Pertenencia extension y comprension conjuntos apuntes matematicas PDF

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Pertenencia extension y comprensión de números reales,
Apuntes 1o Grado de Matemáticas...

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Capitulo 1: Conjuntos. Pertenencia. Extensión y comprensión. Cardinal. Referencial. Conjunto de Números Naturales CONJUNTOS INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos. Esta idea nos sirve para introducirnos en el concepto de conjuntos que, en matemática es un término primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos a la pregunta ¿qué es?. Sin embargo para que una colección de objetos sea un conjunto, deberá cumplir algunas condiciones:  UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A ÉL.. En símbolos lo escribimos así

Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y h Diremos que h pertenece a A, En símbolos m pertenece a A, en símbolos:................................... t pertenece a A, en símbolos.................................... k no pertenece a A, en símbolos: 8 no pertenece a A, en símbolos................... g no pertenece a A, en símbolos................... 2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS ESTÉN UNÍVOCAMENTE DEFINIDOS, (EXISTEN Y SON ÚNICOS) Así, el conjuntos formados por "las letras del nombre de mi abuelo" no es un conjunto para la matemática, pues sus elementos varían según quien los defina ( todos los abuelos no tienen el mismo nombre) Los elementos no están unívocamente definidos, el conjunto no existe.  EXISTE EL CONJUNTO VACIO Esta característica aleja el concepto de conjunto de la idea intuitiva ¿ Cómo pensar la existencia de un conjunto vacío?

1

Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos están unívocamente definidos. Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud. responderá "ninguna rana maúlla". El conjunto es VACÍO no hay ranas que cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay ninguno. El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente: ð Obsérvese la diferencia con el punto 2  UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS. Así, el conjunto formado por las vocales de la palabra "tío", que llamaremos B, se escribe en símbolos: EJERCICIO: Expresar por extensión:  A1 es el conjunto formado por los colores primarios  A2 es el conjunto formado por las letras de la palabra MAMÁ  A3 es el conjunto formado por los ríos que forman la Mesopotamia Argentina  A4 es el conjunto formado por las provincias que forman la Mesopotamia Argentina  A5 es el conjunto formado por los colores de la bandera argentina  A6 es el conjunto formado por los nombres de los dos gases más importantes de la atmósfera 5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN Se trata de curvas cerradas . Dentro de la región interior se colocan los elementos, representamos el conjunto A2 del ejercicio anterior A2  Los conjuntos se expresan por COMPRENSION utilizando una expresión proposicional que caracteriza a los elementos Antes de analizar esta propiedad, definiremos algunos términos: 6.1 .− Se llama PROPOSICIÓN a toda oración aseverativa de la que podemos decir si es verdadera o falsa

La Luna gira alrededor de la Tierra La Tierra es el quinto planeta del Sistema Solar ¿ Qué hora es? ¡ Salga de aquí! 6.2 .− Considere la siguiente oración incompleta:

Considera la siguiente oración incompleta "....... es una vocal"

Proposición VERDADERA Proposición FALSA NO es una proposición NO es una proposición

¿Cuántas proposiciones verdaderas podemos obtener de esa oración incompleta?........ Escriba por extensión el conjunto, que llamaremos D, formado por todas las letras que, al reemplazar los puntos suspensivos hacen una proposición verdadera. A = {a, En matemática  a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales  en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )  sea que " ....... es una vocal" en leguaje matemático se escribe "x es una vocal" Recordar: leemos equis pero pensamos en los puntos suspensivos. Aquí la equis es una variable 6.3.− Utilizamos expresiones proposicionales para definir conjuntos por COMPRENSIÓN. Relee el primer ejemplo de las vocales, que has escrito por extensión, por comprensión:  se escribe  se lee: D es el conjunto formado por todos los x tales que x es una vocal  significa: que es el conjunto formado por todos los valores que transforman a la expresión proposicional " x es una vocal", en una proposición verdadera EJERCICIO Expresar por extensión los siguientes conjuntos: A7 = {x / es una vocal de la palabrea "ambiguo"} A8 = { x / x es una vocal de la palabra "Ana"} CARDINAL DE UN CONJUNTO La cantidad de elementos de un conjunto puede ser 0, el conjunto vacío, 1 como en el conjunto A8; 2 como en el conjunto A2, etc. El número de elementos de un conjunto se llama CARDINAL:  El cardinal del conjunto vacío es cero En símbolos: Card (ð) = 0

