GUÍA Matemáticas 10º- GEOMETRÍA ANALÍTICA + PROBABILIDAD PDF

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GEOMETRÍA ANALÍTICA + PROBABILIDAD - Teoría - Ejercicios...

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Área: MATEMÁTICAS Docente(s): GREGORIO DE JSÚS QUIROZ CÁRDENAS PEDRO JESÚS GÓMEZ MONGUA Correo(s): [email protected] [email protected] Periodo: IV Fecha: 28/09/20 a 04/12/20

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DULCE NOMBRE DE JESÚS

GUÍA DE TRABAJO #4 GRADO 10mo SEMANAS 1 a 9 Competencia: Tema

Argumentativa, Propositiva, Interpretativa, Razonamiento, matemática. GEOMETRÍA ANALÍTICA + PROBABILIDAD

Solución de problemas, Comunicación

1. MOTIVACIÓN O INTRODUCIÓ En la vida real las formas de las secciones cónicas están ocultas en la estructura de muchas cosas; en las estructuras de diseños arquitectónicos, fabricación de objetos pequeños, en el funcionamiento de instrumentos tecnológicos útiles en medicina, ingeniería, navegación y astronomía entre otros, en la descripción del movimiento de objetos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre otras. A continuación se relacionan algunos eventos que involucran el uso de las cónicas. La parábola. La trayectoria de un proyectil como un cohete, una pelota de baloncesto o el agua que brota de una fuente (descubierta por Galileo). En antenas receptoras de señales de radio y televisión. La elipse en formas de las cubiertas de mesas, formas de ventanas, formas de marcos para encuadrar retratos y fotografías, formas de las bases de envases. En la forma de las órbitas de los planetas que giran alrededor del sol (descubierto por Kepler). La hipérbola en la trayectoria de cometas como el cometa Halley. En el funcionamiento del sistema de navegación. Para el diseño de telescopio reflector. Al observar las aplicaciones se eligen tres eventos que son posibles de reproducir en el aula, teniendo en cuenta el contexto institucional y sociocultural de los estudiantes. Las sombras proyectadas por una lámpara sobre una pared (círculo, parábola, elipse e hipérbola) TEMA # 1 DE LA GUÍA 4. 2. DESARROLLO 2.1 CONCEPTUALIZACIÓN GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Analítica es la parte de la matemática que conecta el álgebra con la geometría. Con ella es posible resolver problemas geométricos en forma algebraica; además, esta se estudia trabaja en un sistema de coordenadas. La línea recta es un lugar geométrico formado por infinitos puntos del plano cartesiano que están en una misma dirección y sentido. De la línea recta podemos estudiar: Distancia entre dos puntos. Entre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) del plano, la distancia entre ellos se simboliza d(P, Q) y está determinada por la siguiente fórmula: d(P, Q) = x2  x1   y 2  y 1  . Esta se deduce del teorema de Pitágoras. 2

2

Así: d (P ,Q )  

 3 ( 5)2   2  32  3  5 2    5 2

 64  25  89 d (P ,Q )  89 El Punto Medio de un segmento o entre dos puntos se determina mediante la siguiente fórmula:   PM = ( x, y ) =  x1 x2 , y1 y 2  2 2  

Ejemplo: determinar las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son F(1, -3) y E(3, 5) De acuerdo con la fórmula, PM sería:  1 3 ,  3  5  2, 1     2   2 La Pendiente m de una recta que para por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se define como: m=

Ejemplo: Determinar la distancia entre los puntos P(1, 5) Q(-3, 2) d(PQ) = Ejemplo: Sean los puntos P(-5, 3) y Q(3, -2), determinar d(P,Q) En este caso podemos hacer las siguientes consideraciones:

y 2  y1 con x1  x 2 x 2  x1

l

Q P

R

x1 = -5

x2 = 3

y1 = 3

y2 = -2

De acuerdo con la gráfica, la recta l que pasa por los puntos P y Q genera con el punto R un triángulo rectángulo PRQ y el ángulo θ que es el mismo que forma la recta con el eje x. A este ángulo se le llama ángulo de inclinación de la recta l. Se tiene que: Tanθ =

