Apuntes tema 5 - Cap´ıtulo 5 Sistemas de control por realimentaci´on PDF

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Cap´ıtulo 5
Sistemas de control por
realimentaci´on...

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Cap´ıtulo 5

Sistemas de control por realimentaci´ on En este tema se presentan los sistemas de control por realimentaci´ on, y en particular, el problema del dise˜ no de controladores para sistemas con una u ´ nica entrada y una u ´ nica salida. En temas anteriores se han estudiado los sistemas din´ amicos lineales invariantes en el tiempo y se ha desarrollado una serie de herramientas para analizar su comportamiento. Estas herramientas se pueden utilizar tambi´en para analizar el comportamiento de sistemas realimentados, pero como veremos a continuaci´ on, pueden ser insuficientes para resolver problemas de dise˜ no de controladores. En los siguientes temas, se estudiar´an herramientas espec´ıficas para este problema. El control manual de un sistema consiste en aplicar una serie de est´ımulos de entrada para conseguir un comportamiento adecuado. Las decisiones las toma una persona (operario), por ejemplo el conductor de un coche o un jardinero al regar un jard´ın con una manguera. Un sistema de control autom´ atico es un conjunto de dispositivos que, por s´ı solos, a justan el funcionamiento de un sistema manipulable para unos determinados fines. En este caso, las decisiones las toma un dispositivo (que llamaremos controlador), como por ejemplo un sistema de climatizaci´ on o el control de los motores de un coche h´ıbrido. La Ingenier´ıa de Control estudia como dise˜ nar los sistemas de control autom´ atico y tiene una gran trascendencia en la sociedad (tecnolog´ıa oculta) La mayor parte de los sistemas modernos (aviaci´ on, trenes de alta velocidad, reproductores de CD,...) no podr´ıan funcionar sin la ayuda de sofisticados sistemas de control. En la industria de procesos por ejemplo, los sistemas de control autom´ atico son claves para la mejora en la calidad del producto, el incremento de la productividad, la minimizaci´ on del gasto, el ahorro energ´etico y la protecci´ on medioambiental. Dise˜ nar un sistema de control autom´ atico es un problema muy amplio, a menudo interdisciplinar. Dentro de los problemas que hay que resolver, podemos destacar varios. Para empezar, es necesario definir con precisi´on los objetivos de control, es decir, qu´e queremos conseguir (reducci´ on energ´etica, incremento de producci´on,...) y qu´e nivel de comportamiento es necesario (precisi´ on, velocidad,...). Estos objetivos tienen que ser definidos por t´ecnicos que conozcan el sistema a controlar en profundidad, aunque no tienen por qu´e tener conocimientos espec´ıficos de control. Desde un cierto punto de vista, son los clientes del ingeniero de control. Para dise˜ nar un sistema de control, es necesario tener un modelo matem´ atico del sistema a controlar que identifique con precisi´ on las variables del mismo, incluyendo las variables manipulables, las perturbaciones, las variables internas y las salidas de inter´es. Una parte clave de un sistema de control es el dise˜ no y la instalaci´ on de la instrumentaci´ on, es decir, de los sensores que permitan medir las variables de inter´es del sistema, y de los manipuladores que permitan actuar sobre el sistema. A menudo la calidad de la instrumentaci´on (y en particular de los sensores) limitan el potencial de un sistema de control autom´ atico. Un conocimiento apropiado de la instrumentaci´ on industrial es muy importante para un ingeniero de control, aunque la instrumentaci´ on est´ a fuera de los objetivos de esta asignatura. Por u ´ ltimo, una vez se tienen bien definidos los objetivos de control, la instrumentaci´ on y el modelo del sistema, es necesario definir la ley de control, es decir, el criterio que decide la actuaci´ on sobre el sistema. Este problema, de vital importancia, es en el que nos centraremos en esta asignatura. 1

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´ ´ CAPITULO 5. SISTEMAS DE CONTROL POR REALIMENTACI ON

Figura 5.1: Esquema de control en bucle abierto

5.1.