 El cardinal del conjunto A8 En símbolos: Card (A8) = 1  El cardinal del conjunto A2 En símbolos: Card (A2) = 2 EJERCICIO: Determine el cardinal de todos los conjuntos de esta sección. Escríbalos en lenguaje simbólico CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES El conjunto de todos los cardinales se denomina CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES. Notación: Para referirnos al conjunto de Números Naturales con el cero, escribiremos N0 y para referirnos al conjunto de Números Naturales sin el cero escribiremos: N El conjunto de NUMEROS NATURALES:  Es un conjunto ordenado según la relación de menor, y tiene primer elemento  Es un conjunto infinito  No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un número finito de números naturales Podemos representar el conjunto de números Naturales en una recta numérica: La flecha indica el orden creciente, complete con algunos de los naturales la recta, transportando consecutivamente el segmento unidad El orden de los números naturales se representa en la recta numérica: Diremos, por ejemplo que  0 es menor que 3, en símbolos:  8 es mayor que 7: Estas dos proposiciones en lenguaje simbólico se denominan inecuaciones SUBCONJUNTOS DE N Determinemos el conjunto H de los números Naturales menores o iguales que 3 Escribimos en lenguaje simbólico, por comprensión Expresión que leemos H es el conjunto formado por todos los equis tales que equis es menor o igual que 3.

La expresión proposicional Se denomina INECUACIÓN, y se lee equis es menor o igual que 3 Los elementos del conjuntos H son los números que transforman la inecuación en una desigualdad verdadera. El conjunto H por extensión es: Expresaremos por comprensión y extensión el conjunto de números naturales menores o iguales que 3, pero tomando como referencia el conjunto de Números Naturales con el cero: Los conjuntos H y F son subconjuntos del conjunto de Números Naturales. Obsérvese que en ambos casos la desigualdades utilizada es la misma, pero los conjuntos H y F son distintos, porque se ha variado el conjunto referencial Expresaremos por comprensión y por extensión el conjunto de números naturales mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 7 Se llama CONJUNTO REFERENCIAL a un conjunto que se determina previamente o se da por supuesto dentro de un universo del discurso El conjunto referencial se identifica con las letras E o U y se lo representa en los diagramas de Venn mediante un cuadrado EJERCICIOS  Exprese por extensión los siguientes conjuntos 2)

Expresar por comprensión

3) Dado el referencial E Se pide:  Expresar E por extensión  Expresar por extensión los siguientes conjuntos 4)

Dado el siguiente diagrama de Venn

Se pide: − expresar por extensión: El conjunto E= El conjunto A= El conjunto B= El conjunto M1 formado por los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a B

El conjunto M2 formado por los elementos de A que no pertenecen a B El conjunto M3 formado por los elementos de B que no pertenecen a A El conjunto M4 formado por los elementos que pertenecen a A y también a B El conjunto M5 formado por los elementos de E que no pertenecen a A ni a B − determinar el cardinal de los conjuntos anteriores − representar los conjuntos en sendos diagramas 5) Diseñar un ejercicio similar al anterior Capítulo 2: Operaciones con conjuntos. Inclusión OPERACIONES CON CONJUNTOS 1.− PROPOSICIONES COMPUESTAS: En el apartado anterior hemos analizado la verdad o falsedad de proposiciones simples. Es posible también formar proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos o e y Veamos algunos ejemplos: Entre las condiciones para participar en un concurso literario dice: " Podrán participar los alumnos de la escuela o los familiares de los alumnos" Inés es tía de Pedro y se ha anotado en el concurso. María es alumna de 3er. Año y se ha anotado. Juan es alumno de 1er año y hermano de Sebastián de 3er año, por lo tanto también participa. En resumen, basta con que se cumpla una de las condiciones del enunciado, pueden inscribirse. Es decir una proposición compuesta con el conectivo o, es verdadera si alguna de las proposiciones lo es. Definimos el conectivo con una tabla de verdad Dadas dos proposiciones p y q y la proposición compuesta p o q, entonces: p V V F F

q V F V F

pvq V V V F

En cambio, en las condiciones para jugar fútbol en el club de la ciudad dice: "Para ser miembro del equipo el postulante debe ser varón y mayor de 18 años"

