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CAPÍTULO 16

Equilibrio y sus propiedades básicas de bienestar

16 16.A Introducción Con este capítulo, comenzamos nuestro estudio sistemático del equilibrio en economías donde los agentes actúan como tomadores de precios. Consideramos un mundo con productos básicos en los que los consumidores y las empresas interactúan a través de un sistema de mercado. En este sistema de mercado, se cotiza un precio por cada producto, y los agentes económicos toman estos precios como independientes de sus acciones individuales. Nos concentraremos en este capítulo en una presentación de las propiedades básicas de bienestar del equilibrio. Algunos temas más avanzados en la economía del bienestar se discuten en el Capítulo 18 y en la Parte V. Empezamos, en la Sección 16.B, especificando el modelo formal de una economía a estudiar aquí y para el resto de la Parte IV Sus ingredientes esenciales (Commodities, consumidores y empresas) que ya hemos encontrado en la Parte I. El resto de la Sección 16.B introduce los conceptos principales que nos interesarán a lo largo del capítulo: Definimos primero la noción normativa de una asignación óptima de Pareto, Con la propiedad de que es imposible mejorar el consumo de un consumidor sin empeorar a otro consumidor, presentamos dos nociones de equilibrio de precios: el equilibrio walrasiano (o competitivo) y su generalización, un equilibrio de precios con las transferencias El concepto de equilibrio walrasiano se aplica al caso de una economía de propiedad privada, en la cual la riqueza de un consumidor es derivada de su participación en las dotaciones y de las reclamaciones a las participaciones en los beneficios de las empresas. La noción más general de un equilibrio de precios con las transferencias permite, en cambio, una distribución arbitraria de la riqueza entre los consumidores. Las secciones restantes del capítulo están dedicadas a explorar las relaciones entre estos conceptos de equilibrio y la óptima de Pareto. La sección 16.C se centra en la declaración de las condiciones (muy débiles) que implican que todo equilibrio de precios con las transferencias (y, por tanto, todo equilibrio Walrasiano) da como resultado una asignación óptima de Pareto. Este es el primer teorema fundamental del bienestar y la economía, una expresión formal para las economías de mercado competitivas de la reclamada propiedad de los mercados, la “mano invisible” de Adam Smith. En la sección 16D, estudiamos la cuestión inversa. Las condiciones de convexidad (son las condiciones cruciales) en virtud de las cuales cada asignación óptima de Pareto puede ser

CAPÍTULO 16: EQUILIBRIO Y SUS PROPIEDADES BÁSICAS DE BIENESTAR apoyo un equilibrio de precios con las transferencias. Este resultado se conoce como el segundo teorema fundamental de la economía del bienestar. Nos dice que si sus suposiciones son satisfechas, entonces mediante el uso de apropiadas transferencias de riqueza en suma, una autoridad de bienestar puede, en principio, Equilibrio de precios. También discutimos las limitaciones prácticas de este resultado. En la sección 16.E presentamos el problema de maximizar una función social de bienestar y relacionarla con el concepto de optimalidad de Pareto, descubrimos una relación formal estrecha entre estas dos nociones de optimismo de bienestar. Sección 16.F reexamina el concepto de optimidad de Pareto y los resultados asociados haciendo suposiciones de diferenciación y analizando Condiciones de primer orden. Se puede ver cómo los precios pueden ser interpretados como los multiplicadores de Lagrange, o precios sombra, que surgen en el problema asociado de optimalidad de Pareto. La sección 16.G discute varias aplicaciones de los conceptos y resultados previamente desarrollados. En primer lugar presentamos algunos ejemplos que se basan en interpretaciones particulares o en los productos abstractos; Uno de ellos se refiere al caso de los bienes públicos. A continuación, consideramos una aplicación de nuestros resultados a un mundo con conjuntos de producción no convexos, lo que conduce a una breve exposición de la teoría de la fijación de precios de costo marginal. En el Apéndice A se abordan algunas cuestiones técnicas relativas a la limitación del conjunto de asignaciones factibles y la existencia de Pareto óptima. Los relatos clásicos del material en el corazón de este capítulo están dados por Koormans (1957), Debreu (1959), y Arrow y Hahn (1971).

