Apuntes, tema 5 - Bases de Jordan PDF

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´ ALGEBRA LINEAL. Forma can´onica de Jordan. Ejemplo. C´alculo de la forma can´onica de Jordan de la matriz 0 1 2 0 3 0 B 1 2 0 3 C C A=B @ 0 0 2 0 A 0 0 1 2 1o) Calculamos el polinomio caracter´ıstico:   2x 0 3 0   1 2  x 0 3 pA (x) = A =  0 0 2x 0   0 0 1 2x que nos da el valor propio d = 2, con m(2) = 4.

     = (2  x)4   

2o) Calculamos la dimensi´on del subespacio propio asociado al valor propio obtenido: 0 1 0 0 3 0 B1 0 0 3 C C dimV (A  2I4 ) = 4  rg(A  2I4 ) = 4  rg B @ 0 0 0 0 A = 4  2 = 2. 0 0 1 0 Como dimV (A  2I4 ) = 2 6= m(2) = 4, A no es diagonalizable (saldr´an 2 bloques de Jordan) y debemos seguir calculando dimensiones ! paso 3. 3o) Calculamos las dimensiones de Ker(A  2I4 )k (k = 1 est´a hecho en 1o), as´ı que empezamos por k = 2,..., hasta que tengamos el polinomio m´ınimo: hasta que la dimensi´on calculada coincida con m(2)): 1 0 0 0 0 0 B 0 0 6 0 C C dimKer (A  2I4 )2 = 4  rg(A  2I4 )2 = 4  rgB @ 0 0 0 0 A = 41= 3 0 0 0 0 Para (A  2I4 )3 se tiene que (A  2I4 )3 = 04 , por lo que dimKer (A  2I4 )3 = 4 = m(2) (como es el n´ ucleo y aplicamos la matriz nula 04 , es la dimensi´on del total), y el polinomio m´ınimo de A es mA (x) = (x  2)3 (m´ınimo polinomio que anula, y que es divisor del polinomio caracter´ıstico). 4o) Hacemos un recuadro donde, el n´ umero de filas es el exponente del polinomio m´ınimo, y el n´ umero de columnas de cada fila viene dado por: ´ Ultima fila: dimV (A  2I)  dimKer (I) = 2  0 = 2

Fila de enmedio: dimKer(A  2I )2  dimV (A  2I) = 3  2 = 1 Primera fila: dimKer(A  2I )3  dimKer (A  2I )2 = 4  3 = 1 Entonces queda el cuadro: ker(A  2I )3 v1 2 ker(A  2I ) v2 = (A  2I)v1 ker(A  2I) v3 = (A  2I)2 v1 u1 donde v1 es un vector cualquiera de Ker(A  2I )3 que no pertenezca a Ker (A  2I )2 y u1 es un vector de Ker(A  2I) linealmente independiente con los vi (i=1,2,3). Tomando por ejemplo v1 = (0, 0, 1, 0) (sirve cualquier vector pues KerV (04 ) = R4 , teniendo en cuenta que no debe verificar (A  2I)2 v1 = 0 para que no pertenezca a Ker(A  2I )2 ), obtenemos v2 y v3 : 10 1 0 1 0 3 0 0 0 3 0 B 1 0 0 3 CB 0 C B 0 C CB C B C v2 = (A  2I)v1 = B @ 0 0 0 0 A@ 1 A =@ 0 A 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 6 0 CB 0 C B 6 C CB C B C v3 = (A  2I)2 v1 = B @ 0 0 0 0 A@ 1 A = @ 0 A 0 0 0 0 0 0 Para u1 podemos tomar, por ejemplo, u1 = (3, 0, 0, 1). Queda entonces el recuadro: ker(A  2I )3 v1 = (0, 0, 1, 0) ker(A  2I )2 v2 = (3, 0, 0, 1) ker(A  2I) v3 = (0, 6, 0, 0) u1 = (3, 0, 0, 1) y la base B = {(0, 0, 1, 0), (3, 0, 0, 1), (0, 6, 0, 0), (3, 0, 0, 1)}. 4o) Como hay dos columnas, se tienen dos bloques de Jordan, uno de dimensi´on 3 y otro de dimensi´on 1, con vectores asociados los de la primera y segunda columna respectivamente: 1 0 2 0 0 0 B1 2 0 0 C C J=B @0 1 2 0 A 0 0 0 2 siendo la matriz de paso P , tal que A = P JP −1 la formada por los vectores obtenidos puestos por columnas:

0

0 B0 P =B @1 0

3 0 0 1

1 0 3 6 0 C C 0 0 A 0 1

Nota: Cuando hay m´as de un valor propio, se sigue el procedimiento anterior para cada uno: cada uno un recuadro, considerando el n´ umero de filas correspondiente con el exponente del monomio de ese valor propio en polinomio m´ınimo; por ejemplo, para la matriz A con polinomio m´ınimo mA = (x + 1)2 (x  3) habr´ıa dos filas en el recuadro de d = 1 y una para d = 3....