y 2  y1 , por lo tanto se tiene que m = Tanθ x 2  x1

Ejemplo: determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P1 (2, -2) y P2(4, 5)

m

5  (2) 7  4 2 2

Como Tanθ = m, entonces Tanθ = 7/2, de aquí θ = 74° 3´ 16,57” (se hizo así: shift tan 7/2, luego igual, y por último tecla grados) ECUACIÓN DE LA RECTA La ecuación de la recta se determina a partir de la pendiente y de algunas condiciones como: - Ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y. La ecuación y = mx + b se denomina ecuación canónica o explícita de la recta. En ella m es la pendiente y b es el punto intercepto con el eje y. A este valor se le llama y_intercepto. Ejemplo: determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y el y_intercepto es -2. Reemplazando los valores m = 3 y b = -2 en la ecuación y = mx + b nos queda: y = 3.x + (-2) y = 3x – 2 - Ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente y un punto. Si una recta pasa por un punto P(x1, y1) y su pendiente m, entonces, la ecuación de la recta se determina de la siguiente manera: Primero se toma un punto cualquiera Q(x, y), por lo tanto se cumple que m=

y  y1 con x1  x de donde x  x1

m(x - x1) = y - y1 Así: y - y1 = m(x - x1) Ejemplo: determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto N(-2, 2) Reemplazamos los valore de m y N en la ecuación así: y – 2 = 3(x – (-2)), de donde y – 2 = 3x + 6 y = 3x + 8 - Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos. Ya que por dos puntos pasa una única recta, entonces es posible determinar la ecuación a partir de las coordenadas de los dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) que pasen por ella, así: a. Primero se halla la pendiente de la recta mediante la fórmula de m b. Luego, se reemplazan las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación y se despeja y. Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-2, 3) y Q(1, 4) Determinamos la pendiente según su fórmula y nos queda que m = 1 3

Ahora elegimos uno de sus puntos y lo reemplazamos en la ecuación punto-pendiente, es decir, y – y1 = m(x – x1), así: 1 2 y–3= 1x 2 y= x +3 y – 3 = 1 (x – (-2)) 3 3 3 3 3 y=

1 11 x 3 3

Posición relativa de dos rectas en el plano cartesiano. Dos rectas se pueden ubicar en el plano cartesiano de

Rectas coincidentes: dos rectas Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0 son coincidentes si sus coeficientes respectivos son proporcionales; es decir:

A B C  '  '  k , donde k es la constante de ' A B C

proporcionalidad. Ejemplo: las rectas cuyas ecuaciones generales son: 3x + 2y + 4 = 0 y 6x + 4y + 8 = 0 son coincidentes porque 3/6 = 2/4 = 4/8 Rectas paralelas: las rectas Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0 son paralelas si están en la misma dirección, no tienen puntos en común y sus pendientes son iguales. Ejemplo: y = 3x – 4 y y = 3x + 2 son paralelas porque m1 = 3 = m2, además, como los y_interceptos son diferentes, se garantiza que no son coincidentes. Rectas secantes: las rectas Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0 son secantes si se cortan en un solo punto, además, sus pendientes son distintas. Es posible determinar el ángulo que forman dos rectas secantes mediante la fórmula: Tanθ =

m1 m 2 donde θ es el ángulo entre las dos 1  m1.m 2

rectas y m1, m2, son las pendientes de las rectas 1 y 2 respectivamente. Ejemplo: sean las rectas representadas por las ecuaciones canónicas y = 2x + 3 y y = x – 2. Se tiene que m1 = 2 y m2 = 1. Aplicando la fórmula Tanθ =

m1 m 2 2 1 1 se obtiene: Tanθ =  , de 1  m1.m 2 1  2.1 3

donde θ = 18º 26’ 5.82” (se hizo así: shift tan 1/3, luego igual, y por último tecla grados) Rectas perpendiculares: las rectas Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0 son perpendiculares si al cortarse forman un ángulo de 90° Como Tan90° es indeterminado, se tiene que si Tan90° =