16.B El Modelo Básico y las Definiciones En este capítulo, se estudia una economía compuesta por I > 0 consumidores y J >0 en la que hay mercancías L. Estas mercancías L se pueden dar interpretaciones, discutimos algunos ejemplos en la Sección 16.G

Cada consumidor i= 1,..., I se caracteriza por un conjunto de consumo 𝑋1 ⊂ ℝ𝐿 de una relación de preferencia ≥𝑖 definida en 𝑋𝑖 . Su ponemos que estas preferencias son racionales (es decir, completas y transitivas). Los capítulos 1 a 3 proporcionan una discusión extensa de estos conceptos. Cada empresa j= 1,..., J se caracteriza por una tecnología, o por un conjunto de producción, 𝑌𝑗 ⊂ ℝ𝐿 . Asumimos que todo es no y cerrado. Vea el Capítulo 5 para una discusión de los conjuntos de producción y sus propiedades. Los recursos iniciales de los productos básicos en la economía, es decir, las dotaciones de la economía —son dados a nosotros por un vector ŵ = (ŵ1 ,…, ŵ𝐿 ) ∈ ℝ𝐿 .

Por lo tanto, los datos básicos en preferencias, tecnologías, y los recursos para esta economía son 𝐼 resumidos por ({(𝑋𝑖 , ≥𝑖 )}𝑖=1 , {𝑌𝑗 }

𝐼

𝑗=1

, ŵ.)

La economía de intercambio pura de caja de Edgeworth discutida en la sección 15.B, por ejemplo, corresponde al caso en el que L =2, I = 2, 𝑋1 =𝑋2 =ℝ+𝐿 , J=1, y 𝑌1 =−ℝ2+ (disposición tecnológica). En términos más generales, decimos que una economía es una economía puramente cambiaria si su única posibilidad tecnológica es la de libre disposición, esto es, si 𝑌𝑗 =−ℝ+𝐿 para todo j= 1,..., J.

SECCIÓN 16.B: EL MODELO BÁSICO Y DEFINICIONES Definición 16.B.1: Una asignación (x, y) = (𝑥1 ,…,𝑥𝐼 , 𝑦1,…,𝑦𝐽 ) es una especificación de un vector de consumo para cada consumidor i= 1,..., I y un vector de producción 𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 para cada empresa j= 1,..., J. Una asignación (x, y) es factible si ∑𝑖 𝑋ℓ𝑖 =ŵ𝑙 + ∑𝑗 𝑌ℓ𝑗 para todo producto ℓ. Esto es, si ∑𝑖 𝑋𝑖 = ŵ + ∑𝑗 𝑌𝑗

(16.B.1)

Denotemos el conjunto de asignaciones factibles

A={(x,y) ∈ 𝑋1 x… x,𝑋𝐼 x 𝑌1 x…𝑌𝐽 : ∑𝑖 𝑋𝑖 = ŵ + ∑𝑗 𝑌𝑗} ⊂ ℝ𝐿(𝐼+𝐽) .

Denotamos el conjunto de la asignación de la capacidad de asignación de un elemento socialmente deseable en el que se localiza que es una asignación óptima de Pareto. Definición 16.B.2: Una asignación factible (x,y) es Pareto óptimo (o Pareto eficiente).

Si no hay otra asignación (x’, y’) ∈ A, este Pareto es el que lo domina, es decir que

Si no hay asignación factible (x’, y’) tal que 𝑋𝑖 , ≥𝑖 𝑥𝑗 para todo ‘i’ y 𝑋𝑖 , >𝑖 𝑥𝑗 para algún ‘i’.

