Tema 3 - Magnetostática PDF

Preview

Summary

TEMA 3. MAGNETOSTÁTICA####### La existencia del fenómeno del magnetismo se puso de manifiesto con la atracción que el imán####### natural (magnetita) ejerce sobre pequeñas limaduras de hierro.####### En 1269, P Maricourt descubrió que si una aguja se deja libremente en distintas posiciones sobre####...

Description

TEMA 3. MAGNETOSTÁTICA La existencia del fenómeno del magnetismo se puso de manifiesto con la atracción que el imán natural (magnetita) ejerce sobre pequeñas limaduras de hierro. En 1269, P.de Maricourt descubrió que si una aguja se deja libremente en distintas posiciones sobre un imán natural esférico, se orienta a lo largo de las líneas que, rodeando el imán, pasan por puntos situados en extremos opuestos de la esfera. Estos puntos fueron llamados polos del imán. Posteriormente, muchos experimentadores observaron que todo imán, cualquiera que sea su forma, posee dos polos, llamados polo norte y polo sur, en donde la fuerza ejercida por el imán tiene su máxima intensidad. También se observó que los polos iguales de dos imanes se repelen entre sí y los polos distintos se atraen mutuamente. En 1600, W. Gilbert descubrió que la Tierra es un imán natural con polos magnéticos próximos a los polos geográficos norte y sur. Como el polo norte de la aguja de una brújula apunta al polo sur de un imán, lo que llamamos polo norte de la Tierra es realmente un polo sur magnético.

Aunque las cargas eléctricas y los polos magnéticos son semejantes en muchos aspectos, hay una diferencia importante: los polos magnéticos siempre se presentan por parejas. Si se rompe un imán por la mitad, aparecen polos iguales y opuestos a cada lado del punto de rotura; es decir aparecen dos imanes, cada uno con un polo norte y un polo sur.

FUERZA EJERCIDA POR UN CAMPO MAGNÉTICO

 La existencia de un campo magnético B en un punto del espacio puede demostrarse con una brújula. Si existe un campo magnético, la aguja se alineará en la dirección de este campo.

Experimentalmente,

F  q(v  B )  La fuerza magnética es proporcional a la carga q de la partícula (con su signo).  La fuerza magnética es proporcional a la velocidad de la partícula.

 La fuerza magnética es perpendicular al campo magnético y a la velocidad.  La fuerza es proporcional a sen θ, en donde θ es el ángulo que forman el vector v y el vector B. La unidad del SI del campo magnético es el Tesla (T). N  1N /( A  m) 1T  1 C .m / s Pero esta unidad es bastante grande. El campo magnético terrestre es algo menor que 10-4T en la superficie de la Tierra. Los campos magnéticos próximos a potentes imanes permanentes suelen ser de 0.1 T a 0.5 T y los grandes electroimanes de laboratorio y de la industria producen campos de 1 a 2 T. Campos magnéticos superiores a 10 T son muy difíciles de producir, pues las fuerzas magnéticas resultantes romperían los imanes en pedazos o los aplastarían. Una unidad usada habitualmente, es el gauss (G) 1G=10-4T. Ejemplo: Un electrón se mueve con una velocidad 3.75×103 en el plano xy formando un ángulo de 60º con el eje x, y un ángulo de 30º con el eje y. Un campo magnético de 0.85 T está dirigido en el sentido positivo del eje de las y. Hallar la fuerza que actúa sobre el electrón. Solución: 2.55×-16N -Fuerza magnética que actúa sobre un elemento de corriente La figura muestra un segmento de alambre corto de área de sección transversal A y de longitud L  por el que circula una corriente I. Si el alambre  está en el  interior de un campo magnético B la  fuerza magnética sobre cada carga es q v d  B , siendo vd la velocidad de desplazamiento de los portadores de carga, que es la misma que su velocidad media. El número de cargas en el interior del segmento de alambre es el número n de cargas que hay por unidad de volumen multiplicado por el volumen AL. Así pues, la fuerza total sobre el segmento del cable es    F  (qv d  B ) nAL    F  IL  B I  nqvd A

Generalizando al caso de un conductor de forma arbitraria en el interior de un campo magnético cualquiera.

dF  Idl  B Se halla la fuerza total que actúa sobre el conductor sumando (o integrando) respecto a todos los elementos de corriente.