m 1 m 2 , entonces 1 + m1.m2 = 0, así, al 1  m 1.m 2

despejar m1.m2 = -1. Se concluye que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1. Ejemplo: determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -3) y es perpendicular a la recta x – 3y + 9 = 0 determino m1 de la ecuación dada anteriormente así: -3y = -x –

x x x → y  9    9  3

Por lo tanto m1 =

3

3

3

3

1 ; de aquí se deduce que m2, 3

pendiente de la perpendicular, es m2 = -3 Luego, con m2 y (1, -3) se tiene que y + 3 = -3(x – 1) → y + 3 = -3x + 3 → y + 3x + 3 – 3 = 0, por tanto, 3x + y = 0 Distancia entre un punto y una recta: sea el punto P(x0, y0) y la recta l: Ax + By + C = 0 en donde el punto P no pertenece a dicha recta, se determina la distancia entre el punto y la recta mediante la fórmula: d(P, l) =

Ax 0  By 0  C A2  B 2 Ejemplo: determinar la distancia entre el punto (2, 4) y la recta l: x – 5y + 10 = 0. Reemplazamos los valores de las coordenadas del punto y de los coeficientes de la recta en la fórmula y se calcula: así:

las siguientes formas:

1.2  5.4  10 d(P, l) =



12  ( 5) 2

2  20  10 1  25



8



26

8 8 26 4 26   26 13 26 Distancia entre dos rectas: para hallar la distancia entre dos rectas se deben tener en cuenta solo dos consideraciones: - Si las rectas son coincidentes, la distancia entre ellas será 0 porque todos sus puntos son iguales - Si las rectas son paralelas, se determina la distancia entre un punto que esté sobre una de las rectas hasta la otra recta. Ejemplo: Determinar la distancia entre las rectas 5x + 3y – 2 = 0 y 5x + 3y + 1 = 0 si el punto (1, -1) pertenece a la primera recta. En este caso solo basta con hallar la distancia entre el punto (1, -1) y la segunda recta según la fórmula anterior, esto porque las rectas son paralelas y la distancia que separa una de otra es siempre la misma. Así:

5.1 3( 1)  1 5 3 2



5  3 1

2

25  9



3 34



3 34 34

Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo, pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4} {6}. De ahí las diferencias entre unos y otros. ACTIVIDADES A DESARROLLAR 1. Determina la distancia entre cada par de puntos dados:  a. D(-1, 5) G(3, 2), determinar d(D,G) b. A(5, 3) y Q(3, 2), determinar d(A,Q)

El dueño de la estación eléctrica necesita cambiar el cableado entre los puntos A y B, entre C y D, Entre D y E, si se sabe que el metro de cable es a $2000 cuánto le costaría cambiar el cableado sin tener en cuenta la mano de obra, Considera que en la gráfica las coordenadas de cada punto son A(4, 21); B(8,21,); C(11,20); D(15,8); E(10,4) Solución: Primero se halla la distancia entre cada par de punto con la fórmula de la distancia. ( ) √( ) ( ) √ √ 4 metros ( ) √( ) ( ) √ ( ) √ Como son tres cabes de C a D necesita 3x 12,6=37,8m ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) 6,4metros √ Como son tres cables de C a D y de D a E, se necesita 3 x 12,6m y 3 x 6,4m = 19,2metros. En total requiere 4m + 37,8m + 19,2m = 61m El costo será C=61 X 2000 = 122000

 Actividad:

y pasa por el punto M(-3, 3)

Si las coordenadas fuesen A(4, 40); B(12,40); C(15,24); D(22,8); E(18,4), y se sabe que la mano de obra es 200pesos por metro, cuál será el costo de cambiar el cableado. 3. ACTIVIDAD EVALUATIVA Desarrollar las actividades asignadas y presentar los incisos señalados con asterisco ( ) como un trabajo escrito, en imágenes, PDF o en Word, si te es posible, y enviarlo por medio del correo electrónico que te doy al final, o por medio de WhatsApp. Las fechas de entrega serán entre el 12 y 18 de octubre. NOTA: le no entrega de las actividades dentro de la fecha establecida, tiene como consecuencia disminución en la nota global del trabajo.