Control en bucle abierto y en bucle cerrado

Dentro de los sistema de control autom´ atico se pueden distinguir dos clases de sistemas, los sistemas de control en bucle abierto (o control en serie) y los sistemas de control en bucle cerrado (o control por realimentaci´ on). En un sistema de control en bucle abierto la salida del sistema no afecta a la acci´ on de control, es decir, una vez se decide la trayectoria de la acci´ o n de control u(t) durante un cierto periodo de tiempo, no se modifica por el efecto que tiene sobre el comportamiento del sistema, es decir, sobre la salida. Un buen ejemplo de un sistema de control en bucle abierto, son los diferentes programas de una lavadora. Una vez se ha escogido un programa determinado, se lleva a cabo sin tener en cuenta el resultado, es decir, no se para antes por detectar que la ropa est´e limpia ni alarga el lavado por lo contrario. Otro ejemplo de sistema de control en bucle abierto, es el control de las luces de los sem´ a foros de una localidad, que funcionan seg´ un una temporizaci´ on fija sin tener en cuenta el tr´ afico. En general, los sistemas en bucle abierto est´an muy extendidos por dos motivos, primero porque en muchos casos la soluci´on cumple los objetivos de control y segundo porque son m´ as econ´ o micos que los sistemas de control en bucle cerrado. Sin embargo, en muchos problemas de control no son apropiados por que en general necesitan de unos modelos muy precisos que permitan definir las acciones de control, y adem´as son muy susceptibles a las perturbaciones y los errores de modelado. La figura 5.1 muestra los elementos principales de un esquema de control en bucle abierto. Este esquema muestra gr´ aficamente que el controlador no tiene en cuenta la salida del sistema para elegir la acci´ o n de control, que se suele elegir en base a un modelo del sistema y al conocimiento de las condiciones iniciales del mismo. En un sistema de control en bucle cerrado la acci´ on de control depende en cada instante de tiempo de la salida que define el comportamiento del sistema. La variable de control (la entrada manipulable) se decide como una funci´ on de la salida y de la referencia, es decir, del comportamiento que deseamos que tenga la salida. Este esquema se denomina control por realimentaci´ on. Un ejemplo ser´ıa el control de temperatura de una habitaci´ on en la que se enciende o se apaga la calefacci´ o n en funci´ on de que la temperatura est´e por encima o debajo de un valor determinado usando un termostato. Las ventajas de los sistemas realimentados son m´ ultiples. El uso de la salida en la toma de decisiones, hacen que sean robustos de forma intr´ınseca a errores de modelado o perturbaciones. Adem´ as, en general es posible obtener una mayor precisi´on y desempe˜ no que los sistemas de control en bucle abierto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que son m´ as costosos desde un punto de vista econ´omico que los sistemas en bucle abierto, al ser necesaria m´ a s instrumentaci´ on. Adem´ as, el dise˜ no de un sistema realimentado es un problema complejo, e incluso puede llevar a la inestabilidad del sistema en bucle cerrado. En esta asignatura nos centraremos en el dise˜ no de sistemas de control en bucle cerrado. La figura 5.2 muestra los elementos principales de un esquema de control en bucle cerrado. Estos elementos se pueden identificar con los diferentes problemas que hay que resolver para dise˜ nar un sistema de control autom´ atico. La referencia est´ a ligada al dise˜ no de los objetivos de control. El sistema tiene que tener un modelo que describa su comportamiento de forma apropiada. Hay que tener una instrumentaci´ on apropiada que permita medir (sensores) y manipular (actuadores) el comportamiento del sistema, y finalmente, hay que dise˜ nar el controlador/algoritmo de control. Estos elementos se encuentran en todos los sistemas de control autom´ atico en bucle cerrado. Un concepto importante es el concepto de realimentaci´ on negativa. Un bucle de realimentaci´ on es