   F   I dl  B



l

 El campo magnético B puede ser representado mediante líneas de campo magnético. Existen, sin embargo, dos importantes diferencias entre las líneas de campo eléctrico y las líneas de campo magnético:

1) Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica actuando sobre una carga positiva, mientras que las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética sobre una carga móvil. 2) Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas; las líneas de campo magnético son cerradas. Ejemplo: Un alambre curvado en forma semicircular de radio R se encuentra en el plano xy. Por él circula una corriente I del punto a al punto b. Un campo magnético uniforme B  Bk está dirigido perpendicularmente al plano de la espira. Determinar la fuerza que actúa sobre la parte semicircular del alambre.

Solución: F  2 IRBj

MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO MAGNÉTICO La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por lo tanto, la fuerza magnética modifica la dirección de la velocidad, pero no su módulo. Por lo tanto, los campos magnéticos no realizan trabajo sobre las partículas y no modifican su energía cinética. En el caso en que la velocidad de una partícula sea perpendicular a un campo magnético uniforme, la partícula se mueve describiendo una órbita circular. La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que la partícula adquiera la aceleración v2/R del movimiento circular. Si B es uniforme F  ma qvB  m

v2 R

r

mv qB

El período del movimiento se llama periodo del ciclotrón T

2r 2 (mv / qB ) 2 m   v v qB

La frecuencia del movimiento circular se llama frecuencia del ciclotrón

f 

qB 1  T 2 m

Si una partícula cargada entra en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme, con una velocidad que no es perpendicular B a , no existe una componente de la fuerza,  ni por lo tanto tampoco de la aceleración, que sea paralela a B , de modo que la componente de  velocidad paralela a B se mantiene constante. La trayectoria de la partícula es una hélice.

Ejemplo: Un protón de masa m = 1.67×10-27kg y carga q = 1.6×10-19C se mueve en un círculo de radio r = 21 cm, perpendicular a un campo magnético B = 0.4 T. Determinar: a) el período del movimiento y b) la velocidad del protón. Solución: 1.64×10-7s, 8.05×106 m/s.

Selector de velocidades Sirve para seleccionar partículas de un haz con una velocidad determinada. Un haz de partículas de carga q y masa m entra en una región de campo eléctrico y magnético perpendiculares. La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve en el interior de un campo magnético uniforme puede equilibrarse por una fuerza electrostática si se eligen adecuadamente los valores, direcciones y sentidos de los campos magnético y eléctrico. Puesto que la fuerza eléctrica tiene la dirección y sentido del campo eléctrico (en el caso de partículas positivas) y la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares entre sí para que se contrarresten estas fuerzas. Una región de estas características se dice que tiene los campos cruzados.

    F  q E  qv  B

v Relación entre carga-masa (experimento de Thomson) Básicamente consiste en un acelerador y un selector de velocidades.

E B

E p  qV E K  1 / 2mv

v

2

v

2 qV m

2qV E  m B

q E2  m 2 VB

Espectrómetro de masas Diseñado por F.W. Aston en 1919, fue desarrollado para medir las masas de los isótopos.

