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Investition Formelsammlung

A.

Rentabilitätsgrößen 1.

Eigenkapitalrentabilität

Abk.

Folienseite

EKR

21

Jahresüberschuss Eigenkapital 2.

Return of Investment

B.

kalkulat. Kapitalkosten 1. Kalkulatorische Abschreibungen p. Periode Anschaffungskosten - Restwert am Ende der Nutzungsdauer Anzahl der Nutzungsperioden (Nutzungsdauer)

ROI

Jahresüberschuss Gesamtkapital

Abk.

34 AK-RW n n

2. Kalkulatorische Zinsen p. Periode Kalkulationszins * durchschnittlicher Kapitaleinsatz a.) Diskontinuierlicher Amotisationsverlauf

3.

Gesamtkapitalrentabilität

GKR

i*

Kapitalgewinn Gesamtkapital

AK  RWn 1 2

b.) Kontinuierlicher Amortisationsverlauf

4.

Umsatzrentabilität-Netto

URn

i*

Jahresüberschuss Umsatz 5.

Umsatzrentabilität-Brutto

URb

AK  RWn 2

(Kalkulationszins; bzw. Zinssatz)

Kapitalgewinn Umsatz

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Folienseite

i

Investition Formelsammlung

C.

Aufbau der Rentabilitätsrechnung Abk. 1.

Investitionsrentabilität Gewinn pro Periode Durchschnittlicher Kapitaleinsatz

Folienseite 43

D.

Die Amortisationsrechnug

Abk.

1. Einnahmeüberschuss p. Periode zur Amortisation Periodengewinn + Periodenabschreibung 2. Amortisationsdauer

a.)

Vorteilbestimmung einer Inv.

Nettorentabilität > 0 oder Bruttorentabilität > Kalkulationszins

Anschaffungsausgabe Periodengewinn + Periodenabschreibung a.) Entscheidungskriterium

b.

Vorteilbestimmung mehrerer Inv.

Ist Amortisationszeit < Soll Amortisationszeit (absolut oder relativ) Kriterium der relativ höchsten Rentabilität b.) Bei mehreren Objekten

Das Objekt mit der kürzesten Armotisationszeit

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Folienseite 45

Investition Formelsammlung

E.

Beispiel zur Armortisationsrechnug Abk. 1.

Absolut

Folienseite 46

AK = 100.000 Periodengewinn = 13.000 Abschreibungen p. Periode = 10.000 Geplante Nutzungsdauer = 10 Jahre

F.

Dynamische Verfahren: Die Auf/ und Abzinsung 1. Aufzinsungsfaktor

= Amortisationsdauer (4,35 Jahre)

Laufzeit (Jahre) Endwert = Geldbetrag * (1+Zinssatz)

Kn  Ko *(1  i) n 2. Abzinsungsfaktor Dieser ermöglicht die Ermittlung des Gegenwertes [Geldbetrag] (K0) eines nach n Jahren fälligen Betrages (Kn) bei einem Zinssatz (i).

2. Relativ Amortisationsdauer Geplante Nutzungsdauer 4,35 10 = 43,5%

Geldbetrag = Endwert * 1 (1+Zinssatz) ^ Laufzeit

Ko  Kn *

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Folienseite 51

Hier kann der Endwert (Kn) ermittel werden, den ein Geldbetrag (K0) nach n Jahren bei einem Zinssatz (i) erreicht.

AK Abschreibung p. Periode+Periodengewinn

Abk.

1 (1  i )

n

Investition Formelsammlung

Dynamische Verfahren: Der Rentenbarwertfaktor

G. 1.

Abk.

Rentenbarwertfaktor

Folienseite

I.

1.

Wiedergewinnungsfaktor mit diesem kann ein heutiger Geldbetrag (K0) in eine über n Jahre laufende Zahlungsreihe mit einer konstanten Zahlung (r bei Zinssatz (i) umgesetzt werden.

r  Ko *

(1  i ) n (1  i ) n  1

Folienseite 52

Er ermöglicht die Ermittlung des Endwertes (Kn), beider für die Jahre (n) un bei einem Zinssatz (i) jeweils am Jahresende der gleichlautende Betrag (r )anfällt.

