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Valoración de Operaciones Financieras Curso 2020-21 / 2º semestre

Soluciones orientativas Prueba de evaluación continuada 3. Préstamos I 1. Una empresa ha solicitado a su banco un préstamo de 1.000.000€ de nominal para la compra de nueva maquinaria, que tendrá que devolver dentro de 15 años mediante un único pago de capital e intereses al final de la operación. El tipo de interés aplicado es el 3,6% anual capitalizable mensualmente y la empresa debe pagar una comisión de apertura del 0,5% sobre el nominal. Se pide: a) Importe que cancela el préstamo al final de la operación. (0,75 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de la operación es el siguiente: C=1.000.000

0

15 años C’

Variables conocidas: Las variables que conocemos y sus valores son los siguientes: • • • •

Nominal del préstamo: C = 1.000.000€. Plazo de la operación: t = 15 años. Frecuencia del tipo de interés: m = 12. 0,036 𝑖 = = 0,003. Tipo de interés anual capitalizable mensualmente: 𝑖12 = 3,6% → 𝐼12 = 12 12 12

Variable desconocida y ecuación a aplicar: La variable que desconocemos es la cuantía que cancela el préstamo al final de la operación, a los 15 años, C' , y para obtenerla basta aplicar la ecuación característica del régimen financiero de interés compuesto a tanto constante: 𝐶′ = 𝐶 ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑛 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑚⋅𝑡 . Resolución: Para hallar la cuantía que cancela el préstamo basta sustituir en la fórmula anterior cada variable por su valor: 𝐶 ′ = 1.000.000 · (1 + 0,003)15·12 = 1.714.620,23€. Respuesta:

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PEC3. PRÉSTAMOS I

El importe que cancela el préstamo al final de la operación es 1.714.620,23€. b) TAE del préstamo. (0,75 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de la operación es el siguiente: C=1.000.000

0

15 años

G0,1=5.000

C’=1.714.620,23

Variables conocidas: Las variables que conocemos y sus valores son los siguientes: • • •

Comisión de apertura: G0,1 = 0,5%·1.000.000 = 5.000€. Prestación: (1.000.000; 0). Contraprestaciones: {(5.000, 0), (1.714.620,23,15)}.

Variable desconocida y ecuación a aplicar: La variable que desconocemos es la TAE de la operación, que es el tanto efectivo anual de interés compuesto que hace equivalentes la prestación y las contraprestaciones considerando los gastos a cargo del prestatario. Si valoramos los dos conjuntos de capitales al inicio de la operación, utilizando el tanto efectivo anual I'1 , se obtiene la ecuación que nos permitirá calcular la TAE del préstamo: 𝐶 = 𝐺0,1 + 𝐶′ ⋅ (1 + 𝐼 ′1 )−𝑡 . Resolución: Para obtener la TAE del préstamo basta sustituir en la ecuación anterior cada variable por su valor: 1.000.000 = 5.000 + 1.714.620,23 · (1 + 𝐼′1 )−15 → 𝐼′1 = 0,036946 = 3,6946%. El valor de I'1 puede obtenerse en excel con la función buscar objetivo. Respuesta: La TAE del préstamo es 3,6946%. 2. Hace 5 años concedieron a una empresa un préstamo de 2.000.000€ de nominal, que se amortizará mediante un único pago a los 10 años de su concesión y con pago semestral de intereses. El tipo de interés aplicado es el 6% anual capitalizable semestralmente. Se pide: a) Importe de las cuotas de interés que la empresa paga semestralmente. (0,75 puntos)

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PEC3. PRÉSTAMOS I

SOLUCIÓN El esquema temporal de la operación es el siguiente: C=2.000.000

0

1

2

…

Y

Y

…

19 Y

20 semestres Y+C

Variables conocidas: Las variables que conocemos y sus valores son los siguientes: • • • • •

Nominal del préstamo: C = 2.000.000€. Plazo de la operación: t = 10 años. Frecuencia de pago de las cuotas de interés: m = 2 (semestral). Número de periodos semestrales del préstamo: n = 10·2 = 20 semestres. 0,06 𝑖 = 0,03 . Tipo de interés anual capitalizable semestralmente: 𝑖2 = 6% → 𝐼2 = 22 = 2

