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Chapitre VI LES COURANTS ALTERNATIFS Après avoir traité dans le chapitre III les circuits en régime continu, nous abordons maintenant, l’étude des circuits alimentés par des tensions alternatives sinusoïdales. 1. LES COURANTS ALTERNATIFS. 1.1 Définitions. Un courant est alternatif s’il change de sen...

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LES COURANTS ALTERNATIFS John harry Ilunga

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Daniel Gaude Elect rot echnique t ome 1 Physiquez lib org20190618 126383 1efc1hz youssef ysf elect ro1 env Pat rick Masso Polog

Chapitre VI

LES COURANTS ALTERNATIFS Après avoir traité dans le chapitre III les circuits en régime continu, nous abordons maintenant, l’étude des circuits alimentés par des tensions alternatives sinusoïdales.

1. LES COURANTS ALTERNATIFS. 1.1 Définitions.

Un courant est alternatif s’il change de sens au cours du temps t ; en outre, il est périodique si son intensité i reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux à T. On a alors :

i

i  f ( t )  f ( t  nT )

T

n est un nombre entier. T est la période et son inverse fréquence :

t

f 

(1) f

est la

1 T

(2)

La période est mesurée en secondes et la fréquence en hertz (Hz).

Figur e VI . 1

1.2. Les courants sinusoïdaux. Un courant alternatif est sinusoïdal, lorsque son intensité est une fonction sinusoïdale du temps : i(t ) i  I M sin ( t   ) ou 1 i  I M cos ( t   ) IM

i

est la valeur instantanée du courant, I M sa valeur maximale ou amplitude,

 la pulsation ou fréquence angulaire et  la phase :

  2 f  1

2 T

t O

T/ 2 T

(3) Figur e VI . 2

Un changement de l’origine des phases de/2 donne l’une ou l’autre des deux expressions.

L. Aït Gougam, M. Bendaoud, N. Doulache, F. Mékidèche

Licence de Physique S2: Electricité

Ch VI : Le courant alternatif

I nt ensit é ef f icace. La valeur efficace d’un courant alternatif est définie comme la racine carrée de la moyenne du carré de l’intensité calculée sur une période. Elle s’écrit :

I



i

T

1 T

2

dt

(4)

0

Dans le cas d’un courant alternatif sinusoïdal, on obtient:

I



IM 2

La valeur instantanée d’un tel courant s’écrit alors :

i I

2 sin ( t   )

(5)

Le courant efficace I équivaut à un courant continu qui dissiperait la même puissance dans une même résistance. (Exercice VI.6)

1.3 Production des courants sinusoïdaux. Selon l’application à laquelle ils sont destinés, les courants sinusoïdaux peuvent être produits de plusieurs manières2. Lorsque la puissance consommée par la charge est importante, on utilise des générateurs dont le principe, décrit ci-dessous, fait appel aux lois de l’induction électromagnétique. Le principe de production de tensions sinusoïdales monophasées a été étudié au chapitre V, § 4.1. Soit une bobine à N spires tournant, autour de l’axe z’z à la vitesse angulaire constante , dans un champ magnétique

z





uniforme B perpendiculaire à z’z . u e(t(t) )

B

Nous avons trouvé que la f.é.m. induite dans la bobine est :

n

e



z’

Figur e VI . 3

d   M sin (  t )  EM sin ( t ) dt

Il en résulte, aux bornes de la bobine une différence de potentiel, ou tension sinusoïdale u (t ) de pulsation  .

On obtient le même résultat si le cadre est fixe et si le champ tourne à la vitesse angulaire  . C’est le principe de l’alternateur monophasé. 2

En électronique, les courants sinusoïdaux sont produits par des circuits oscillants électroniques (générateurs de fonctions). Les puissances, mises en jeu dans ce cas, sont faibles.

136

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Ch VI : Le courant alternatif

On choisit une origine des phases qui permet d’écrire :

u (t )  U M cos ( t )

u (t )  U 2 cos ( t ) ou U est la valeur efficace de la tension u (t ). Lorsque le générateur est relié à une charge, il débite en régime permanent, un courant sinusoïdal de même pulsation  et déphasé d’un angle par rapport à u(t) .