1 2 mv  qV 2 mv r qB

m B 2r 2  q 2V

EFECTO HALL Las cargas cuando se mueven en un campo magnético experimentan una fuerza perpendicular a su movimiento. Por tanto, si las cargas se desplazan en un alambre conductor, serán impulsadas hacia un lado del alambre. Debido a esto se produce una separación de carga en el alambre denominado Efecto Hall. El efecto Hall nos permite determinar el signo de la carga en un portador y el número de portadores n por unidad de volumen del conductor. El efecto Hall nos proporciona un método adecuado para medir campos magnéticos. Una medida del signo de la diferencia de potencial entre la parte superior e inferior de la cinta nos dirá el signo de los portadores de carga. En los semiconductores los portadores pueden ser los electrones o huecos positivos. Una medida del signo de la diferencia de potencial nos dice cuáles son los dominantes en un semiconductor particular. Para un conductor metálico normal resulta que la parte superior de la cinta está a menos potencial que la parte inferior, lo cual significa que es portadora de carga negativa. Si la parte superior de la cinta está a mas potencial que la parte inferior entonces los portadores son cargas positivas. La diferencia de potencial entre la parte superior e inferior se llama Voltaje Hall y puede calcularse en función de la velocidad de desplazamiento.

Fma g  Fele qvd B  qE

E  vd B

VH  Ew  vd Bw

I  nqvd A

n

I Aqvd



I wtevd

n

IB etVH

Aunque el voltaje es ordinariamente muy pequeño, proporciona un método conveniente para medir campos magnéticos. IB VH  net Una cinta puede calibrarse midiendo el voltaje para una determinada intensidad. La intensidad de un campo magnético B desconocido puede entonces medirse situando la cinta en este campo, haciendo circular una corriente por la cinta y midiendo VH.

CAMPO MAGNÉTICO MOVIMIENTO

CREADO

B

POR

0

4

q

CARGAS PUNTUALES EN

v  ur r2

1. La magnitud de B es proporcional a la carga q y a la velocidad v y varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la carga al punto del campo. 2. El campo magnético es cero a lo largo de la línea de movimiento de lacarga. En otros puntos es  proporcional a senθ, siendo θ el ángulo formado por el vector velocidad v y el vector ur desde la carga al punto del campo.    3. La dirección de B es perpendicular a ambos, la velocidad v y el vector u r . Posee la dirección   dada por la regla de la mano derecha cuandov gira hacia ur

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES ELÉCTRICAS: LEY DE BIOT- SAVART

dB 

0

4

I

dl  u r r2

Esta ley es análoga a la ley de Coulomb correspondiente al campo eléctrico creado por una carga  puntual. La fuente del campo magnético es una carga móvil q v o un elemento de corriente Idl , del mismo modo que la carga q es la fuente del campo electrostático. El campo magnético decrece con el cuadrado de la distancia a la carga móvil o elemento de corriente, de igual modo que el campo eléctrico decrece con el cuadrado de la distancia a una carga puntual. Sin embargo, los aspectos direccionales de los campos eléctricos y magnéticos son completamente distintos. Mientras que el campo eléctrico apunta en la dirección radial desde la carga puntal al punto donde observamos  el   campo, el campo magnético es perpendicular a u y v , en el caso de las cargas puntualesu r odl en r el caso de un elemento de corriente. Ejemplo: Calcular el campo magnético creado por la corriente en el punto P de la figura. Sol: 2.35×10-5T (hacia dentro)

20 cm 15 A P

Campo magnético debido a una espira de corriente En el centro

dB 

B

B

 0 Idlsen 4 R 2

0 I dl 4 R 2 

0I 2r

En el eje 



 I dl  r  0 Idl dB  0  2 2 r 4 4 ( x  R 2 )  Idl  R  dB x  dBsen   0 2 2  2  4 x  R   x  R 2 B x   dBx 

Bx 

0 4



 0 IRdl   4 ( x2  R2 )3 / 2 

0  IR IR dl dl  0 3 / 2 4  x 2  R 2  4  x 2  R 2 3 / 2 

2  R2 I 3

(x 2  R 2 )

2

Ejemplo Una bobina circular de radio 5 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano x = 0 centrada en el origen. Por ella circula una corriente de 4ª en sentido antihorario. Determinar el campo magnético sobre el eje x en a) x = 0, b) x = 15 cm, c) x = 3m. Solución: 6.03×10-4 T, 1.91×10-5 T, 2.791×10-9 T

Campo magnético debido a una corriente en un solenoide Un solenoide es un alambre enrollado en forma de una hélice con espiras muy próximas entre sí. El solenoide se usa para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región rodeada por sus espiras. Desempeña en magnetismo un papel análogo al de un condensador de placas paralelas que proporciona un campo electrostático uniforme e intenso entre sus placas. dBx 

0 2 R 2 nIdx 4  x 2  R2 3 / 2

dx 0 2 2nIR  2 2 3/ 2 4 x x  R  x2

Bx 

1

 1 x1 x2  Bx  0 nI   x2  R 2 2 x22  R 2  1

   

Para un solenoide largo, en el cual x1 y x2 son mucho mayores que R, los dos términos del paréntesis tienden a valer 1.

