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Körperformen GS: Würfel, Quader (aus lateinischem: Ziegelstein), Kugel, Pyramide, Kegel, Zylinder, Prisma (ganz zum Schluss, nicht bekannt!)

Überblick: Arbeit mit Körperformen komplexer als mit Flächenformen Erfassen von konkreten Objekten und Situationen sowie von Repräsentationen (Bilder, Zeichnungen)  Fokussierung auf einzelne Eigenschaften (Ecken, Kanten, Flächen, Volumen)  Konstruktion von Körperformen (motorisch und kognitiv)  Manuelles und mentales Operieren  Arbeit mir vielfältigen Modellen (Kanten-, Flächen-, Vollmodelle) um Merkmale und Zusammenhänge herauszuheben  Räumliches Vorstellungsvermögen bei all diesen Aktivitäten stark gefordert 

Begriffsbildung  Anspruchsvoller als bei Flächen (Dreidimensionalität, komplexere Merkmale, Anspruch an räumliches Vorstellungsvermögen)  Einführung von Körpern über Abstrahieren (Dinge aus Umwelt suchen, BSP und Gegen-BSP), Spezifizieren (Merkmale einführen  Kinder entscheiden, passt es?) und Konstruieren (erst selbst formen, dann überprüfen lassen) mit anschließender Vertiefung  Ziel: Erkennen, Beschreiben, Konstruieren und Analysieren (Aspekte der Begriffsbildung) Aspekte beim Begriffserwerb  Erkennen und Benennen (z.B. in einer Menge von Körperformen, unter Alltagsobjekten, im Fühlsäckchen, als Beschreibungen)  Beschreiben (z.B. mit eigenen Worten, mit Fachausdrücken, in Beziehung zu anderen Objekten)  Konstruieren (z.B. Bauen)  Analysieren (z.B. Ecken, Kanten, Winkel, Symmetrien) Jeder dieser Aspekte (vgl. auch Lehrplan) kann auf unterschiedlichen Abstraktionsniveaus behandelt werden. Dadurch ist keine feste Reihenfolge vorgegeben. Mathematischer Hintergrund Wichtige Aspekte:    

Körpertypen Mögliche Verallgemeinerungen Klassifikation sowie Beziehungen zwischen den einzelnen Typen Eigenschaften der einzelnen Typen  primäre Eigenschaften  Netze

Klassifikation von Körperformen (werden bis auf Ähnlichkeit (Kongruenz und Skalierung) klassifiziert)  Merkmale zu Klassifikation bei konvexen Körperformen: Ecken, Kanten, Seitenflächen (jeweils Anzahl und Form)  Damit zunächst Abgrenzung „Polyeder“, die durch ebene Flächen begrenzt werden (Würfel, Quader, Pyramiden, Prismen)  Regelmäßigkeit: Symmetrien eines Körpers (Dreh-, Achsensymmetrien)  z.B.: Würfel regelmäßiger als Quader Polyeder (regelmäßigsten sind platonische Körper, bis auf Ähnlichkeiten gibt es 5)

Hexaeder Ein platonischer Körper ist ein Körper, …  Der als Seitenflächen nur kongruente, regelmäßige Poly-gone (=gleichlange Seiten, gleichlange Innenwinkel) hat  Bei dem an jeder Ecke dieselbe Anzahl an Flächen zusammenstößt  Der Konvex ist (keine „Delle“ hat) Grenzfälle von Polyedern Körper, die in der GS keine Polyeder sind, sind in gewisser Hinsicht „extreme Grenzfälle“ von Polyedern  Polyeder: gegebenes Volumen, möglichst kleine Oberfläche  idealer Grenzfall: Kugel  Gerade Prismen: gegebenes Volumen & Höhe, möglichst kleine Oberfläche  idealer Grenzfall: Kreiszylinder  Gerade, regelmäßige Pyramide: geg. Volumen & Höhe, mögl. kl. Oberfläche  idealer Grenzfall: Kreiskegel Klassifikation (allgemeine Definition)  Zylinder: Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit den entsprechenden Punkten einer aus der Ebene heraus verschobenen Fläche verbindet  Kegel: Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit einem weiteren Punkt außerhalb der Ebene (durch Strecken) verbindet

 Im allgemeinen Sprachgebrauch meint man mit Kegel Kreisgele und mit Zylinder Kreiszylinder (Grundfläche: Kreis)  Pyramiden sind auch Kegel und Prismen sind Zylinder Beziehungen zwischen den Körpern Hexaeder

Eigenschaften der einzelnen Typen  Primäre Merkmale: Anzahl von Ecken, Kanten, Seitenflächen  Längen der Kanten  Formen der Seitenflächen  Achtung! Kugel: keine Ecken, keine Kanten, aber Fläche (diese nicht eben, deshalb keine ebene Flächenform)  Ball aufschneiden!?  Anordnung der Flächen zueinander (siehe Netze)

Netze (eben Figuren, aus denen sich ein Körper z.B. durch Falten wieder zusammenbauen lässt

 Die Punkte auf dem Rand der Grundfläche sind alle gleich weit von der Spitze entfernt. Also muss sich ein Kreisbogen ergeben.