Variable desconocida y ecuación a aplicar: La variable que desconocemos es el importe de la cuota de interés semestral, Y. Como en esta modalidad de préstamo las cuotas de interés se pagan periódicamente pero no se amortiza el nominal hasta al final de la operación, el importe de las cuotas de interés es constante y se calcula en cada periodo sobre el nominal del préstamo. El tanto efectivo, Im, utilizado para calcularlas debe tener la misma frecuencia de capitalización que la del pago de las cuotas de interés: 𝑌 = 𝐶 ⋅ 𝐼𝑚 . Resolución: Para hallar el importe de la cuota de interés semestral basta sustituir en la fórmula anterior cada variable por su valor: 𝑌 = 𝐶 · 𝐼2 = 2.000.000 · 0,03 = 60.000€. Respuesta: La empresa paga semestralmente una cuota de interés de 60.000€. b) Importe de las nuevas cuotas de intereses semestrales si hoy, después del pago de la cuota de intereses correspondiente, la empresa realiza una amortización parcial de capital de 700.000€. (0,75 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de la operación es el siguiente:

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PEC3. PRÉSTAMOS I

C=2.000.000

0

1 Y

Hoy

…

10 Y

11 Y’

…

19 …

Y’

20 semestres Y’+ Dr N

C*=700.000

Variables conocidas: Las variables que conocemos y sus valores son los siguientes: • • • • •

Nominal del préstamo: C = 2.000.000€. Plazo de la operación: t = 10 años. Frecuencia de pago de las cuotas de interés: m = 2 (semestral). Número de periodos semestrales del préstamo: n = 10·2 = 20 semestres. 0,06 𝑖 = 0,03 . Tipo de interés anual capitalizable semestralmente: 𝑖2 = 6% → 𝐼2 = 22 =

• •

Momento del análisis: r = 10 semestres. Amortización de capital efectuada hoy, transcurridos 10 semestres de la concesión del préstamo: C*=700.000€.

2

Variable desconocida y ecuación a aplicar: La variable que desconocemos es el importe de las nuevas cuotas de interés una vez realizada hoy la amortización parcial de capital, YN. Si a los 5 años de la concesión del préstamo, después de haber pagado la cuota de interés correspondiente, se realiza una amortización parcial de capital de 700.000€, la deuda pendiente disminuirá. La deuda pendiente antes de realizar la amortización parcial de capital coincide con el nominal del préstamo, ya que se trata de un préstamo de amortización única de capital al final de la operación. La nueva deuda pendiente, una vez realizada la amortización de capital será: 𝐷𝑟𝑁 = 𝐶 − 𝐶 ∗. de manera que las nuevas cuotas de interés seguirán siendo constantes, pero se calcularán sobre la nueva deuda pendiente, 𝐷𝑟𝑁 : 𝑌 𝑁 = 𝐷𝑁 𝑟 ⋅ 𝐼𝑚 . Resolución: Para hallar el importe de las nuevas cuotas de interés semestrales, deberemos calcular en primer lugar la nueva deuda pendiente al final del semestre r=10, una vez realizada la amortización de capital de 700.000€: 𝑁 = 2.000.000 − 700.000 = 1.300.000€ . 𝐷10

siendo el importe de las nuevas cuotas de interés:

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PEC3. PRÉSTAMOS I

𝑁 · 𝐼 = 1.300.000 · 0,03 = 39.000€ . 𝑌 𝑁 = 𝐷10 2

Respuesta:

Las nuevas cuotas de intereses semestrales son de 39.000€. c) Importe que cancelaria el préstamo de manera anticipada 4 meses después de haber realizado la amortización parcial de capital de 700.000€. (0,75 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de la operación es el siguiente: C=2.000.000

0

1

Hoy R10+4/6

…

Y

9

10 10+4/6 11

Y

Y

Y’

… …

19

20 semestres

Y’

Y’+ D10N

C*=700.000

Variables conocidas: Las variables que conocemos y sus valores son los siguientes: • • • • •

Nominal del préstamo: C = 2.000.000€. Plazo de la operación: t = 10 años. Frecuencia de pago de las cuotas de interés: m = 2 (semestral). Número de periodos semestrales del préstamo: n = 10·2 = 20 semestres. 0,06 𝑖 = 0,03. Tipo de interés anual capitalizable semestralmente: 𝑖2 = 6% → 𝐼2 = 22 =

•

Amortización de capital efectuada hoy, transcurridos 10 semestres de la concesión del préstamo: C*=700.000€. Nueva deuda pendiente al final del décimo semestre: 𝐷10𝑁 = 1.300.000€ . 4 Momento del análisis en semestres: 𝜏 = 10 + (4 meses después de haber realizado la 6 amortización parcial de capital han transcurrido 5 años y 4 meses desde el origen de la operación, esto es, 10 semestres y 4 meses).