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-1, 3) y Q(2, 4)

TEMA # 2 DE LA GUÍA 4. 2. DESARROLLO

 2. Halla las coordenadas del punto medio (PM) entre los puntos O(4, -4) y C(3, 8)

 3. Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(3, -4) y J(1, 8)

 4. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2 y el y_intercepto es -3.

 5. Encuentra la ecuación de la recta cuya pendiente es 3

 7. Clasifica las siguientes pares de rectas en coincidentes, paralelas o perpendiculares, según sea el caso: a. y = 2x – 3 y y = 3 + 2x b. 2x + 3y + 8 = 0 y 4x + 6y + 4 = 0

x 3 3 2.3 ACTIVIDAD ASOCIADA A UN PROYECTO TRANSVERSAL Lee la siguiente información gráfica, luego la forma de resolver el problema planteado, y por último realiza la actividad asignada. c. x – 3y + 9 = 0 y

y

CONCEPTUALIZACIÓN SECCIONES CÓNICAS. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO La ecuación general de segundo grado es de la forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 donde A, B, C, D, E y F  IR y A, B y C ≠s 0 A cada ecuación de las cónicas le corresponde una ecuación de segundo grado en su estudio geométrico y analítico. LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

Circunferencia con centro en (0, 0)

Circunferencia con centro en (h, k)

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA. Para determinar la ecuación de la circunferencia se utiliza la distancia entre dos puntos. Se toma un punto de la circunferencia (x, y) y el centro de la circunferencia C(h, k) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0; Coordenadas del centro: h   D y k   E 2 2 r2 = h2 + k2.F Se tiene que:

 x  h2   y  k  2

r

Elevando al cuadrado obtenemos: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Si el centro de la circunferencia es el origen del plano (0, 0), entonces la ecuación de la circunferencia queda de la siguiente manera: x2 + y2 = r2 Ejemplos: Determinar la ecuación de la circunferencia en cada caso: a. Con centro en C(0, 0) y r = 4 Como es de centro en el origen del plano es dela forma x2 + y2 = r2, si reemplazamos el valor del radio nos queda: x2 + y2 = 42, resolvemos el cuadrado de4 y finalmente nos queda x2 + y2 = 16 b. Con centro en C(-3, 2) y r = 3 Como su centro está fuera del origen del plano cartesiano, es de centro en (h, k) Aquí h = -3 y k = 2, entonces usamos la fórmula (x – h)2 + (y – k)2 = r2, reemplazamos los valores dados en la situación, y nos queda así: (x – (-3))2 + (y – 2)2 = 32, resolviendo nos queda: (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9; si lo prefieres esta puede ser una representación de dicha circunferencia, sino, la puedes expresar en su forma general resolviendo los binomios cuadrados e igualando a 0, así: x2 + 2.3x + 9 + y2 – 2.2y + 4 = 9 x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 9 = 0 x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 LA PARÁBOLA Una Parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz(M) y un punto exterior a ella llamado foco(F).

