Văn hoá doanh nghiệp và đạo đức kinh doanh PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌCTS. BÙI XUÂN DIỆUBài GiảngGIẢI TÍCH III (lưu hành nội bộ)CHUỖI- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬLAPLACETóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giảiHà Nội - 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng 8 năm 2017)Tập Bài giảng vẫn đang...

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

TS. BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng G IẢI

TÍCH

III

(lưu hành nội bộ) C HUỖI - P HƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN

- P HƯƠNG

PHÁP TOÁN TỬ

Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải

Hà Nội - 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng 8 năm 2017)

L APL ACE

Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ “[email protected]” Hà Nội, Ngày 28 tháng 8 năm 2017.

MỤC Mục lục .

LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1 . Chuỗi (11LT+11BT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1

Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2

Chuỗi số dương

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1 2.2

Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11

2.3

Tiêu chuẩn d’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4

Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5

Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . .

21

2.6

Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26

3.2

Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4

Phép nhân chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.5

Khi nào dùng tiêu chuẩn nào? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.6 3.7

Ví dụ về chuỗi bán hội tụ không phải là chuỗi đan dấu . . . . . . . . Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 37

3

4

5

Chuỗi hàm số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.1

Chuỗi hàm số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2

Chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.4 4.5

Một số chú ý về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.1

Các tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.2

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .

58

1

2

MỤC LỤC

6

5.3

Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.4 5.5

Ứng dụng của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 70

6.2 6.3 6.4

71 75 78

Khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ bất kỳ . . . . . . . . . . . . .

6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì . . . . . . . . . 80 6.6 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Chương 2 . Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) . . . . . . . . . . . . . . 85 1 2

3

Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 88

2.1 2.2

Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 89

2.3 2.4

Phương trình vi phân với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 91

2.5 2.6 2.7

Phương trình đưa được về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 92 94

2.8 2.9

Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 96

2.10 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 99

3.1 3.2 3.3

Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 99 Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4 3.5

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng số . . . . . . . 108 PTVP tuyến tính đưa được về PTVP tuyến tính với hệ số hằng . . . . 112

3.6 3.7 3.8

Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Phương trình Chebysev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ

3.9

số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4

Đại cương về hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1 Các loại nghiệm của hệ PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Mối liên hệ giữa PTVP cấp n và hệ n PTVP cấp một . . . . . . . . . . 119

5

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2

MỤC LỤC 5.1

6

3 Hệ PTVP TT cấp một thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 Hệ PTVP TT cấp một không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3 PP biến thiên hằng số giải hệ PTVP TT cấp một . . . . . . . . . . . . 123 Hệ PTVP TT thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.1 Phương pháp đặc trưng . . . . . . . . . . . . . 6.2 Phương pháp khử . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 3 . Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + 7 BT) 1

2

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

125 127 129 131

Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.1 Phép biến đổi của đạo hàm, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu . . . 137

3

2.2 Phép biến đổi Laplace của hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) . . . . . . 139 2.3 Phép biến đổi Laplace của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4

3.1 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược của các hàm phân thức . . . . . . . . . . 142 Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.1 4.2 4.3

Tích chập - Phép biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . . 146 Vi phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Tích phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.4 4.5

Phép biến đổi Laplace của hàm Heaviside và tịnh tiến trên trục . . . 150 Bài toán giá trị ban đầu đối với PTVP có hệ số là hàm số . . . . . . . 152

Phụ lục .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Chương A . Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số bất kì . . . . . . . . . . . . . 155 Chương B . Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh . . . . . 163 Chương C . Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh hơn d’Alembert và Cauchy. . . . 167 1 2

lim

n→+∞

lim

n→+∞

an+1 an

√ n

= 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn d’Alembert . . . . . . 167

an = 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . 170

3

4

MỤC LỤC

4

1

CHƯƠNG CHUỖI (11LT+11BT) §1. ĐẠI

CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ

Định nghĩa 1.1. Cho {an }∞ n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · ·

được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là

∞ P

an , trong đó an được gọi là số hạng tổng quát

n=1

và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. i) Nếu dãy số {Sn } là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói chuỗi số n→∞

có tổng bằng S và viết

∞ X

∞ P

an là hội tụ và

n=1

an = S.

n=1

ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số

∞ P

an là phân kỳ.