(1  i ) n  1 i * (1  i ) n

Dynamische Verfahren: Der Wiedergewinnungsfaktor

H.

Abk.

1. Rentenentwertfaktor

52

Dieser zieht auf die Ermittlung des Gegenwertes/ Geldbetrages (K0) einer Zahlungsreihe über n Jahre und einem Zinssatz (i) jeweils zum Jahresende ein gleichbleibender Betrag (r) anfällt ab.

Ko  r *

Dynamische Verfahren: Der Rentenentwertfaktor

Kn  r *

Abk.

Folienseite 52

J.

(1  i ) n  1 i

Dynamische Verfahren: Der Tilgungsfaktor 1. Tilgungsfaktor

Abk.

Folienseite 52

Er hat die Umwandlung einer zum Zeitpunkt (n) fälligen Zahlung (Kn) in eine über Jahre (n) laufende Zahlungsreihe mit dem konstanten Betrag (r) bei einem Zinssatz (i) zum Ziel.

r  Kn *

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i (1  i ) n  1

Investition Formelsammlung

K.

Dynamische Verfahren: Die Kapitalwertmethode

Abk.

1. Ermittlung des aktuellen Wertes

54

a.) Abzinsung

der jährlichen Einzahlungsüberschüsse auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt b.) Subtraktion

des ursprünglichen Kapitaleinsatzes Kapitalwert = (Einzahlungen in t (Et)-Auszahlungen in t (At)) * Abzinsungsfaktor der Periode (t) n

C o   I o   ( E t  At ) * t 1

(1  i) (1  i ) t

Kapitalwert

Co

Einzahlungsüberschuss

Et

Auszahlungsüberschuss Periode Investitionsausgabe ( urspr. Kapitaleinsatz)

At t I0

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Folienseite

Investition Formelsammlung

Ein Investor nimmt zu Beginn eines Projektes einen Kredit über 1.000€ auf. Dieser wird mit 8 % Verzinst und laufend getilgt.

Folienseite

Beispiel zur Kapitalwertmethode

L.

Zahlun gen Zinsen 1000,00 700,00 80,00 500,00 30,40 300,00 7,17

Zeitpunkt 0 1 2 3

Tilgung 620,00 469,60 -

Vermögen

57

-1000,00 -380,00 89,60 396,77

Co = 369,77 i= 0,08 Laufzeit = 3 Jahre Formel: Co = 396,77

*

1

`= 314,97

(1  0, 08)3

Fazit: Beim Kapitalwert handelt es sich folglich um den auf den Zeitpunkt Null bezogenen Vermögenszuwachs aus einer Investition!

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Investition Formelsammlung

M.

Die Gegenüberstellung der Kapitalwertmethode und der Gewinnvergleichsrechnung (Werte aus Folie 57) 1.) Gewinnvergleichsrechnung

A.)

B.) C.)

D.)

58

Art

Summe

Durchschnitt (Ø)

Rückflüsse: Zahlungen

700+500+300 = 1500

Durchschnitt = Rückflusssumme / Laufzeit 1500 / 3 = 500

Abschreibungen: Abschreibungen (Investition)

1000

Durchschnitt = Investition / Laufzeit 1000/3 = 333,33

Gewinn vor Zinsen: Rückflüsse - Abschreibungen = Gewinn vor Zinsen

1500-1000 500

Kapitaleinsatz: Abschreibungen + Ø Kapitaleinsatz + Gewinn vor Zinsen (Ø) = Kapitaleinsatz

Zinsen: Zinssatz * Kapitaleinsatz = Zinsen F.) Gewinn nach Zinsen: Gewinn vor Zinsen - Zinsen = Gewinn nach Zinsen G.) Kapitalwertmethode: Kapitalwert der Investition

Folienseite

Gewinn v. Zinsen - (Ø) Abschreibungen 500 - 333,33 = 166,67

1000 667 333 2000

Investition + Ø Abschreibungen / 2 1000+333,33/2 = 666,67

E.)