2. LOIS D’OHM EN COURANT ALTERNATIF SINUSOÏDAL. Les lois d’Ohm s’appliquent au courant alternatif sinusoïdal. Elles s’expriment, à chaque instant3, dans le cas d’éléments simples, comme suit :

C

L

R

A

B

B

A

u A  uB  R i

u A  uB  L

di dt

B

A u A  uB 

q 1   i dt C C

La mise en série des trois éléments R, L et C est représentée par le circuit de la figure ci-dessous :

A

R

L

C

B Figur e VI . 4

On applique, aux bornes de A et B du circuit une tension : u (t )  U M cos ( t ) , on a :

u( t )  R i  L

di 1   i dt dt C

(6)

C’est l’équation de l’oscillateur électrique amorti en régime forcé sinusoïdal4. La solution générale de cette équation est la somme de la solution de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre. La première n’intervient que durant le régime transitoire, la seconde :

i (t )  I M cos   t   

(7)

constitue la solution du régime permanent.  est le déphasage du courant par rapport à la tension. Il s’agit à présent de déterminer la valeur maximale I M (ou la valeur efficace I ) du

courant et son déphasage  à partir de la tension :

u (t )  U M cos ( t )

(8)

3

En régime quasi stationnaire, le courant a la même valeur, à chaque instant, le long de tout le circuit (Voir Ch. V. Note 2) 4 Le régime sinusoïdal forcé sera traité en S3

137

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Ch VI : Le courant alternatif

Nous allons pour cela, utiliser deux méthodes - une méthode symbolique : la '' notation complexe '' - une méthode vectorielle : la '' représentation de Fresnel ''

2.1. La notation complexe. Un récepteur, soumis à une tension alternative sinusoïdale de la forme

Récepteur

u( t )  U M cos   t 

est parcouru par un courant i (t) déphasé de  par rapport à la tension :

i( t )  I M cos  t   

Figur e VI . 5 . i(t) et u(t) étant des grandeurs sinusoïdales, elles peuvent être considérées comme les parties réelles des fonctions complexes suivantes :

u  t   U M exp ( j  t )

u  t   U M exp ( j  t )

ou avec,

UM

et

i  t   I M exp  j (  t   ) i  t   I M exp ( j  t )

et

(9)

j2 = -1 et I M sont respectivement les amplitudes complexes de la tension et du

I M  I M exp ( j  )

U M  U M exp ( j0 )

courant :

En considérant les valeurs efficaces, on obtient :

U  U exp ( j 0 ) et I  I exp ( j  ) Ces expressions contiennent les valeurs efficaces U et I de u(t) et i(t) déphasages 0 et par rapport à une origine des phases. Considérons le circuit R, L, C de la figure 4 ; il est régi par l’équation (6) :

u( t )  R i  L

(10) et leurs

di 1  i dt dt C 

En remplaçant u(t) et i(t) par leurs expressions données en (9), il vient :

U

j   2 exp  j t   R  j L  I 2 exp  j  t  exp   j   C   

Soit en introduisant les valeurs complexes de la tension et du courant :



 

U   R  j  L 



1   I C  

(11)

La notation complexe a permis de transformer une équation intégro-différentielle (6) en une équation algébrique linéaire (11).

138

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Ch VI : Le courant alternatif

I mpédance complexe. L’équation (11) peut être présentée sous la forme :

 Z .I

U

(12)

Z est, par définition, l’impédance complexe du circuit électrique. L’équation (12) est l’expression de la loi d’Ohm en notation complexe. A partir de (10) et (12), on a :

Z 

U exp   j    Z exp   j   I

Le module de l’impédance complexe

 Z

(13)

Z  R  jX

(14)

Z

est l’impédance du circuit considéré et  le déphasage, entre le courant et la tension, introduit par l’impédance Z. L’impédance complexe d’un circuit électrique s’écrit, sous forme cartésienne:

où R est sa résistance et X sa réactance, ou bien sous forme polaire:

Z  Z exp  j   .

Avec la loi d’Ohm donnée en (12), et à partir des résultats précédents, on a :

U exp( j 0 )  Z exp  j   I exp ( j  )    

D’où l’expression, sous forme polaire, de l’impédance complexe Z :

avec Z 

R2  X

Z  Z exp   j  

2

(15)

X    arc tg   R

et

L’inverse de l’impédance est appelé admittance et est noté Y .