n=1

Ví dụ 1.1. Hãy xét ví dụ trực quan đầu tiên về chuỗi số là như sau. Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Chia đôi khoảng này ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dài bằng 1/2 . Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được hai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4 . Tiếp tục kéo dài quá trình này ta sẽ được chuỗi số sau: 1 1 1 1 = + + ··· + n + ··· 2 4 2 Ví dụ 1.2. Xét chuỗi số sau: 1 + 2 + ··· + n + ··· 5

6

Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)

Chuỗi số này có tổng riêng thứ n bằng n(n + 1)/2 nên tiến ra vô cùng khi n tiến ra vô cùng. Nói cách khác, chuỗi số này là phân kỳ. Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân

∞ P

aq n = a + aq +

n=0

aq 2 + · · · Ta có

Do đó Sn = a 1−q 1−q

(q 6= 1) và

n

   S n   qSn

= a + aq + · · · + aq n−1 = aq + aq 2 + · · · + aq n

lim Sn =

n→∞

   

nếu |q| < 1

a 1−q

  ∞

nếu |q| > 1.

• Trường hợp q = 1 dễ thấy chuỗi số đã cho phân kỳ vì có tổng riêng thứ n bằng an.    0, nếu n chẵn, nên không tồn tại lim Sn. • Trường hợp q = −1 ta có Sn = n→+∞   a, nếu n lẻ

Kết luận: chuỗi cấp số nhân đã cho hội tụ và có tổng bằng |q| ≥ 1 .

a 1−q

nếu |q| < 1 và phân kỳ nếu

Ví dụ 1.4. Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 . . . dưới dạng phân số. 2.317 = 2.3 +

17 17 17 + 5 + 7 + ··· 3 10 10 10

Sau số hạng đầu tiên thì chuỗi đã cho là một cấp số nhân với a = 2.317 =

17 103

1−

1 102

=

=

1 n

−

1 . n+1

∞ P

n=1

Ta có

1 n(n+1).

1 1 1 + ··· + + n(n + 1) 1·2 2·3       1 1 1 1 1 1 = − − − + + ··· 1 2 2 3 n n+1 1 . =1− n+1

Sn =

Do đó lim Sn = 1. n→+∞

6

và q =

1 . 102

Do đó

1147 . 495

Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính 1 n(n+1)

17 103

Trước hết ta phân tích

1. Đại cương về chuỗi số

7

Định lý 1.1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ). ∞ P an là hội tụ, thì lim an = 0. Nếu chuỗi số n→+∞

n=1

Chứng minh. Đặt Sn = a1 + a2 + · · · + an , ta có an = Sn − Sn−1 . Vì

∞ P

an hội tụ nên dãy số

n=1

{Sn }∞ n=1 là hội tụ. Đặt lim Sn = S. Vì n − 1 → ∞ khi n → ∞ nên lim Sn−1 = S. Do đó n→+∞

n→+∞

lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Chú ý 1.1.

1. Mệnh đề đảo của Định lý 1.1 là không đúng. Chẳng hạn như chuỗi điều hòa sau đây ∞ P 1 có lim n1 → 0 khi n → ∞, nhưng chuỗi này là phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 dưới n n=1

đây).

n→+∞

2. Định lý 1.1 cho chúng ta một điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ. Cụ thể, nếu lim an không tồn tại hoặc lim an 6= 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Chẳng n→+∞ n→+∞ ∞ P n n hạn như chuỗi số sau đây có lim 2n+1 = 12 nên chuỗi đã cho là phân kỳ. Tuy 2n+1 n=1

n→+∞

nhiên lưu ý rằng nếu lim an = 0 thì chúng ta chưa có kết luận gì về tính hội tụ của n→+∞ ∞ P chuỗi an . n=1

3. Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnh hưởng đến tính ∞ ∞ P P an và an sẽ hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó. Chẳng hạn như hai chuỗi số n=1

có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.  +∞ P 1 n ln 1 + Ví dụ 1.1. Chuỗi là phân kì bởi vì khi n → ∞ n n=1  1 →1 un = n ln 1 + n

n=2016

Ví dụ 1.2 (Giữa kì, K61). Xét sự hội tụ của các chuỗi số

a)

∞ P

(−1)n−1 cos n1 .

b)

n=1

∞ P

(−1)n−1 cos n2 .

n=1

Định lý 1.2 (Các phép toán trên chuỗi số hội tụ). Nếu

hội tụ, thì chuỗi số

∞ P

∞ P

an và

n=1

(αan + βbn ) cũng là một chuỗi số hội tụ và

n=1 ∞ ∞ ∞ X X X bn . (αan + βbn ) = α an + β n=1

n=1

7

n=1

∞ P

n=1

bn là các chuỗi số

8

Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)

Bài tập 1.1. Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính

∞  P

n(2016 n+1)

+

2017 2n

n=1



.