Kompetenzerwartungen im LehrplanPLUS

Abstrahieren spezfifizieren spezfifizieren

Niveau 0? Inklusion kennen lernen

konstruieren

Räumliche Veranschaulichung

Der Würfel  Vom Namen her bekannt, aber taucht im Alltag eher selten auf  Wichtig im Begriffsbildungsprozess: Im Alltag werden auch andere Körper als Würfel bezeichnet!  Regelmäßigkeit des Würfels insbesondere beim Spielwürfel als faire Entscheidungshilfe genutzt und verdeutlicht  6 kongruente, quadratische (Seiten)Flächen  12 gleich lange Kanten (an denen jeweils 2 Seitenflächen senkrecht zusammentreffen)  8 Ecken (3 Kanten und 3 Seitenflächen treffen dort jeweils zusammen)  Vielzahl von Symmetrien (Drehsymmetrie an verschiedenen Achsen, Spiegelsymmetrie an verschiedenen Ebenen Wie hängen Seitenflächen zusammen (Netze)? Der Quader (ist Kindern als Bauklotz und durch Kartons etc. bekannt, aber Bezeichnung neu und mögliche Verwechslung mit Quadrat)  6 rechteckige Seitenflächen, geneüberliegende kongruent  12 Kanten, parallele gleich lang, 2 Flächen treffen jeweils senkrecht zusammen  8 ecken, an denen jeweils 3 Kanten und 3 Seitenflächen senkrecht zusammentreffen  Einige Symmetrien (aber weniger als bei Würfel)  Gefahr einer eingeschränkten Prototypenbildung (Form Ziegelsteins, Schuhkarton) Wichtig: vielfältige Erfahrungen mit unterschiedlichen Repräsentanten (z.B. Holzlineal, Bierdeckel, Mathebuch)  Bei Konstruktion von kantenmodellen aufpassen, dass verschiedenste Kantenlängen verwendet werden  Wichtig: realistische Betrachtung des (mathematisch idealen) Begriffs in der Umwelt; Abweichungen diskutieren Quader – Beziehung zu anderen Körperformen  Quader werden von Kindern oft klar von Würfeln unterschieden, keine Beziehung wahrgenommen  Würfel als speziellen Quader thematisieren!  Quadratisches Prisma („quadratische Säule“) kann als spezieller Quader behandelt werden um Beziehungen herauszuarbeiten  Parallelepipede (schiefe Quader) können als „nicht-Bsp“ gut aufgegriffen werden Kugel Die Kugel ist den Kindern aus der Lebenswelt (z.B. als Ball) bekannt Weitere Körperformen  Kegel, Dreiecksprismen, Pyramide (nicht alle Ecken gleich!) sind i.d.R. als Formen aus dem Alltag bekannt (turmspitzen, Hausdächer, Pyramiden)  Zylinder sind als Walzen, Klorolle bekannt

Bauen mit Körperformen Bauen als erster Zugang zu geometrischen Körperformen (bereits im Kindergarten) Zugang zu den Eigenschaften der Körper Verwendung der Körper in der Umwelt gibt Kindern ersten Eindruck von verschiedenen Eigenschaften der Körperformen (erste Klassifikationsmöglichkeiten)    

Ein Ball kann in alle Richtungen rollen  keine Ecken und Kanten Walze kann zwar rollen, aber nur in eine Richtung Hausdach ist unten rechteckig, Giebel dreieckig Turmspitze kann unten rund sein

Modelle und Lernaktivitäten mit diesen Im Bereich „Körperformen“ lassen sich verschiedene Modelle (und Lernaktivitäten) unterschieden:  Vollmodelle (Holz, Knetgummi, Kartoffeln geeignet zum Bauen) dienen der ganzheitlichen Erfahrung von Körperformen, auber auch erste Eigenschaften können untersucht werden  Fühlübungen: Erkennen von Körpern und ihren Eigenschaften, Verbalisieren  Klassifizieren  Herstellen: von Vollmodellen aus Knetgummi oder z.B. Kartoffeln (nicht einfach)  Übungen zu Schnitten: an Körpern (konkret handelnd und im Kopf)  Bauen: v.a. (aber nicht nur) mit Würfeln und u.U. Quadern  Kippbewegungen Insbesondere bei Quadern ist Nachvollziehen von Kippbewegungen eine gute Aktivität sowohl um Netze zu thematisieren, als auch um räumliche Vorstellung zu schulen.