5.1. CONTROL EN BUCLE ABIERTO Y EN BUCLE CERRADO

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Figura 5.2: Esquema de control en bucle cerrado

aqu´el en el una se˜ nal de un sistema din´ amico tiene efecto sobre si misma a lo largo de una cadena de efecto. Los sistemas de control en bucle cerrado tienen un bucle de realimentaci´ on al usar la salida para decidir el valor de la entrada. Un bucle de realimentaci´ on positiva tiene la particularidad, que un incremento en una se˜ nal, genera un efecto que tiende aumentar ese incremento. Un ejemplo de bucle de realimentaci´ on positiva es un modelo que indique que si un producto tiene la calidad adecuada, un incremento en las ventas implica un incremento de clientes satisfechos, los cuales contribuyen a la difusi´ on oral del producto, lo que a su vez determina un incremento de las ventas. Te´ oricamente, esto llevar´ıa a un crecimiento ininterrumpido de las ventas. Un sistema con un bucle de realimentaci´ on positiva tiende a inestabilizarse, y hay que evitarlos en los sistemas de control. Un bucle de realimentaci´on negativa tiene la particularidad, de que un incremento en una se˜ nal, genera un efecto que tiende a contrarestar ese incremento. Los bucles de realimentac´ oon negativa se encuentran por todas partes. Subyacen a los comportamientos orientados a un objetivo. Por ejemplo, los seres vivos presentan el proceso de homeostasis por el cual mantienen sus constantes en los valores que permiten su supervivencia, con independencia de los cambios que se produzcan en el entorno. Un primer objetivo de control, es garantizar que se implementa un bucle de realimentaci´ on negativa. En la pr´ oxima secci´ on veremos la aplicaci´ on concreta de este objetivo al control de sistemas con una u ´ nica entrada y una u ´ nica salida. En este tipo de sistemas, es particularmente importante identificar si el sistema es de acci´ o n directa o de acci´ o n inversa. En los sistemas de acci´ on directa, un aumento en el valor de la entrada, genera un aumento en el valor de la salida. En los sistemas de acci´on inversa, un aumento en el valor de la entrada, genera una disminuci´ on en el valor de la salida. El controlador tiene que tener en cuenta la naturaleza del sistema al decidir la acci´ on de control, de forma que consiga el comportamiento adecuado. La figura 5.3 muestra dos tanques de agua controlados por una v´ alvula. La salida es la altura de los tanques. El sistema de la derecha es de acci´on directa. Una mayor apertura de la v´alvula (↑ u) incrementa el caudal de entrada, y por lo tanto, hace que suba el nivel del tanque (↑ h). En el sistema de la derecha, sin embargo, una mayor apertura (↑ u), aumenta el caudal de salida del tanque, y por lo tanto hace que disminuya el nivel del tanque (↓ h). Un sistema de control cuyo objetivo sea mantener el nivel constante igual a hr , se comportar´ a de forma diferente para ambos sistemas. En el caso del sistema de acci´on directa, si h > hr , entonces para hacer que el nivel disminuya, tendr´ıa que disminuir la apertura, sin embargo para el caso del sistema de acci´on inversa, para vaciar m´ a s r´ a pido el tanque tendr´ıa que aumentarla. En ambos casos, se generar´ıa un bucle de realimentaci´ on negativa que tender´ıa a anular el error, es decir la diferencia entre h y hr .

´ ´ CAPITULO 5. SISTEMAS DE CONTROL POR REALIMENTACI ON

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Figura 5.3: Ejemplo de acci´ on directa y acci´on inversa

5.2.

