zwei Elemente (1 und a) Gemeinsame Teiler • Menge der gemeinsamen Teiler einer Zahl a und einer Zahl b • T8 = {1; 2; 4; 8} • T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} • T8 ∩ T12 = {1; 2; 4} Größter Gemeinsamer Teiler • der größte Teiler zweier Zahlen a und b wird größter gemeinsamer Teiler genannt • ggT von T8 und T12 = {4}

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Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers • durch Ermittlung der Schnittmengenbildung der Teilermengen • bestimmen der Teilermengen von a und b • bestimmen ihrer Schnittmenge • größtes Element der Schnittmenge = ggT • mit Hilfe der genormten Primfaktorzerlegung • Zahlen zerlegen in Primfaktoren • gemeinsame Primfaktoren bestimmen • Produkt der gemeinsamen Primfaktoren • ggT (120; 900) = ? • 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 • 900 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 • ggT (120; 900) = 2 x 2 x 3 x 5 • ggT (120; 900) = 60 • nach dem Euklidischen Algorithmus • ggT (360; 420) a

b

Wie oft?

Rest

420

360

1

60

360

60

6

0

• ggT = 60 Vielfachenmenge • die Menge aller Vielfachen einer Zahl a • V12= {12; 24; 36; 48; 60;…} Das kleinste gemeinsame Vielfache • Ermittlung durch Schnittmengenbildung der Vielfachenmengen • bestimen der Vielfachenmengen von a und b • bestimmten der Schnittmenge • kleinstes Element ist das kgV • Ermittlung durch genormte Primfaktorzerlegung • Zahlen zerlegen in Primfaktoren • Produkt aller auftretenden Primfaktoren bestimmen • kgV (100; 70) = ? • 100 = 2 x 2 x 5 x 5 5 x7 • 70 = 2 x • kgV = 2 x 2 x 5 x 5 x 7 • kgV = 700 WiSe 2015/2016

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• Ermitteln durch den Zusammenhang zwischen ggT und kgV • a x b__ ggT (a; b)

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