Bx  0 nI

Solenoide largo L>>R Si el origen está en un extremo del solenoide x1 o x2 será cero y por lo tanto Bx= 1/2µ0nI

Por lo tanto la magnitud B en un punto próximo a cualquiera de los extremos de un solenoide largo, es aproximadamente igual a la mitad que en los puntos interiores del solenoide, lejos de los extremos.

Ejemplo: Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4A. Solución: 1.50×10-2 T

Campo magnético debido a una corriente en un conductor rectilíneo dBx 

0 Idx  Idx sen  0 2 cos 2 4 r 4 r

dBx 

 I B  0 ( sen1  sen2 ) 4 R

0 Ir 2  I cos d  0 cos d 2 4 r R 4 y

B

0 I 2 R

Si el conductor es muy largo θ1 y θ2≈90º Ejemplo: Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada, de lado L=50 cm, por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A.

Solución: B = 3.39×10-7T

FUERZA MAGNÉTICA AMPERIO

ENTRE

CORRIENTES.

DEFINICIÓN

DEL

 Consideremos la fuerza que actúa sobre un segmento dl 2 por el que circula la corriente I2.

   dF2  I 2 dl 2  B1 dF2  I 2dl 2 B1

dF2  I 2 dl2

0 I1 2 R

dF2 0 I1 I2  2 R dl2 El ampere es aquella corriente constante que si se mantiene en dos conductores rectos y paralelos de longitud infinita y sección transversal circular despreciable, situados en el vacío con una separación de un metro, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2×10-7 N/m de longitud.

LEY DE AMPÉRE Relaciona la integral de línea de la componente tangencial Bt alrededor de una curva cerrada C con la corriente IC que atraviesa la superficie limitada por dicha curva. Esta relación puede utilizarse para obtener una expresión del campo magnético en situaciones con un alto grado de simetría.   B dl B  t    dl   0 I C C

C

C cualquier curva cerrada, donde IC es la corriente neta que penetra en el área S limitada por la curva C. La ley de Ampère se cumple para cualquier curva siempre y cuando las corrientes sean estacionarias y continuas.

Aplicaciones de la ley de Ampére. Campo creado por una corriente rectilínea indefinida B  dl   0 IC C

B

 0I 2 r

Ejemplo: Un alambre largo y recto de radio a transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor. Determinar el campo magnético dentro y fuera del alambre.

Solución: B 

0 Ir 2 R 2 B

rR

0 I 2 r

rR

Campo creado por un solenoide muy largo

El campo es uniforme dentro del solenoide y nulo en el exterior. La curva cerrada C es el rectángulo de lados a y b. La corriente que pasa a través de esta curva es la corriente I de cada vuelta multiplicada por el número de vueltas existentes en la longitud a. Si el solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud, el número de vueltas en la longitud a, será na, y la corriente a través de la curva rectangular será IC= Ina.   B dl B  t    dl  Ba   0 I C   0Ina C

C

B  0 nI

Ejemplo: Un solenoide tiene un campo magnético B = 0.5T cuando conduce una corriente de 400A. El solenoide mide 8 m de longitud. Calcula el número de vueltas del solenoide. Solución: 8000 vueltas

Campo creado por un arrollamiento toroidal N vueltas de conductor, cada una transportando una corriente I. Por simetría B es tangente al círculo de radio r y constante en magnitud en todos los puntos de la circunferencia.

  B dl B  t    dl  B 2r   0 I C C

C

I C  NI

B

 0 NI 2 r

B=0

a...