Una asignación es Pareto Óptima si no hay desperdicio. Es imposible hacer algo estrictamente mejor sin empeorar a algún otro consumidor Note que el concepto de optimalidad de Pareto no se refiere a los valores distributivos. Por ejemplo, en una economía puramente cambiaria, una asignación que da a toda la sociedad un consumidor que tiene preferencias fuertemente monótonas es necesariamente Pareto óptimo. En el Apéndice A, proporcionamos condiciones sobre las primitivas de la economía, lo que implica que el conjunto de asignaciones factibles no vacío, cerrado y limitado y que las asignaciones óptimas existen. Economías de propiedad privada A través de la Parte IV, estudiamos las propiedades de las economías competitivas de propiedad de los primates. En tales economías, todo bien se comercializa en un mercado a precios conocidos que consumidores y empresas toman como no afectados por sus propias acciones. Los consumidores comercian en el mercado para maximizar su bienestar, y las empresas producen y comercian para maximizar los beneficios. La riqueza de los consumidores se deriva de la dotación individual o de las mercancías y de las participaciones de propiedad (acciones) a las ganancias de las empresas, que por lo tanto se piensa que son propiedad de los consumidores.1

Formalmente, el consumidor ‘i’ tiene un vector de dotación inicial de materias primas ŵ𝑖 ∈ ℝ𝐿 y una reclamación a una acción θ𝑖𝑗 ∈ [0,1] de los beneficios de la empresa j (donde ŵ=∑𝑖 ŵ𝑖 y ∑𝑖 θ𝑖𝑗=1 para cualquier empresa j). Los recursos tecnológicos de preferencia básica y los datos de propiedad de una economía de propiedad privada son resumidos por 𝐼

𝐼

𝐼 , {𝑌𝑗 } , {(𝑤𝑖 , θ𝑖1 , … , θ𝑖𝐽 )} ). ({(𝑋𝑖 , ≥𝑖 )}𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1

La noción de un equilibrio de toma de precios para una economía de propiedad privada competitiva es la de un equilibrio Walrasiano.

1Recordemos

en la sección 5.G que, según nuestros actuales supuestos, los propietarios de los consumidores de una empresa están unánimemente a favor del objetivo de la maximización de los beneficios.

CAPÍTULO 16: EQUILIBRIO Y SUS PROPIEDADES BÁSICAS DE BIENESTAR Definición

16.B.3: 𝐼

Dada

una

economía 𝐼

propietaria

privada

especificada

por

𝐼 , {𝑌𝑗 } , {(𝑤𝑖 , θ𝑖1 , … , θ𝑖𝐽 )} ), una asignación (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) y un precio p= (𝑝1,…,𝑝𝐿 ) ({(𝑋𝑖 , ≥𝑖 )}𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1

constituyen un equilibrio walrasiano (o competitivo) si:

(i) Por cada j,𝑦𝑗∗ maximiza los beneficios en 𝑌𝑗 ; es decir, p· 𝑦𝑗 ≤ p · 𝑦𝑗∗ para todo 𝑦𝑗 ∈ 𝑌𝑗 .

(ii) Para todo i, 𝑥𝑖∗ es máxima para ≥𝑖 en el presupuesto establecido {𝑥𝑗 ∈ 𝑋𝑖 ∶ p · 𝑥𝑖 ≤ p · 𝑤𝑖 + ∑𝑗 θ𝑖𝑗 p · 𝑦𝑗∗ }.2