Control de sistemas continuos en torno a un punto de operaci´ on

El Control Autom´ atico se aplica a todo tipo de sistemas, es decir, a sistemas de tiempo continuo o discreto, variables continuas o discretas, con m´ ultiples salidas y entradas, modelos lineales y no lineales... Cada clase de sistemas, tiene asociada unas herramientas de an´ alisis y dise˜ no de controladores. En esta asignatura, nos centramos en el dise˜ no de controladores para sistemas lineales invariantes en el tiempo con una entrada y una salida. Este problema es de gran importancia pr´actica, ya que como se estudi´o en temas anteriores, el comportamiento de los sistemas descritos mediante ecuaciones algebraico diferenciales no lineales se puede aproximar por el de sistemas lineales en torno a un determinado punto de operaci´on. En la industria, la mayor parte de bucles simples de control de una entrada y una salida, se dise˜ nan a partir de un determinado punto de operaci´ o n, es decir, la acci´ o n de control u(t) es igual al valor del punto de operaci´ o n u0 m´ as una desviaci´ o n ∆u(t) que decide el controlador. La se˜ nales que definen a un sistema de control de una entrada una salida en torno a un punto de operaci´on son: La referencia r(t) ∈ R es la se˜ nal que indica el valor deseado de la salida del sistema y(t) en cada instante de tiempo. Es una se˜ nal de entrada al sistema de control. El error e(t) ∈ R es la se˜ nal que mide la desviaci´ on de la salida respecto al valor de referencia. Se calcula como e(t) = r(t) − y(t). Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control y la se˜ nal de entrada al controlador. El incremento de la acci´ on de control ∆u(t) ∈ R es la desviaci´on del punto de operaci´ on que calcula en cada instante de tiempo el controlador en funci´ on de la se˜ nal de error. Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control. El valor de la acci´on de control u0 define el punto de operaci´ on del sistema de control junto con la salida y0 correspondiente. Este valor es un par´ ametro del sistema de control. La acci´on de control u(t) ∈ R es el valor que se aplica en cada instante de tiempo a los actuadores del sistema. Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control. La salida y(t) ∈ R es la medida de la salida que se quiere controlar. Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control y la salida del mismo.

´ 5.2. CONTROL DE SISTEMAS CONTINUOS EN TORNO A UN PUNTO DE OPERACION

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Figura 5.4: Control de un sistema SiSo en torno a un punto de operaci´on En este esquema, el sistema est´ a definido por un modelo que generalmente ser´ a no lineal. Para poder aplicar las herramientas estudiadas en los temas anteriores, se utiliza un modelo equivalente basado en las variables incrementales en torno al punto de operaci´on. En este caso, el sistema a estudiar se define con un modelo lineal, en nuestro caso, una funci´ on de transferencia. Al trabajar con el modelo linealizado, las se˜ nales que definen a un sistema de control son: La referencia ∆r(t) = r(t) − y0 ∈ R es la se˜ nal que indica el valor deseado de la salida del sistema ∆y(t) en cada instante de tiempo. Es una se˜ nal de entrada al sistema de control. El error e(t) ∈ R es la se˜ nal que mide la desviaci´on de la salida del valor de referencia. Se calcula como e(t) = ∆r(t) − ∆y(t) = e(t) − y(t). Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control y la se˜ nal de entrada al controlador. El incremento de la acci´ on de control ∆u(t) = u(t) − u0 ∈ R es la desviaci´ on del punto de operaci´on que calcula en cada instante de tiempo el controlador en funci´ on de la se˜ nal de error. Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control. La salida ∆y(t) = y(t) − y0 ∈ R es la desviaci´ on de la salida en relaci´on a y0 , la salida en el punto de operaci´ o n. Esta se˜ nal es una se˜ nal interna del sistema de control y la salida del mismo. El valor de la entrada y la salida en el punto de operaci´ on deben coincidir con un punto de equilibrio del sistema. En el dominio de la frecuencia, trabajaremos con las transformada de Laplace de estas se˜ nales y en general, supondremos condiciones iniciales nulas, es decir, que ∆u(t), ∆y(t) y todas las derivadas necesarias, son nulas en el instante inicial de las simulaciones que realizaremos. Las se˜ nales en el dominio de la frecuencia son las siguientes: R(s) = L(∆r(t)) E(s) = L(e(t)) U (s) = L(∆u(t)) Y (s) = L(∆y(t)) La figura 5.4 muestra un ejemplo del diagrama de bloques de control con el sistema no lineal y sus correspondientes se˜ nales (esquema superior), y el diagrama de bloques equivalente de control del

