Resumen Gráfico Matemáticas PDF

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Resumen Gráfico de algunos temas simples de mates: repaso...

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MATRICES MATRICES ESPECIALES Matriz columna Matriz cuadrada

Matriz fila )

(

(

n: filas m: columnas

Solo el Matrices Cuadradas Diagonal Principal

)

(

(

)

Tamaño: nx1

Tamaño: 1xm

Matriz traspuesta (

)

Tamaño: nxn Matriz de orden n

(

)

)

Si A es una matriz 3x2, At es la matriz 2x3 (las columnas se intercambian por filas y las filas por columnas)

MATRICES CUADRADAS Matriz triangular Matriz diagonal La Matriz identidad Todo elemento a Todo elemento Todo elemento de ) ) ( ( ( uno u otro lado de que no es de la dp la dp es 1 y los que ) ( la dp es nulo (0) es nulo (0) no nulos (0) OPERACIONES CON MATRICES Suma (sólo se pueden sumar matrices de = tamaño) Producto por un ESCALAR Producto de Matrices (es posible si las columnas de la La suma se produce elemento a elemento El escalar multiplica por cada elemento 1ª matriz coinciden con las filas de la 2ª matriz) Matriz simétrica Matriz idéntica ) a ambos lados de la dp

(

)

)

(

(

)

(

)

)

(

PROPIEDADES DE MATRICES Asociativa (

)

(

Conmutativa

)

(

( 󰇍

󰇍

Opuesta de una matriz )

Asociativa )

(

(

) (

)

(

MATRIZ INVERSA

ECUACIONES MATRICIALES (No existe la división de matrices) ) Se investiga el tamaño de la matriz Se mantiene el orden en el producto RANGO DE UNA MATRIZ 󰇍 El rango de una matriz es el número de filas linealmente 󰇍 independientes de una matriz, nº filas no nulas en Gauss FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA (

) (

) (

)

)

Distributiva (

( ) ( )

)

SISTEMAS MATRICIALES (Método de Reducción)

()

( )

MATRIZ AMPLIADA (

)

DETERMINANTES Número asociado a una matriz cuadrada Mnxn Matriz 2x2

||

Matriz 3x3

Matriz 4x4 (desarrollo por una línea en M3x3)

Menor complementario: Matriz resultante de quitar una fila y columna de una matriz  Adjunto: Determinante del menor complementario (siempre que Mnxn), asociado con su signo

 ) ||

(

) ||

(

La diagonal principal signo + y demás alternados (+-) Desarrollo por una línea ( Asociados) |

|

|

|

|

|

|

-Hay que intentar, sobre todo, que antes de hacer el desarrollo por una línea, en matrices 4x4 que haya el mayor nº de 0 (hacer previamente Método de Gauss)

|

PROPIEDADES El determinante de una matriz u el de su transpuesta es el mismo

Si una línea (fila-columna) es nula, su determinante es nulo (det = 0) || |

|| | | Si se aplica el Método de Gauss, el determinante no varía (Comb. Lineal) |

|

|

Si se multiplica una línea por un , el det. queda multiplicado por ese |

|

| |

|

El intercambio entre filas paralelas provoca el cambio del signo del det.

|

|

|

|

|

Si dos líneas paralelas son proporcionales, su determinante es nulo

|

| | | | | si A, B son de orden n | |

|

| ||

||

||

TEOREMA ROUCHÉ-FRÖBENIUS

||

()

[ ( )]

Discutir un sistema según sus soluciones (n=número de incógnitas). Forma matricial del sistema Sistema Incompatible (no solución) Sistema Compatible Determinado (1 solución) Sistema Compatible Indeterminado (∞ soluciones) ()

() ( ) -Resolución: Sustitución incógnitas por parámetros -Grado de libertad: Indica nº de parámetros [n-rang(A)]

( )

()

( )

REGLA DE CRAMER ||

| |

||

| |

Resolución de Sistemas Compatibles Determinados (con parámetros SIEMPRE Cramer) ||

| | Resultado de quitar la 1ª columna de A y en su lugar colocar la de los términos independientes

| | Resultado de quitar la 2ª columna de A y en su lugar colocar la de los términos independientes

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO PUNTOS

VECTORES (

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 √

) || ( )  (

󰇍󰇍

)

||



PROPIEDADES Asociativa (󰇍 ) Conmutativa

󰇍 (

󰇍| | |

󰇍 

󰇍 )

(

󰇍)

(



(

󰇍 

|󰇍| ||



) ( Dados ( ) 󰇍󰇍󰇍󰇍 ( ) PUNTOS ALINEADOS 󰇍󰇍󰇍󰇍 ( ) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ( )

󰇍   󰇍 PRODUCTO ESCALAR

󰇍  |

󰇍  |

󰇍

󰇍 

PRODUCTO VECTORIAL |

󰇍

󰇍  |

󰇍 | | |

(

󰇍  )

POSICIONES RELATIVAS Y ÁNGULOS

) (

) (

PUNTO MEDIO M )

)

P’ SIMÉTRICO A P CON RESPECTO A Q ( ) ( )

( ) ECUACIONES DE LA RECTA ) ( ) Dado ( Ecuaciones paramétricas {

}

Ecuación continua

PROPIEDADES PRODUCTO VECTORIAL 1. 2. 3. 4. 5.