(iii) ∑𝑖 𝑥𝑖∗ = ŵ + ∑ 𝑗 𝑦𝑗∗

La condición (i) de la Definición 16.B.3 dice que en un equilibrio Walrasiano, las empresas están maximizando sus beneficios dado los precios de equilibrio p. La lógica de la maximización del beneficio se examina ampliamente en el capítulo 5. La condición (ii) dice que los consumidores están maximizando su bienestar dado, primero, los precios de equilibrio y, en segundo lugar, la riqueza derivada de sus negritas de mercancías y de sus participaciones en los beneficios. Consulte el Capítulo 3 para una extensa discusión sobre la maximización de preferencias. Finalmente, la condición (iii) dice que los mercados deben tener un equilibrio claro, es decir, todos los consumidores y las empresas deben ser capaces de lograr sus operaciones deseadas a los precios de mercado. Equilibrios de precios con transferencias El objetivo de este capítulo es relacionar la idea de optimalidad de Pareto con la capacidad de soportar mediante la adopción de precios, para lo cual es útil introducir una noción de Equilibrio que permite una determinación más general de los niveles de riqueza de los consumidores que en una economía de propiedad privada. Por medio de la motivación, podemos imaginar una situación en la que un planificador social es capaz de llevar a cabo (redistribución de la riqueza) La riqueza agregada de la sociedad puede por lo tanto redistribuirse entre los consumidores de cualquier manera 𝐼 Definición 16.B.4: Dada una economía especificada por ({(𝑋𝑖 , ≥𝑖 )}𝑖=1 , {𝑌𝑗 }

𝐼

𝑗=1

(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )

, ŵ) una asignación

y un precio vectorial p= (𝑝1,…,𝑝𝐿 ) representa equilibrio de precios con las transferencias si existe una asignación de niveles de riqueza ( 𝑤1 , … , 𝑤𝐼 ) con ∑𝑖 𝑤𝑖 = p · ŵ + ∑ 𝑗p · 𝑦𝑗∗ tal que (i)

Para todo j, 𝑦𝑗∗ maximiza los beneficios en 𝑌𝑗 , es decir,

(ii)

Para todo i, 𝑥𝑖∗ es máxima para ≥𝑖 en el presupuesto establecido

p· 𝑦𝑗 ≤ p · 𝑦𝑗∗

para todo 𝑦𝑗 ∈ 𝑌𝑗 .

La terminología “𝑥𝑖 es máxima para ≥𝑖 en el conjunto B” significa que 𝑥𝑖 es una elección que maximiza la preferencia para el consumidor i en el conjunto B; es decir 𝑥𝑖 ∈ B y 𝑥𝑖 ≥𝑖 𝑥1 ′ para todo 𝑥1′ ∈ B. 2

SECCIÓN 16.C: EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ECONOMÍA DEL BIENESTAR

(iii)

{𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 ∶ p · 𝑥𝑖 ≤ 𝑤𝑖 } ∑𝑖 𝑥𝑖∗= ŵ + ∑ 𝑗 𝑦𝑗∗

El concepto de equilibrio de precios con transferencias requiere solamente que haya Una distribución de la riqueza tal que la asignación (𝑥∗ , 𝑦 ∗ ) y el vector de precios p ∈ ℝ𝐿 constituyan un equilibrio. Capta la idea del comportamiento del mercado de precios sin ninguna suposición sobre la determinación o los niveles de riqueza de los consumidores. Obsérvese que un equilibrio Walrasiano es un caso especial de equilibrio con transferencias. Corresponde al caso en que, para cada consumidor, el nivel de riqueza está determinado por el cociente vectorial inicial ω𝑖 y por las (θ , … , θ ) Sin más transferencias de riqueza, es decir, donde 𝑤 ∗ p · 𝑤 + ∑ θ p · 𝑦 } para todo i=1,…,I.

16. C El primer teorema fundamental de la economía del bienestar El primer teorema fundamental de la economía del bienestar establece las condiciones bajo las cuales el precio con las transferencias, y en particular cualquier equilibrio Walrasiano, es un óptimo de Pareto. Para las economías de mercado competitivas, proporciona una confirmación formal y muy general de la propiedad afirmada de la "mano invisible" de Adam Smith del mercado. Una suposición única y muy débil, la no-adscripción local de las preferencias (ver Sección 3.B), es todo lo que se requiere para el resultado. Notablemente, no necesitamos apelar a ningún supuesto de convexidad. De la sección 3B, recuerde la definición de las preferencias localmente no sedimentadas. (Definición 3.B3). Definición 16.C.1: La relación de la preferencia ≥𝑖 , en el sistema del consumo 𝑥𝑖 , es localmente no saturada, si se considera que para cada 𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 y cada uno ε > 0, hay un 𝑥𝑖′ ∈ 𝑋𝑖 tal que║𝑥′𝑖 − 𝑥𝑖 ║ ≤ ε y 𝑥𝑖′ ≥𝑖 𝑥𝑖 .