2

• •

Variable desconocida y ecuación a aplicar: La variable que desconocemos es el importe que cancela el préstamo de manera anticipada a los 4 10 + semestres de haberse iniciado la operación, R10+4/6. 6

4

La reserva matemática a los 𝜏 = 10 + semestres de la concesión del préstamo, R10+4/6, nos permite 6 calcular el importe que cancela el préstamo anticipadamente en ese instante. Si la reserva se calcula en un instante intermedio entre dos pagos de cuotas de interés, r    r + 1 , la reserva incluye el nominal más los intereses generados sobre el nominal desde el último pago de intereses, pero en nuestro caso, a los 10 semestres de haberse iniciado la operación, se ha realizado una amortización parcial de capital, de modo que la reserva en , R  , se tendrá que calcular sobre la nueva deuda pendiente en r, 𝐷𝑟𝑁 :

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PEC3. PRÉSTAMOS I

𝑅𝜏 = 𝐷r𝑁 · (1 + 𝐼𝑚 )𝜏−𝑟

𝑟 < 𝜏< 𝑟+1

Resolución: 4

Para obtener la reserva matemática a 10 + 6 semestres de la concesión del préstamo basta con sustituir en la expresión anterior cada variable por su valor: 4

4

𝑁 · (1 + 𝐼 )10+6−10 = 1.300.000 · (1 + 0,03) 6 𝑅10+4/6 = 𝐷10 = 1.325.871,70€. 2

Respuesta: El importe que cancelaria el préstamo de manera anticipada 4 meses después de haber realizado la amortización parcial de capital es 1.325.871,70€. 3. Una pareja se ha comprado un piso y para ello ha tenido que solicitar un préstamo con las siguientes características: •

Nominal: 360.000€.

•

Plazo total: 25 años.

•

Término amortizativo mensual y constante.

•

Tipo de interés: 1,2% anual capitalizable mensualmente.

Se pide: a) Importe del término amortizativo, de la cuota de interés y de la cuota de amortización de capital a los 36 meses de la concesión del préstamo. (1,5 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de esta operación es el siguiente:





 .. .. 

1

2

3 .. . 36

C

0



...

...

300 meses

i12=1,2% Variables conocidas: Las variables que conocemos y su valor es el siguiente: •

Nominal del préstamo: C=360.000€.

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PEC3. PRÉSTAMOS I

• • •

Frecuencia de los términos amortizativos: m=12 (mensual). Número de términos amortizativos: n =12· 25 = 300 meses. Tipo de interés anual capitalizable mensualmente: i12=1,2%. 𝑰12 =

𝒊12 0,012 = = 0,001. 12 12

Variables desconocidas y ecuación a aplicar: Las variables que desconocemos son: el importe de los términos amortizativos del préstamo, α, la cuota de capital, A36, y la cuota de interés del término 36, Y36. •

Para calcular el importe de los términos amortizativos tenemos que plantear la ecuación de equilibrio inicial del préstamo: 𝐶 =𝛼⋅

•

1−(1+𝐼𝑚)−𝑛 . 𝐼𝑚

La cuota de amortización de capital, Ar con r=1..n, se puede calcular a partir de la primera cuota de capital, A1, ya que en el préstamo francés las cuotas de amortización de capital crecen en progresión geométrica de razón 1 + Im : 𝐴𝑟 = 𝐴1 ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1 = (𝛼 − 𝑌1 ) ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1 = (𝛼 − 𝐶 ⋅ 𝐼𝑚 ) ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1.

•

La cuota de interés se puede calcular como la diferencia entre el término amortizativo y la cuota de amortización de capital: 𝑌𝑟 = 𝛼 − 𝐴𝑟 .

Resolución: •

Para hallar el término amortizativo del préstamo basta con sustituir en la ecuación de equilibrio inicial del préstamo cada variable por su valor:

360.000 = 𝛼 ⋅ .