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´ ´ CAPITULO 5. SISTEMAS DE CONTROL POR REALIMENTACI ON

Figura 5.5: Sistema en bucle cerrado sistema linealizado y sus correspondientes se˜ nales (esquema inferior). En el esquema de control del sistema linealizado se definen las funciones de transferencia del controlador C(s) = U (s)/E (s) y del sistema en bucle abierto G(s) = Y (s)/U (s). La diferencia entre las se˜ nales absolutas y las se˜ nales incrementales es de vital importancia para poder implementar un bucle de control, en particular, la elecci´on de los puntos de operaci´ on del sistema. Como peculiaridad, se puede observar de la definici´ on del error que no es necesario conocer el valor de y0 para implementar el controlador, ya que el error es el mismo se calcule utilizando las variables incrementales o las variables absolutas. Como resumen, siempre que se est´e trabajando con sistemas lineales, hay que recordar que las se˜ nales involucradas, son se˜ nales incrementales a partir del las correspondientes se˜ nales absolutas en el punto de operaci´on. Esto es cierto para todas las se˜ nales: entradas, salidas, internas y perturbaciones. Adem´ as, por estar trabajando con funciones de transferencia, se supone que las condiciones iniciales del sistema coinciden con el punto de operaci´on (desviaciones nulas). Por u ´ ltimo, en el resto de este tema, y en general de toda la asignatura, no se utilizar´ a la notaci´ on ∆ para indicar que las se˜ nales son incrementales.

5.3.

Objetivos de control: problema de regulaci´ on y de seguimiento

Los objetivos de control pueden ser de diferente naturaleza en funci´ on del problema a estudiar y del nivel de estudio. A alto nivel puede ser de inter´es incrementar la calidad de un producto y bajar costes o aumentar el ritmo de producci´ on de una f´ abrica. En este tema nos centramos en los objetivos de control de un bucle de control simple con una entrada y una salida. Los objetivos de control deben de ser cuantificables, de forma que se pueda comprobar su cumplimiento y se pueda comparar las prestaciones de diferentes controladores. En particular, los objetivos de control se definen a partir del comportamiento del sistema en bucle cerrado frente a ciertas se˜ nales de referencia. Se denomina sistema en bucle cerrado al sistema din´ amico cuya entrada es la referencia y la salida es la salida de la planta a controlar. La figura 5.5 muestra el diagrama de bloques de un sistema en bucle cerrado de un sistema de control basada en un bucle de realimentaci´ on unitario. Se puede observar, como se coment´ o previamente, que el error y la acci´ on de control son se˜ nales internas del sistema en bucle cerrado. El comportamiento de un sistema en bucle cerrado se puede obtener a partir de la funci´ on de transferencia que relaciona la salida con la referencia Gbc(s) = Y (s)/R(s). Para obtener esta funci´ on de transferencia, se utilizan las propiedades de la transformada de Laplace, la definici´ on de funci´ o n de transferencia y las operaciones de diagramas de bloques estudiadas en el Tema 3. Para el bucle de realimentaci´ on simple

´ Y DE SEGUIMIENTO 5.3. OBJETIVOS DE CONTROL: PROBLEMA DE REGULACION

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(mostrado en la figura 5.5), se obtiene que Gbc (s) =

C(s)G(s) 1 + C(s)G(s)

donde C(s) y G(s) son las funciones de transferencia del controlador y del sistema respectivamente. El comportamiento din´ a mico del sistema de control depende no s´ olo de la din´ amica del sistema, sino de la realimentaci´ on y de la din´ amica del controlador. Los objetivos de control, es que el sistema en bucle cerrado tenga ciertas propiedades. A estas propiedades se le denominan especificaciones del sistema de control. Algunos ejemplos de especificaciones son la estabilidad, un porcentaje de sobreoscilaci´ on m´ axima frente a una entrada en escal´ on, un tiempo de establecimiento m´ınimo frente a una entrada en escal´on, un valor del error limitado en r´egimen permanente frente a una perturbaci´on mantenida, etc... En general, las especificaciones se definen a partir de una caracter´ıstica medible del sistema frente a una determinada referencia, normalmente una escal´ o n, una rampa o una senoide. De forma general, se...