Intuitivamente, la condición de saturación local será satisfecha si hay algunos productos deseables. Obsérvese también una implicación significativa de la condición: si ≥𝑖 es continua y localmente no saturada, entonces cualquier conjunto cerrado de consumo 𝑋𝑖 debe ser ilimitado. De lo contrario, existiría necesariamente un punto de saciedad global (por lo tanto, local) (Véase el Ejercicio 16.C.1). Proposición 16.C.1: (Primer Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar) Si las preferencias son localmente no saciadas, y si (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑝) , es un equilibrio de precios con las transferencias y que la asignación (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) es Pareto óptimo. En particular, cualquier asignación de equilibrio Walrasiano es óptima de Pareto. Prueba: Suponer que (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑝) es un precio de equilibrio con las transferencias y que el nivel de riqueza asociado es(𝑤1 , … , 𝑤𝐼 ) . Recordar que∑𝑖 𝑤𝑖 = p · ŵ + ∑ 𝑗 p · 𝑦𝑗∗ . La parte de maximización de preferencias de la definición de un equilibrio de precios con transferencias [es decir, la parte (ii) de la Definición 16.B.4] implica que Si 𝑥𝑖 >𝑖 𝑥𝑖∗ (16.C.1) luego p · 𝑥𝑖 > 𝑤𝑖·

CAPÍTULO 16: EQUILIBRIO Y SUS PROPIEDADES BÁSICAS DE BIENESTAR Es decir, cualquier cosa que sea estrictamente preferida por el consumidor i, para 𝑥𝑖∗ , debe ser inasequible para ella. La significación de la condición de saciedad local para el propósito a mano es que con él (16.C.1) implica una propiedad adicional. Si 𝑥𝑖 ≥𝑖 𝑥𝑖∗

luego p · 𝑥𝑖 ≥𝑖 𝑤𝑖·

(16.C.2)

Es decir, cualquier cosa que sea al menos tan buena como 𝑥𝑖∗ es, en el mejor de los casos, asequible, esta propiedad es fácilmente verificada (se le pide que lo haga en el ejercicio 16.C.2). Ahora considere una asignación (x, y) que el Pareto domina (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ). Esto es, 𝑥𝑖 ≥𝑖 𝑥𝑖∗ Para todo i y 𝑥𝑖 >𝑖 𝑥𝑖∗ para algún i. Es (16.C.2), Debemos tener p · 𝑥𝑖 ≥ 𝑤𝑖 para todo i, y es (16.C.1) p · 𝑥𝑖 > 𝑤𝑖 para algún i. Por lo tanto, ∑𝑖 p · 𝑥𝑖 > ∑𝑖 𝑤𝑖 = p · ŵ + ∑ 𝑗 p · 𝑦𝑗∗

Además, porque 𝑦𝑗∗ la maximización de los beneficios para la empresa j en el vector de precios p,

Figura 16.C.1 Un equilibrio de precios con transferencias que no sea un óptimo de Pareto.

Tenemos p · ŵ + ∑ 𝑗 p · 𝑦𝑗∗ ≥ p · ŵ + ∑𝑗 p · 𝑦𝑗. Así,

∑𝑗 p · 𝑥𝑖 > p · ŵ + ∑𝑗 p · 𝑦𝑗

(16.C.3)