 Kantenmodelle (Knetgummi und Strohhalme, Wege auf Würfeln, Zeichnen von Schrägbildern) Durch das Bauen und Untersuchen von Kantenmodellen von Polyedern setzen sich die Kinder auseinander mit  Der Anzahl von Ecken und Kanten  Länge von Kanten  Winkel zwischen Kanten an den Ecken  Anzahl an Kanten, die an einer Ecke zusammentreffen

Weiteren Zusammenhängen zwischen Kanten und Ecken (Wege auf den Körpern) Dienen dazu selektive Wahrnehmung einzelner Aspekte geometrischer Körper zu üben  Flächenmodelle (Papier, Pappe, Plastik, GeoClix  Konstruktion von Körpern aus Netzen  Untersuchen, beschreiben, benennen der Flächentypen eines Körpers, Anzahl bestimmen  Flächenmodell aufschneiden, Flächen analysieren, zählen  GeoClix  3 Möglichkeiten, Netze zu erstellen  Abrollen von Vollmodellen  Aufschneiden, Zerlegen von Flächenmodellen  Zusammensetzen von einzelnen Flächen  Würfelnetze 

Körper aus Netzen zusammensetzen (konkret und im Kopf) – Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens (auch potentielle Netze darauf überprüfen, ob sie sich wirklich zu Würfel machen lassen, weiterührende Aufgaben thematisieren, welche Kanten oder Ecken dabei aufeinander fallen (Klebelaschen)  Bildliche Repräsentation (Schrägbilder) 

Die zielorientierte Arbeit mit diesen Modellen soll nicht nur begriffliches Wisse zu Körperformen aufbauen, sondern auch Wissen zu Flächenformen vertiefen und die Raumvorstellung schulen. Bauen mit Körperformen Lernaktivität Bauen Bauen mit geometrischen Körpern ist das dreidimensionale Gegenstück zum Legen bei den Flächenformen Je nach Art der Aktivität können verschiedene Ziele fokussiert werden  Freies Bauen  Bauen nach Vorgabe oder nach einem Plan  Bauen nach schrfitlicher/verbaler Anleitung  Bauen nach vorgestellten Bildern

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Vergleichen von Bauwerken Beschreiben des Bauprozesses Erstellen von Bauplänen und Anleitungen

Aufgaben mit Problemlösecharakter Wie viele verschiedene Würfelvierlinge gibt es?

Solche Übungen dienen nicht primär dem Erwerb von Begriffswissen über Würfel, sondern fördern räumliches Vorstellungsvermögen, Wissen über Kongruenz von Körpern, Argumentationsfähigkeit Soma-Würfel Analog zum Tangram beim Legen von Flächenformen gibt es im dreidimensionalen den Soma-Würfel Die Einzelteile sind 6 verschiedene Würfelvierlinge, die keine Stangen oder Platten sind, und ein Würfeldrilling Analoge Ideen gibt es auch für ebene Figuren (z.B. Pentominos aus 5 Quadraten)

Bestimmen des Rauminhalts Durch das Bauen mit Einheitswürfeln und das Zerlegen in Einheitswürfel sammeln Kinder grundlegende Erfahrungen zum Messvorgang bei der Volumenbestimmung  

Vergleichen der Anzahl benötigter Würfel ermöglicht den Größenvergleich Bauen bescheidener Bauwerke mit jeweils gleicher Würfelanzahl: Sie sehen sehr verschieden aus und doch haben sie den gleichen Rauminhalt

Lernaktivitäten mit bildlichen Repräsentationen Zeichnen dreidimensionaler Körper  Nur in wenigen BL im GS-Lehrplan, da als sehr schwierig angesehen  Keine Freihandzeichnungen, sondern nur bestimmte Körper mit Hilfe von Punktegittern

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Kantenmodelle können (als Schattenbilder) als Hilfe beim Verständnis der Darstellungen dienen

Solche Darstellungen zu lesen ist allerdings grundlegende Fähigkeit, die auch im Unterricht der Grundschule benötigt wird Zeichnen von Körpern

Lernaktivität Zeichnen

Da das Zeichnen ohne Hilfsmittel schwerfällt, werden Punktemuster genutzt, die das Zeichnen von Quadern und Würfeln vergleichsweise einfach ermöglichen. Breite und Höhe werden im realen Längen- und Winkelverhältnis dargestellt, die Tiefe wird verkürzt in einem anderen Winkelverhältnis abgetragen...