1 − (1 + 0,001)−300 0,001

.

𝛼 = 1.389,58€.

•

Para calcular la cuota de amortización de capital A36 primero tenemos que buscar la cuota de interés Y1: 𝑌1 = 𝐶 · 𝐼12 = 360.000 ∗ 0,001 = 360€. y ahora podemos calcular la cuota de amortización de capital, A36: 𝐴36 = 𝐴1 · (1 + 𝐼12 )35 = (𝛼 − 𝑌1 ) · (1 + 𝐼12 )35 = (1.389,58 − 360) · (1 + 0,001)35 = 1.066,24€.

•

La cuota de interés, Y36: 7/15

PEC3. PRÉSTAMOS I

𝑌36 = 𝛼 − 𝐴36 = 1.389,58 − 1.066,24 = 323,34€. Respuesta: El importe del término amortizativo es 1.389,58€, y la cuota de interés y la cuota de amortización de capital a los 36 meses de la concesión del préstamo son 323,34€ y 1.066,24€ respectivamente. b) A los 36 meses de la concesión del préstamo, una vez pagado el término amortizativo correspondiente, a la pareja le conceden una ampliación de la hipoteca para realizar una reforma en su piso. Si se mantienen el resto de las condiciones iniciales del préstamo, calcular el importe máximo que pueden ampliar la hipoteca si no quieren que su término amortizativo se incremente más de 300€ al mes. (1,25 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de esta operación es el siguiente:

...

𝐶′ = 𝑅36 + 𝑋

0

...

36

37

38

...

300 meses

i12=1,2%

Variables conocidas: Las variables que conocemos y su valor es el siguiente: • • • •

Nominal del préstamo: C=360.000€. Frecuencia de los términos amortizativos: m=12 (mensual). Número de términos amortizativos: n =12· 25 = 300 meses. Tipo de interés anual capitalizable mensualmente: i12=1,2%. 𝒊12 0,012 = 0,001. = 12 12 Término amortizativo constante, antes de la ampliación de capital: α= 1.389,58€. Término amortizativo constante, después de la ampliación de capital: α‘= 1389,58+300=1.689,58€. Momento del análisis en meses: r = 36. Número de términos amortizativos pendientes de pago después de la ampliación de capital: n’ = 300 –36 =264. 𝑰12 =

• • • •

Variable desconocida y ecuación a aplicar:

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PEC3. PRÉSTAMOS I

La variable que desconocemos es el importe de ampliación de la hipoteca, X. Para poder calcularlo, primero debemos obtener el nominal del nuevo préstamo, C’, y la deuda pendiente o reserva matemática después del pago del término amortizativo 36, D36=R36. • Nominal del nuevo préstamo, C’. Para calcular este importe tenemos que plantear la ecuación de equilibrio inicial del préstamo, en r=36: C' = α' ⋅ •

1−(1+𝐼𝑚)−n' 𝐼𝑚

.

Deuda pendiente o reserva matemática después del pago del término amortizativo 36: D36=R36.

El método que habitualmente se utiliza para calcular la reserva matemática es el prospectivo y se obtiene actualizando los términos amortizativos que faltan por pagar. 𝑅𝑟 = α ⋅

1−(1+𝐼𝑚)−(𝑛−𝑟) 𝐼𝑚

.

Pero también se puede hallar la reserva matemática por el método retrospectivo, capitalizando el nominal del préstamo y los términos amortizativos ya pagados: 𝑅𝑟 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟 − 𝛼 ⋅ •

(1+𝐼𝑚)𝑟 −1 . 𝐼𝑚

Importe de ampliación de la hipoteca. Se obtiene como la diferencia entre el nominal del nuevo préstamo y el importe pendiente del préstamo inicial, esto es, la reserva matemática. 𝑋 = 𝐶 ′ − 𝑅36 .

Resolución: Para calcular el nominal del nuevo préstamo plantearemos la ecuación de equilibrio del préstamo, en r=36, y debemos de tener en cuenta que ya se han pagado 36 términos amortizativos del préstamo inicial y por tanto sólo quedan 264 términos amortizativos por pagar: 𝐶 ′ = 1.689,58 ·

1 − (1 + 0,001)−(300−36) = 391.856,55€. 0,001

Para calcular la reserva matemática, una vez pagado el término amortizativo número 36, si utilizamos la fórmula de la reserva prospectiva, y sustituimos cada variable por su valor obtenemos:

𝐷36 = 𝑅36 = 1.389,58 ·

1 − (1 + 0,001)−(300−36) 0,001

= 322.279€.