La siguiente tabla muestra las ecuaciones y propiedades de las parábolas con vértice en el origen del plano cartesiano V(0, 0) Parábola con eje vertical Parábola con eje horizontal Abertura hacia arriba Abertura a derecha Ecuación: x2 = 4py Ecuación: y2 = 4px Propiedades: Propiedades: Vértice V(0,0) Vértice V(0,0) Foco: F(p, 0) Foco: F(0, p) Directriz: x = -p Directriz: y = -p Parábola con eje vertical Parábola con eje horizontal Abertura hacia abajo Abertura a izquierda Ecuación: x2 = -4py Ecuación: y2 = -4px Propiedades: Propiedades: Vértice V(0,0) Vértice V(0,0) Foco: F(-p, 0) Foco: F(0, -p) Directriz: x = p Directriz: y = p PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN V(h, k) Ecuación general: 2 2 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 (con B = 0) Para parábolas con eje vertical y abertura hacia arriba: Ec. General: Ax2 + Dx + Ey + F = 0 (C = 0 y A ≠ 0) Ec. Canónica: (x – h)2 = 4p(y – k) Vértices en: (h, k) Foco en: (h, k + p) Ecuación directriz: y = k – p Ecuación del eje focal: x = h Para parábolas con eje vertical y abertura hacia abajo: Ec. General: Ax2 + Dx + Ey + F = 0 (C = 0 y A ≠ 0) Ec. Canónica: (x – h)2 = -4p(y – k) Vértices en: (h, k) Foco en: (h, k – p) Ecuación directriz: y = k + p Ecuación del eje focal: x = h Para parábolas con eje horizontal y abertura hacia la derecha: Ec. General: Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A = 0 y C ≠ 0) Ec. Canónica: (y – k)2 = 4p(x – h) Vértices en: (h, k) Foco en: (h + p, k) Ecuación directriz: x = h – p Ecuación del eje focal: y = k Para parábolas con eje horizontal y abertura hacia la derecha: Ec. General: Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A = 0 y C ≠ 0) Ec. Canónica: (y – k)2 = -4p(x – h) Vértices en: (h, k) Foco en: (h – p, k) Ecuación directriz: x = h + p Ecuación del eje focal: y = k Ejemplos: Hallar las ecuaciones de las parábolas que verifican: a) Su directriz es y = - 6 y su foco (0, 6).

b) su vértice (2, 0) y su foco (6, 0). Solución a. Como el foco y la directriz están a la misma distancia del origen se puede utilizar la ecuación reducida que, al ser la directriz horizontal, es de la forma:

x2 = 2py con p = 2·6 = 12. Por tanto, su ecuación es: x2 = 24y. b) Como el vértice no coincide con el origen de coordenadas se utiliza una de las fórmulas adecuadas para el caso, cuando vértice es en (h, k) Para calcular la directriz hay que tener en cuenta que la distancia de vértice, V = (2, 0), al foco, F = (6, 0), es de 4 unidades (lo puedes verificar restando las componentes de vértice y foco que son distintas de 0, de mayor a menor para que dé positivo 6 – 2). También se debe tener en cuenta que la componente que varía es x, en los puntos V y F, eso quiere decir que la parábola tiene Directriz vertical, y como el foco está a la derecha del vértice, la parábola abre hacia la derecha. Así se puede decir que la fórmula adecuada es: (y – k)2 = 4p(x – h) Donde h = 2 y k = 0 La constante p, es la distancia que hay entre vértice y foco, o vértice y directriz, así, p = 4 Ahora reemplazamos los valores en la ecuación así: (y – 0)2 = 4.4(x – 2) Resolviendo tenemos: y2 = 16(x – 2) y2 = 16x – 32 De donde se concluye que y2 – 16x + 32 = 0, es la ecuación general de dicha parábola. Como la distancia de vértice a la directriz es la misma que la del vértice al foco, se concluye que la directriz es la recta x = -2; es decir, pasa por el punto (-2, 0) La Elipse La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elipses con centro en el origen (0, 0); horizontal y vertical

Elementos de la elipse: Focos: F1 y F2 Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos Centro C punto medio del segmento que une los focos Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal y que pasa por el centro. Vértices: V1 y V2 donde la elipse corta el eje focal Eje mayor es el segmento que une los dos vértices = 2a Eje menor es el segmento que une los puntos de intersección de la elipse con el eje normal = 2b

Ecuaciones de la elipse con centro en el origen: 2

2

x2 y 2  1 b2 a 2

Ecuación: x 2  y2  1

Ecuación:

a>b>0 a2 = b2 + c2 V1 (-a, 0) V2 (a, 0) Eje mayor horizontal = 2a Eje menor vertical = 2b F1 (-c, 0) F2 (c, 0) c2 = a2 – b2

a>b>0 a2 = b2 + c2 V1 (0, -a) V2 (0, a) Eje mayor vertical = 2a Eje menor horizontal = 2b F1 (0, -c) F2 (0, c) c2 = a2 – b2

a

b

Ecuaciones de la elipse con centro en C(h, k)

( x  h) 2 ( y  k) 2  1 a2 b2 a>b>0 a2 = b2 + c2 V1 (h – a, k) V2 (h + a, k) Vértices sobre el eje menor B1 (...