Zinssatz * Ø Kapitaleinsatz 0,08 * 666,67 = 53,33

0,08 2000 160

Gewinn v. Zinsen - Ø Zinsen 166,67-53,33 = 113,34

500 160 340 314,97

(aus der Berechnungsmethode von Folie 57)

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Investition Formelsammlung

N.

Die Ermittlung des Ertragswertes (Werte aus Fallstudie 4 / Aufgabe A) 1.) Gesucht :

4.) Werte aus dem Beispiel : J

Der Ertragwert

1 2 3 4 5

2.) Gegeben : a.)

Der Kalkulationszins 9%

b.)

Folienseite

Die Einzahlungsüberschüsse

Einzahlungsüberschüsse (in dem Jahr) / (1+i)^t 22.000:(1+0,09)^1 24.000:(1+0,09)^2 28.000:(1+0,09)^3 30.000:(1+0,09)^4 982.000:(1+0,09)^5

5.) Summierung der "neuen" Beträge:

(hier aus den Jahren 1-5) 20.183 20.200 21.621 21.252 638.232 721.490

22.000 24.000 28.000 30.000 982.000

6.) Der Ertragwert liegt bei: 721.490

3.) Formel hierzu :

w  1Et : (1  i )t Ertragswert Einzahlungen (in dem Zeitraum) Zeit Kalkulationszins

w E t i

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"Neuer Betrag" 20.183 20.200 21.621 21.252 638.232

Investition Formelsammlung

O.

Die Kapitalwertermittlung bei gleichmäßigen Rückflüssen (Rentenbarwertformel) 1.) Benötigte Werte

4. Errechnen des Kapitalwertes

Zinssatz (Io)

a.) Formel:

gleichmäßigen Zahlungswert (Rt) Laufzeit (t)

C o   I 0  Rt * RBF

2.) Errechnen des Rentenbarwertes (RBF)

RBF  A.)

1  (1  i )  t i

Bspl:

Zinssatz (i) Zahlungswert (Rt) Laufzeit (t) Anschaffungskosten (Io) b.)

=-10.000+1.000* 12,233=2.233

8% 1000 50 Jahre 10000

Errechnen des RBF :

RBF 

1  (1  0,08) 50 0,08 RBF = 12,233

3.) Gesucht : Kapitalwert (Co)

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Folienseite 59

Investition Formelsammlung

P.

Die Implizite Differenzinvestion 1.) Benötigte Werte

63

Anschaffungs preis / Anlage

Einzahl ungen/ Rückfluss

Investitrionsobjekt 2

100000

115000

Implizierte Differenzinvestition Jahr 1

100000

105000

Implizierte Differenzinvestition Jahr 2

220500

231525

Investitionsobjekt 1

2.) Formel

-

Einzahlungen Auszahlungen

CoII  200000  231525*

Folienseite

-200000 231525

1 (1  0, 05) 2

Seite 10 von 22

Investition Formelsammlung

Q.

Der Wiedergewinnungsfaktor (Annuitätenmethode) 1.) Voraussetzung:

59

Bei der Annuitätenmethode wird der Kapitalwert (Co) in gleich große Jährliche Überschüsse umgewandelt. Die Verrechnung des Kapitalwertes geschieht mit dem Wiedergewinnungsfaktor a.) Formel: Annuität = Kapitalwert * Wiedergewinnugsfaktor

A 

Folienseite

Co

Wiedergewinnugsfaktor =

t

RBFn

1 Rentenbarwertfaktor

Annuität ( A) Kapitalwert (Co) Rentenbarwertfaktor ( RBFn) Eine Investition ist dann vorteilhaft, wenn ihre Annuität positiv ist. b.) Beispiel

Kapitalwert = 8.000 Kalkulationszins: 7% Nutzungsdauer: 6 Jahre

8 . 000 1  ( 1  0 , 07 ) 0 , 07

= 1.678 6

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Investition Formelsammlung

R.