Analía tiene 19 años pero como es mujer no puede participar José tiene 17 años, no puede participar porque es menor Pedro tiene 18 y como es varón ya se ha inscripto. En resumen, el enunciado que contiene el conectivo y, exige que se cumplan las dos condiciones, es decir, que sean verdaderas ambas proposiciones. Definimos mediante una tabla de verdad el conectivo y Dadas dos proposiciones p, q y la proposición compuesta p y q, entonces: p V V F F

q V F V F

pyq V F F F

2.− Expresiones proposicionales compuestas Sabemos que una expresión proposicional se transforma en proposición cuando se reemplaza la variable por un valor. Por lo tanto, una expresión proposicional compuesta:  con el conectivo o será verdadera cuando alguna de las proposiciones lo sea.  Con el conectivo y, será verdadera sólo cuando todas las proposiciones simples lo sean 3.− Definiremos las operaciones entre conjuntos utilizando las expresiones proposicionales compuestas: 3.1.− UNIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto unión a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B En símbolos: Analice el conjunto M1 del ejercicio 4 del capítulo anterior y escríbalo como unión 3.2 .− INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto intersección a otro conjunto formados por los elementos que pertenecen a A y a B En símbolos: ¿Cuál de los conjuntos del ejercicio 4 del capítulo anterior corresponde a la intersección de conjuntos? 3.3 .− DIFERENCIA DE CONJUNTOS 3.4 .− COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Ac se lee complemento de A EJERCICIO: Sean : Hallar los siguientes conjuntos: Capítulo 3: Operaciones en el conjunto de Números Naturales OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES 1.−SUMA =14 Los términos que intervienen en la operación suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para referirse a la operación o al resultado Propiedades de la suma: 1.− La suma es una ley de composición interna, es decir , siempre tiene resultado 2.− La suma es asociativa, es decir , que el resultado no varía si se realizan sumas parciales 3.− La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma 4.− El cero es un elemento neutro para la suma

a 2 6 9

b 3 1 7

c 5 8 4

Asociatividad (a+b)+c = a+(b+c)

Conmutatividad a + b = b+a

Elemento Neutro a+0=a

2.− MULTIPLICACIÓN La multiplicación se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son iguales 3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3) a+a+a=3a Los términos de una multiplicación se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicación se llama PRODUCTO. Indique cuáles son los factores y cuál el producto en: 6.5.7.2=

Propiedades del producto Complete el cuadro

a 2 6 9

b 3 1 7

Asociatividad (ab)c = a(bc)

c 5 8 4

Conmutatividad ab = ba

Elemento Neutro a.1 = a

EJERCICIOS COMBINANDO OPERACIONES (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo) A) En el juego siguiente Ud. deberá formar palabras utilizando las letras de la palabra guía y luego colocar el puntaje correspondiente. La letra L en los casilleros significa letra, la letra P significa palabra. Por ejemplo, cuando una letra de la palabra que Ud. escribió queda en el casillero que dice 2L, deberá duplicar el valor de la letra. Los valores de éstas figuran en la primera fila entre paréntesis. Puede repetir las letras de la primera fila pero no puede usar otras

1 2 3 4

A(2) 2L

M(5)

I(3)

2P

4L

G(7) 3L

O(4)

S(6)

PUNTAJE

3P 3L

3P

GANA EL QUE FORMA CUATRO PALABRAS Y OBTIENE MAYOR PUNTAJE  Después que un grupo de chicos jugó con el tablero anterior encontré este escrito en un papel:  2.6+3+7++3.2+5+4+6=  (7+3+4.5+3+4)2=  magias  omiso 3.−LA DIFERENCIA

¿Puede calcular el puntaje que hizo ese jugador? ¿Si coloca las palabras en otro orden, se puede obtener más puntaje ?