Applicat ion à des cas simples

 Z  R exp   j 0 

Résistance :

Z R

Self pure :

Z  jL 

1 1    Z exp   j  C C 2 

Condensateur pur :

Z  j

  Z  L exp   j  2 

  

Z = R

et  = 0

Z  L  et    Z

 2

 1 et   2 C

(16)

(17)

(18)

N.B : Ces valeurs de portées dans les expressions (10), montrent que le courant est : - en phase avec la tension dans le cas d’une résistance R, - en retard de/2 sur la tension dans le cas d’une self - et en avance de /2 dans le cas d’une capacité.

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Ch VI : Le courant alternatif

2.2. La représentation de Fresnel. Pr incipe de la mét hode de Fr esnel. La méthode de Fresnel permet d’effectuer la somme de deux ou plusieurs grandeurs sinusoïdales de même pulsation Son principe est le suivant :



Considérons un vecteur OM , de module A, qui tourne autour d’un point fixe O à la vitesse constante  . A l’instant t = 0, il fait

y

un angle  avec l’axe Ox (figure VI .6.a).





M

A l’instant t, il fait un angle (t +  ) avec l’axe

  Ox . La projection OA de ce vecteur sur Ox

t + 

x  A cos  t     Ainsi, lorsque le vecteur OM tourne autour

x

A

O

est :

Origine des phases

de O, sa projection x sur l’axe effectue un mouvement vibratoire sinusoïdal d’élongation

x  A cos  t   

Figur e VI . 6 .a Composit ion de deux vibr at ions sinusoïdales. M M2

y

Considérons deux vibratoires parallèles fréquence angulaire  :

 x1  A1 cos  t  1    x2  A2 cos   t  2 

t + 

t + 

mouvements de même

M1 O

x

t + 

A1 A2

A

A un instant t, ces vibrations peuvent être représentées respectivement, par





les vecteurs OA1 et OA 2 . Ces derniers



représentent les projections sur ox





des vecteurs OM 1 et OM 2 tournant à la même vitesse .

Figur e VI . 6.b

On sait que la projection sur un axe de la somme de plusieurs vecteurs a comme valeur, la somme algébrique des projections de ces vecteurs sur cet axe, soit :

x = x1 + x2

(19)

où , x est la projection du vecteur :

140

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Ch VI : Le courant alternatif

   OM  OM 1  OM 2

(20)

OM est la diagonale du parallélogramme OM1MM2. Ce dernier tourne à la vitesse  sans se déformer. La figure VI.6.b montre une représentation de ces vecteurs à un instant t. Ainsi, la construction de Fresnel permet de remplacer le calcul de la somme de plusieurs fonctions trigonométriques (équation 19) de même pulsation  par une construction géométrique (équation 20) plus simple.

Règle de Fr esnel. Le vecteur de Fresnel associé à la somme de plusieurs vibrations, s’obtient en faisant la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel associés à chacune des vibrations.

  x2  4 sin   t   2 

Exer cice VI . 1. : Effectuer par la méthode de Fresnel, la somme des grandeurs sinusoïdales :

x1  3sin  t

Solut ion VI .1.









x1  V1 : V1  3 cm,

x2  V2 : V2  4 cm,





x V : V

D’où ,





 



 V2 4cm 

1  Ox,V1  0





    2  Ox,V2  2

x 2 2 x1  x2  5cm , tg    2  1.33    53 (0.3 ) x1

x  x1  x2  5 sin  t  0.3  



 V  V1  3cm 

x

t   0,15  T 

x  5sin 2 

I mpédance et déphasage. Dans la construction de Fresnel, le choix de l’origine des phases est arbitraire. De ce fait, on choisit la phase de l’intensité du courant comme origine et on écrit:

i (t )  I M cos   t 

(21)

La d.d.p aux bornes d’un circuit parcouru par un tel courant devient alors :

u(t )  U M cos  t   

(22)

 représente le déphasage entre l’intensité du courant et la tension ; il peut être positif ou négatif. Cir cuit f or mé d’une r ésist ance pur e La résistance R du circuit, de la figure VI.7.a, est traversée par un courant sinusoïdal d’intensité

i (t )  I M cos   t 

141

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Ch VI : Le courant alternatif

La d.d.p à ses bornes s’écrit d’après la loi d’Ohm : u ( t )  R i ( t )