Foliens eite

Die Ermittlung des Annuitätenfaktors (Bspl. Aus der Fallstudie 4/ Aufgabe D) Benötigte Werte Kalkulationszins (i) Laufzeit (t) Kapitalwert (Co)

b.) in unserem Beispiel:

9% 5 Jahre 21.490

1.) Rechenschritt:

3.) Rechenschritt:

a.) Formel 1:

a.) Formel 3:

(1  i )t  1

0,13847

b1 / b2

3,89

4.) Der Annuitätsfaktor liegt bei: 3,890

b.) in unserem Beispiel:

(1  0, 09)5  1

0,09*(1  0,09) 5

0,539

2.) Rechenschritt: a.) Formel 2:

i * (1  i )t

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Investition Formelsammlung

S.

Folienseite

Die Ermittlung des internen Zinsfußes 1.) Formel: a.)

70

gesucht Kapitalwert (Co):

Co   I0(Et  At )*

b.)

1 0 t  (1 i)

Kapitalwert Anschaffungswert Einzahlungsüberschuss in der Zeit Jährlicher Abschreibungsbetrag Kalkulationszins Zeitraum

Co Io Et At i t

gesucht Anschaffungswert (Io) n

I 0   (E t  At ) * t 1

1 (1  i) t

Neben anspruchsvollen Interaktionsverfahren kann folgendes Näherungsverfahren zur Bestimmung von i eingesetzt werden. c.)

Auswahlkriterium

Wir wählen den Kalkulationszinsfuß A, wenn dieser den Kapitalwert > 0 hat. Wir wählen den Kalkulationszinsfuß B, wenn dieser den Kapitalwert < 0 hat. 2. Rechenschritt Durch Lineares Interpolieren zwischen A und B bis der Kapitalwert = 0 hat.

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Investition Formelsammlung

T.

Folienseite

Gesucht wird der Zinssatz (i), der einen Kapitalwert (Co) von 0 erzieht (Lineares Interpolieren) 1.) Benötigte Werte :

e.) Beispiel (ff): (mit den gleichen Werten der Aufgabe A !)

a.)

Variante A:

neuer Kapitalwert: -8.893 Wir haben 2 Kalkulationszinssätze 2.) Formel: b.)

Variante B:

r  i1  C01 *

Wir haben 1 Kalkulationszinssatz c.)

i2 i1 C02  C01

Variante C:

r = Rendite; i1 = Kalkulationszinssatz 1; i2 = Kalkulationszinssatz 2; Co1 = Kapitalwert 1; Co2 = Kapitalwert 2

Wir haben keinen Kalkulationszinssatz / oder wir müssen einen errechnen. d.) Beispiel :

a.) In unserem Bspl.:

(aus der Fallstudie 4 / Aufgabe D)

0,09  21.4 90 *

Hier nehmen wir nun Variante B. Kalkulationszinssatz:

0,10  0,09 8.3 93  21 .4 90

9%

3.) Der interne Zinsfuß liegt bei: 9,70 ! Da der erste Zinssatz einen positiven Kapitalwert erzeugt, wird ein weiterer Zinssatz genommen, von dem ein negativer Kapitalwert erwartet wird !!! d. h.. ein Zins, der über der Verzinsung der Investition liegt . Im unserem Bspl. Versuche ich es einfach mit 10%

Seite 14 von 22

9,7073

Investition Formelsammlung

Seite 15 von 22

Investition Formelsammlung

U.

Gewinngrößen 1.

Jahresüberschuss

Abk.

Folieseite 19

X.

Sonstige Formeln 1. n´te Wurzel n

Erträge -Auswendungen 2.

Betriebsergebnis

19

Abk.

t

a.) In unserem Bspl. (für das Jahr 0): (Aus der Fallstudie 3; Aufgabe b)

Leistung - Kosten 3.

Kapitalgewinn

19

Gesucht Jahreszins für eine Sparanlage die sich innerhalb von 17 Jahren vervierfacht. 4

Jahresüberschuss Betriebsergebnis + Fremdkapitalzinsen 4.

Wertschöpfung

19

Leistung - Vorleistung 5.

Cash Flow

19

Einnahmen - Ausgaben

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17

2,03%

Folieseite

Investition Formelsammlung

V1.