MINUENDO − SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTA PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA NO es conmutativa PORQUE  no es igual a 2−3 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA DIFERENCIA 3( 6 − 2) = 3.6 − 3.2 3.4 = 18 − 6

12 = 12 4.− EL COCIENTE DIVIDENDO COCIENTE RESTO En la división se verifica que: DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTO IGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES 1.− Toda ecuación está compuesta por dos miembros separados por el signo igual Los miembros de una igualdad pueden conmutarse PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO EJEMPLO 3 + 7 = 10 o bien 10 = 3+7 2.− Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier valor de las variables EJEMPLO: a+b=b+c 3.− Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores de la variable EJEMPLO: 3x = 15 x=5 RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones. EJEMPLOS 2(x + 4) = 24

2x + 4 = 24 2(x + 4)]/2 = 24/2 2x + 4 − 4 = 24 − 4 x = 24/2 2x = 24 − 4 x + 4 = 12 (2x) /2 = 20/2 x + 4 − 4 = 12 − 4 x= x = 12 − 4 20/2 x= 8 x= 10 En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente 4.− Una desigualdad es una expresión de dos miembros relacionados por un signo de menor o mayor 5.− Una inecuación es una desigualdad en la que figuran incógnitas EJERCICIOS: Resolver los siguientes ejercicios combinando operaciones: Resolver las siguientes ecuaciones:  POTENCIACION BASE Exponente=POTENCIA 43=4.4.4=64 41=4 La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales En general: an=a.a....a n veces La base es el número que se multiplica El exponente indica las veces que se multiplica la base an se lee a elevado a la ene 43 se lee 4 a la tercera PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

 NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 43  Es didtributiva respecto a la producto y al cociente

Ejemplo: (3.2)3=33.32  NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia (3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17 PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias dadas En símbolos: an.am= am+n EJEMPLO: 23.24=23+4=27 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes de las potencias dadas En símbolos: an:am= am−n EJEMPLO: 25:23=25−3=22 EXPONENTE CERO El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales: EJEMPLO: 24:24=24−4=20 Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo 24:24=1 Luego: 20=1 CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1 POTENCIA DE POTENCIA

La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados (an)m= am.n (24)3= (2)12 EJERCICIOS  Calcule las siguientes potencias B) Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva: DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad. Los números que no son primos se llaman compuestos Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado. Ejemplo:

180 90 45 15 5 1

divisores 2 2 3 3 5

Luego : 180 = 22325 MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo: Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60 Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta: 180 = 22325 300 = 22.3.52

120 = 23.3.5 Luego: mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600 dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60  RADICACIÓN La radicación es una operación inversa a la potenciación En general: Resolviendo ecuaciones: 1) Calcule las siguientes raíces: PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN  No es conmutativa  Es distributiva respecto al producto y al cociente  NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones 7.− LOGARITMACIÓN LOGARITMOS Si pretendemos resolver la ecuación

nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN Introducción a la definición En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para obtener 81 Escribimos: Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4 Es decir: EL LOGARITMO ES UN EXPONENTE

DEFINICIÓN Ejemplo:

EJERCICIO: Calcular los siguientes logaritmos utilizando la definición

Capítulo 4: El lenguaje matemático En los capítulos anteriores habrá observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se lee". Esto es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje simbólico que se utiliza. Este lenguaje es escrito y es universal cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, así el símbolo 4 se lee cuatro en español, four en inglés, etc. Pero con ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto. El lenguaje simbólico es específico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero al leerlo no debemos perder de vista la estructura que describe Por ejemplo: Si escribimos x + 5 = 8, Podemos leer: equis más cinco es igual a 8 Y esto significa: Busque el número al que sumándole cinco dé por resultado 8 Es en función de este significado que escribimos x = 3 Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico: Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo doble más 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular mentalmente en este caso, lo que facilitará el análisis: ¿Qué buscamos? Un número, esa es la incógnita, x El doble del...