U M cos ( t   )  R . I M cos (  t )

Soit :

En identifiant les deux membres de cette équation (21), on obtient :

U M  R I M et  = 0

(23)

L’impédance du circuit étudié est égale à sa résistance R. R

UM

O

x

IM

(a)

(b)

Figur es VI . 7 Dans la représentation de Fresnel, le courant et la tension sont en phase

Cir cuit f or mé d’une self pur e. La bobine de self inductance L du circuit représenté sur la figure VI.8.a, est parcourue par un courant i ( t )  I M cos   t  : il en résulte une d.d.p aux bornes de la self : D’où, soit :

u (t ) L

di dt

  U M cos   t      L . I M sin (  t )  L . I M cos   t   2   U M  L  I M et  = + 2

(24)

UM

L

O (a)

 2 x

IM (b)

Figur es VI . 8 En considérant les valeurs efficaces, on obtient :

U  L I = Z I

soit

Z  L

(25)

Z est l’impédance de la self. Dans la représentation de Fresnel (figure.VI.8.b), le courant dans la self est en retard de  / 2 par rapport à la d.d.p à ses bornes ; (ou la d.d.p aux bornes de la self est en avance de  / 2 sur le courant qui la parcourt).

Cir cuit f or mé d’un condensat eur pur . Le circuit, de la figure VI.9.a, est parcouru par un courant sinusoïdal d’intensité

142

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Ch VI : Le courant alternatif

i (t )  I M cos   t 

La

d.d.p aux bornes du condensateur de capacité C est donnée par la loi d’Ohm :

D’où :

u (t ) 

1  i dt C I I   U M cos ( t   )  M sin (  t )  M cos   t   C C 2 

A partir de l’équation (26), on obtient :

UM 

C

1 IM C

et

 =-

(26)



(27)

2

O

IM

x

(b) (a)

UM Figur es VI . 9

En considérant les valeurs efficaces, on a :

U 

1 I= Z I C

soit

Z 

1 C

(28)

Z représente l’impédance du condensateur de capacité C.

Dans le diagramme de Fresnel (FigureVI.9.b), la d.d.p aux bornes du condensateur est en retard de  / 2 sur le courant. Ou inversement, le courant présente une avance de  / 2 sur la d.d.p.

N.B : Les signes des déphasages des expressions (24) et (27) ont changé par rapport à ceux des  des expressions (17) et (18), l’origine des phases n’étant plus la même. Cependant quelque soit le choix de cette origine, le courant est toujours: - en phase avec la tension dans le cas d’une résistance R, - en retard de/2 sur la tension dans le cas d’une self - et en avance de /2 dans le cas d’une capacité. Et ude du cir cuit R, L, C sér ie. Un courant d’intensité i ( t )  I M cos (  t ) circule dans le circuit de la figure VI.10.a. La d.d.p aux bornes du circuit est donnée par la loi d’Ohm :

u( t )  R i L Sachant que :

di 1  dt C

 i dt

avec i (t )  I M cos  t 

uM  uP  R i  RI M cos   t 

143

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Ch VI : Le courant alternatif

di   L I M cos ( t  ) dt 2 1 IM  i dt  cos ( t  )  C C 2

uP  uQ  L

uQ  u N



Q

IM C M

R

L

P

Q

C

N

N

L IM M

R IM

(a)

P

IM

x

(b) Figur es VI . 10

 I  u (t )  U M cos   t   RI M cos  t   L I M cos ( t  )  M cos ( t  ) 2 C 2

L’expression de u(t) devient :

(29)

En utilisant les résultats trouvés ci-dessus, on trace le diagramme de Fresnel (Figure VI.10.b) correspondant à l’équation (29).



La d.d.p u(t) aux bornes du circuit est représentée par le vecteur MN . Son module, qui représente la valeur maximale UM de cette d.d.p, et le déphasage  peuvent être calculés à partir du triangle MPN rectangle en P .

UM 

1   R 2   L  C  

Si on pose

2

1 1   L   R C 

I M et

tg  

UM

 Z IM

(30)

L’impédance du circuit s’écrit alors :

Z Remar ques :

1   R 2   L  C  

2

(31)

1°) Dans la méthode de Fresnel, les valeurs efficaces des grandeurs

sinusoïdales, tension u (t), cou...