󰇍 󰇍  󰇍 ( 󰇍 ) |󰇍 | 󰇍 󰇍 ( 󰇍 ) 󰇍 

Dados 󰇍  󰇍󰇍 1. ,󰇍  󰇍󰇍 -

󰇍 󰇍󰇍

PRODUCTO MIXTO

2. ,󰇍  󰇍󰇍 - | 3. ,󰇍  󰇍󰇍 -

Ecuación implícita (Intersección planos no II)

󰇍 ( 󰇍󰇍 ) *

|

ECUACIONES DEL PLANO ) ( ) ) Dado ( 󰇍( Ecuaciones paramétricas {

󰇍  󰇍 +

} |

Ecuación normal 󰇍 ( ( ) ( ) ( ) Ecuación general

)

Entre dos rectas 4 casos:  COINCIDENTES  PARALELAS ( )  SECANTES( )  SE CRUZAN A. Estudiar  y puntos en común 1. 1 pto en común: SECANTES 2. ∞ ptos en común: COINCIDENTES 3. 0 ptos en común: PARAL-SE CRUZAN B. Estudiar rangos (Ec. Implícitas) 1. Rang M=Rang M*=2: COINCIDENTES (SCI) 2. Rang M=2; Rang M*=3: PARALELAS (SI) 3. Rang M=Rang M*=3: SECANTES (SDC) 4. Rang M*=4: SE CRUZAN (SI) (En el caso 1,2 y 3 | | ) Entre dos planos 3 casos: (Ec. General) 1. Rang M=Rang M*=1 (SCI): COINCIDENTES 2. Rang M*=2; Rang M=1 (SI): PARALELOS 3. Rang M=Rang M*=2 (SCI): SE CORTAN Entre recta y plano 3 casos: 1. SECANTES: 󰇍  2. PARALELOS: 󰇍  3. CONTENIDA: 󰇍  --------ÁNGULOS--------

Entre dos rectas

|

( ) (   )

|  |

Entre dos planos

|

Entre recta y plano

|

(  ) ( 󰇍 󰇍 )

( )

( 󰇍 )

| | | |

󰇍 󰇍 | | 󰇍 | | 󰇍 |

󰇍  | | 󰇍 | | |

DISTANCIAS Entre dos puntos 󰇍 󰇍󰇍󰇍 |

( ) |

Entre punto y recta 1.

( )

)

(

(punto de intersección de r y el plano ⊥ r que pasa por P)

2. FÓRMULA ( ) 3.

( ) Buscar

|

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

|

||

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

genérico de r

Entre punto y plano 1. FÓRMULA ( ) 2.

( )

|

|

)

(

(

)

√ (punto de intersección de r con π, que es ⊥ a π y pasa por P)

Entre dos rectas -Si r,s son PARALELAS: ( )

)

(

-Si r,s SE CRUZAN: 1.

Se contiene s en un plano paralelo a r. Se toma un punto cualquiera de r, y distancia punto-plano

2.

⊥

⊥

La distancia entre ambas rectas es el módulo de los

puntos intersección (Puntos GENÉRICOS) 3. FÓRMULA ( )

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ]|

|[ | |

Entre recta y plano (NO SECANTES) -Si el plano contiene a la recta, la distancia es 0 -Si plano y recta son PARALELOS: ( )

(

) Pto-plano

Entre dos planos -Si ambos planos son coincidentes, la distancia es 0 -Si ambos planos son PARALELOS: ( )

(

) Pto-plano

ÁREAS Y VOLÚMENES Paralelogramo: Triángulo: Paralelepípedo:

| 󰇍 | ⁄ | 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 󰇍 | |[

󰇍

󰇍 ]|

Tetraedro:

⁄ |[ 󰇍

󰇍 ]|

TABLA DE DERIVADAS

()

(

(

) ()

) ()

FUNCIONES SIMPLES

(

)

(

) ()

FUNCIONES COMPUESTAS

(

√

√

)

√

√

(

)

√

√

√

√...