O bien se puede obtener de forma retrospectiva de la siguiente manera: 𝐷36 = 𝑅36 = 360.000 · (1,001)36 − 1.389,58 ·

(1 + 0,001)36 − 1 = 322.279€. 0,001 9/15

PEC3. PRÉSTAMOS I

En conclusión, se puede ampliar el préstamo por el siguiente importe: 𝑋 = 𝐶 ′ − 𝑅36 = 391.856,55 − 322.279 = 69.577,55€.

Respuesta:

La pareja puede ampliar la hipoteca hasta 69.577,55€ sin que el término amortizativo mensual aumente más de 300€. 4. Una empresa de transporte quiere ampliar su flota de camiones y furgonetas. Para realizar esta inversión necesita 800.000€, de los cuales 250.000€ los aportan los socios y el resto los financia a través de un préstamo con las siguientes características: •

Plazo total: 15 años.

•

Plazo de carencia parcial: 2 años.

•

Término amortizativo semestral y constante.

•

Tipo de interés: 0,5% efectivo mensual.

Se pide: a) Importe del término amortizativo, de la cuota de capital y de la cuota de interés del sexto semestre desde la concesión del préstamo. (1,25 puntos) SOLUCIÓN El esquema temporal de esta operación es el siguiente:

C=550.000€ C·Im ... C·Im

0

1 ... 4

...

5

6

.. .

30 semestres

I12=0,5% Variables conocidas: Las variables que conocemos y su valor es el siguiente: • • • •

Nominal del préstamo: C=550.000 €. Frecuencia de los términos amortizativos: m=2 (semestral). Número de períodos semestrales que dura el préstamo: d+n =2· 15 = 30 semestres. Periodos de carencia parcial. d=4 semestres.

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PEC3. PRÉSTAMOS I

• • •

Número de términos amortizativos semestrales: n = 30-4=26. Término amortizativo semestral y constante. Tipo de interés efectivo mensual: I12=0,5%. 𝐼2 = (1 + 𝐼12)6 − 1 = 0,030378.

Variables desconocidas y ecuación a aplicar: Las variables que desconocemos son: el importe de los términos amortizativos del préstamo, la cuota de capital y la cuota de interés en el sexto semestre desde la concesión del préstamo: α, A2 y Y2 respectivamente. •

Hay que tener en cuenta que los dos primeros años son de carencia parcial, por tanto, la deuda pendiente en el cuarto semestre, que coincide con la reserva matemática, es igual al nominal del préstamo, empezándose a amortizar capital a partir del quinto semestre. Para calcular el importe de los términos amortizativos tenemos que plantear la ecuación de equilibrio al final de la carencia parcial del préstamo, es decir, a los d periodos transcurridos desde la apertura del préstamo:

𝐷𝑑 = 𝑅𝑑 = 𝐶 = 𝛼 ⋅ •

1−(1+𝐼𝑚)−𝑛 . 𝐼𝑚

La cuota de amortización de capital del término amortizativo r-ésimo Ar, que se satisface a los d+r periodos transcurridos desde la apertura del préstamo, se puede calcular a partir de la primera cuota de capital, A1, ya que en el préstamo francés las cuotas de amortización de capital crecen en progresión geométrica de razón 1 + Im : 𝐴𝑟 = 𝐴1 ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1 = (𝛼 − 𝑌1 ) ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1 = (𝛼 − 𝐶 ⋅ 𝐼𝑚 ) ⋅ (1 + 𝐼𝑚 )𝑟−1. o también como la diferencia entre el término amortizativo y la cuota de interés del término amortizativo r-ésimo Yr: 𝐴𝑟 = 𝛼 − 𝑌𝑟 .

•

La cuota de interés del término amortizativo r-ésimo, Yr, que se satisface a los d+r periodos transcurridos desde la apertura del préstamo, se puede calcular como la diferencia entre el término amortizativo y la cuota de amortización de capital Ar:

Yr =  − A r . o se puede obtener también multiplicando el tan...