Pero entonces (x, y) no puede ser factible. De hecho, ∑𝑖 𝑥𝑖 = ŵ + ∑ 𝑗𝑦𝑗 implica ∑ 𝑖p · 𝑥𝑖 = p · ŵ + ∑𝑗 p · 𝑦𝑗, lo que contradice (16.C.3). Se concluye que la asignación de equilibrio (𝑥∗ , 𝑦 ∗ ), debe ser óptima de Pareto.) ▀ La idea central en la demostración de la Proposición 16.C.1 se puede expresar de la siguiente manera: En cualquier asignación factible (x, y), el costo total de los paquetes de consumo (𝑥1 ,…,𝑥𝐼 ). Evaluados a precios p, Debe ser igual a la riqueza social a esos precios, p · ŵ + ∑𝑗 p · 𝑌𝑗. Además, debido a que las preferencias son localmente no sedimentadas, si (x, y) domina Pareto (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ), luego el costo total de los paquetes de consumo (𝑥1 ,…,𝑥𝐼 ) evaluados a precios p, debe ser

SECCIÓN 16. D EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ECONOMÍA DEL BIENESTAR igual a la riqueza social a esos precios, debe exceder el costo total de la asignación de consumo de equilibrio, p· ∑𝑖 𝑤𝑖 = p · ŵ + ∑ 𝑗 p · 𝑦𝑗∗ . Sin embargo, para la maximización de la utilidad de la Definición 16 B.4, No hay producción tecnológicamente factible, es decir, niveles que alcanzan un valor de la riqueza social a precios p superiores de p · ŵ + ∑ 𝑗p · 𝑦𝑗∗ . La importancia de la suposición de no saciedad para el resultado se puede ver en La Figura 16.C.1, que representa una caja de Edgeworth donde falla la no-saciedad local para el consumidor 1 (observe que la "curva de indiferencia" del consumidor 1 es gruesa) y donde la asignación 𝑥 ∗ , un equilibrio de precio para el vector p= (𝑝1 , 𝑝2 ) (Deberías verificar esto), No es Pareto óptimo. El consumidor 1 es indiferente acerca de un movimiento a la asignación x, y el consumidor 2, que tiene preferencias fuertemente monótonas, es estrictamente mejor (Véase el ejercicio 16.C.3 para un primer teorema del bienestar compatible con saciedad). Hay que señalar dos puntos sobre la proposición 16.C.1. Primero, aunque el resultado pueda parecer derivado de hipótesis muy débiles., nuestra estructura teórica ya incorpora dos suposiciones sólidas: la cotización universal de los precios de los productos básicos (exhaustividad del mercado) y la toma de precios por parte de los agentes económicos. En la Parte III, estudiamos una serie de circunstancias (externalidades, poder de mercado e información asimétrica) en las que estas condiciones no se cumplen y los equilibrios de mercado no son óptimos de Pareto. En segundo lugar, el primer teorema del bienestar es totalmente silencioso sobre la conveniencia de la asignación de equilibrio desde un punto de vista distributivo. En la sección 16.D, estudiamos el segundo teorema fundamental de la economía del bienestar. Ese resultado, una conversación parcial con el primer teorema del bienestar, nos da las condiciones bajo las cuales cualquier objetivo de distribución deseado puede lograrse mediante el uso de mercados competitivos (de toma de precio).

16. D El Segundo Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar El segundo teorema del bienestar fundamental da condiciones bajo las cuales una asignación óptima de Pareto puede ser apoyada como un equilibrio de precios con las transferencias. Es una conversación del primer teorema del bienestar en el sentido de que nos dice que, bajo sus suposiciones, podemos lograr cualquier asignación óptima de Pareto como un equilibrio basado en el mercado utilizando un esquema de distribución de riqueza de suma global apropiada. El segundo teorema del bienestar es más delicado que el primero, y su validez requiere supuestos adicionales. Para ver esto, reconsidere algunos de los ejemplos discutidos en el Capítulo 15. En la Figura 15.C.3 (a) vimos que en una economía de un solo consumidor, una asignación óptima de Pareto puede no ser soportable como un equilibrio si la tecnología de la empresa no es convexo. La Figura 15.B.14 representó un fracaso similar en una economía de caja de dos consumidores de Edgeworth, donde las preferencias de un consumidor no eran convexas. La rareza tendrá que desempeñar un papel central en el establecimiento del segundo teorema del bienestar....