Bài tập 1.2. Xác định xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng của chúng.

(a) (b)

P∞

2 n=2 n2 −1

∞ P

n=1

(c)

∞ P

n=1

(d)

n ln n+1

∞ P

ln

n=1

[Gợi ý]

(a) Tách n22−1 =

1 n−1

−

∞ P

(e)

en n3

n=1



n2 +1 2n2 +3



(f)

∞ P

n=2

1 n 1+( 23 ) 1 . n3 −n

1 . n+1

n (b) Tách ln n+1 = ln n − ln(n + 1).

(c) Chứng minh lim

= ∞ (bằng cách chuyển qua giới hạn của hàm số lim ex3 = ∞).

en 3 n→∞ n

x

n→∞

Chuỗi đã cho phân kì.

(d) Chứng minh lim an = ln 21. Chuỗi đã cho phân kì. n→∞

(e) Chứng minh lim an = 1. Chuỗi đã cho phân kì. n→∞

(f) Tách

1 n3 −n

=

1 (n−1)n(n+1)

=

1 2

h

1 (n−1)n

−

1 n(n+1)

i .

Bài tập 1.3. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau       (a) 12 + 31 + 212 + 312 + · · · + 21n + 31n + · · ·

(b)

1 1.2.3

+ 2.31.4 + · · ·

(c)

1 9

2 225

+

+ · · · + (2n−1)2n(2n+1)2 + · · ·

[Gợi ý] ∞ P P∞ (a) Viết chuỗi số đã cho thành tổng của hai chuỗi cấp số nhân (hội tụ) 21n + n=1

1 = (b) Tách n(n+1)(n+2)

(c) Tách

n (2n−1)2 (2n+1)2

1 2

h

=

1 n(n+1)

1 8

h

i 1 − (n+1)(n+2) .

1 (2n−1)2

−

1 (2n+1)2

i .

8

n=1

1 . 3n

2. Chuỗi số dương

9

§2. CHU ỖI Định nghĩa 1.1. Chuỗi số

∞ P

SỐ DƯƠNG

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

n=1

Nhận xét rằng một chuỗi số dương là hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng Sn của chúng là bị chặn. Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu các tiêu chuẩn để một chuỗi số dương là hội tụ.

2.1 Tiêu chuẩn tích phân Định lý 2.1. Cho f (x) là một hàm số liên tục, Z ∞dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và an = f (n). ∞ P Khi đó chuỗi số an và tích phân suy rộng f (x)dx có cùng tính chất hội tụ hoặc phân n=1

1

kỳ. Nói cách khác, Z ∞ ∞ P an cũng là hội tụ. f (x)dx là hội tụ thì i) Nếu n=1

1

ii) Nếu

Z

∞

f (x)dx là phân kỳ thì

∞ P

an cũng là phân kỳ.

n=1

1

Chứng minh. Vì f (x) là hàm số giảm nên un+1 = f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n) = un ,

x ∈ [n, n + 1], n = 1, 2, · · ·

Lấy tích phân từ n đến n + 1 ta được un+1 ≤

n+1 Z

f (x)dx ≤ un ,

n = 1, 2, · · ·

n

Lấy tổng từ 1 đến M − 1 ta được u2 + u3 + · · · + uM ≤

Z2

f (x)dx +

1

Z3

f (x)dx + · · · +

2

ZM 1

i) Nếu

Z

∞

f (x)dx ≤ u1 + u2 + · · · + uM −1 .

f (x)dx hội tụ, tức tồn tại lim

Z

M →∞ 1

0

f (x)dx ≤ u1 + u2 + · · · + uM −1

M −1

hay u2 + u3 + · · · + uM ≤

ZM

M

(1.1)

f (x)dx = S thì từ bất đẳng thức (1.1) ta

có SM − a1 = u2 + u3 + · · · + uM là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi S nên tồn tại ∞ P lim (SM − a1 ) = A. Chuỗi an hội tụ và có tổng bằng A + a1 .

M →∞

n=1

9

10

Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT) Z

∞

f (x)dx phân kì, trong trường hợp này vì hàm f (x) dương nên điều này có Z M f (x)dx = +∞. Bất đẳng thức (1.1) su...