Folienseite

Die optimale Nutzungsdauer (Teil 1/ Bei einer Einmaligen Investition) 1.) Auswahlkriterium

74

d.) Beispiel der Variante A (einmalige Investition):

Investitionsobjekte lassen sich nur für einen begrenzten Zeitraum wirtschaftlich sinnvoll nutzen.

Für jedes Jahr der techn. Nutzung ist der Kapitalwert für den Fall zu berechnen, dass der Investitionsprozess zu diesem Zeitpunkt abgebrochen wird

Diese Begrenzung resultiert aus: zunehmenden Betriebs- u. Instandhaltungskosten sinkenden Absatzzahlen dem technischen Wandel Folge: 2.) Formel: Es ist die wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer zu bestimmen.

n

C0   I 0 

 (E

t

 At ) *

t 1

a.)

1 1  Lt * (1  i) t (1  i ) t

Variante A:

Einmalige Investition a.) In unserem Bspl. (für das Jahr 0): b.)

Variante B:

n

Wiederholte Investition :

1000   (275)* t1

I. einmalige identische Wiederholung II. mehrmalige identische Wiederholung III. unendliche identische Wiederholung c.)

Variante C:

Wiederholte nicht- identische Investition

Seite 17 von 22

1 1  812* 1 (1  0,1) (1  0,1)1

-12

Investition Formelsammlung

Seite 18 von 22

Investition Formelsammlung

V2.

Folienseite

Die optimale Nutzungsdauer (Teil 2/ Bei I. einmalig Wiederholten Investition) 1.) Voraussetzung:

77

d.) Beispielwerte aus der Variante A (einmalige Investition):

siehe Folie: V1 b.)

Variante B: I. einmalige identische Wiederholung

2.) Formel:

C ges.  C0  (C0 max *

1 ) (1  i ) t

Bei einmaliger Wiederholung ist die optimale Nutzungsdauer der Grundinvestition stehst kürzer als die der Folgeinvestition. Bei mehrmaliger identischer Wiederholung gilt: In einer endlichen Investitionskette ist die optimale Nutzungsdauer jeder Anlage länger als die ihrer Vorgänger und kürzer als die der Nachfolgerin.

C0max

Das Kapitalwertmaximum wurde bereits mit der Variante A errechnet.

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Investition Formelsammlung

V3.

Die optimale Nutzungsdauer (Teil 3/ Bei einer unendlich Identischen Investition) 1.) Voraussetzung:

78

d.) Beispiel der Variante A (einmalige Investition):

Bei unendlich identischer Wiederholung schließen sich an jene Investition unendlich viele Folgeinvestitonen an; damit muss auch jedes Glied in dieser Kette die gleiche Nutzungsdauer aufweisen. Die optimale Nutzungsdauer jeder einzelnen Anlage liegt dort, wo die Annuität ihr zeitliches Maximum erreicht. a.) In unserem Bspl. (für das Jahr 1): b.)

Variante B:

III.

unendliche identische Wiederholung

A  13, 2

2.) Formel:

A  C0  RBF Siehe hierzu die Folien: O = RBF Q = Annuität Benötigte Werte : Kalkulationszins (i)

Folienseite

10%

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Investition Formelsammlung

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Investition Formelsammlung

Z.

Abkürzungsverzeichnis Bezeichnung Eigenkapitalrentabilität Return of Investment Gesamtkapitalrentabilität Umsatzrentabilität-Netto

EKR ROI GKR URn

Umsatzrentabilität-Brutto Anschaffungskosten Restwert Kalkulationszinssatz Nutzungsperioden (dauer) Kapitalwert

URb AK RW i n C0

Kapitalendwert

Kn Ko r Io

Kapitalanfangswert Rate; Rendite Investitionsausgabe Einzahlungsüberschuss zum Zeitp. Auszahlungen z. Zeitpunkt. Ertragswert Einzahlungen in der Laufzeit Laufzeit ( Zeit) Zahlungswert zum Zeitpunkt Rentenbarwertfaktor Rentenentwertfaktor

Abk.

Bezeichnung

Et At w Et t Rt RBF REF

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Abk....