WIS samenvatting PDF

Preview

Summary

Download WIS samenvatting PDF

Description

DEEL 2: TOEPASSINGEN Al vanaf het eerste leerjaar komen toepassingen voor. wij spreken vaak van vraagstukken, maar die term vinden we in het leerplan niet terug. Wat we verstaan onder vraagstukken, vinden we in het leerplan enerzijds terug onder toepassingen bij de verschillende leerdomeinen en anderzijds vinden we dit terug bij de domeinoverschrijdende doelen. Enkele alternatieve verwoordingen voor betekenisvolle situaties in het leerplan zijn:  ontdekken in de realiteit  in voorbeelden herkennen  voorbeelden uit de eigen leefwereld geven  in concrete situaties  een zinvolle context  in verband brengen met betekenisvolle situaties  in reële situaties Vraagstukken moeten komen uit de leefwereld van de leerlingen en moeten realistische zijn.

Een overzicht van specifieke rekenvraagstukken:  enkelvoudige vraagstukken + en -  1 bewerking 1+5=  enkelvoudige vraagstukken x en :  samengestelde vraagstukken  meer bewerkingen  recht-evenredige grootheden  Hoe meer je rijdt, hoe meer je moet betalen  omgekeerd evenredig  Hoe meer mensen werken, hoe minder lang het duurt  ongelijke verdeling  samen €360: ene 60, hoeveel de andere  mengsels  1/10 water, 2/5 citroensap  gemiddelde  bruto, tarra, netto  tijd en afstand en snelheid  45 min met snelheid van 80 km/uur, welke afstand?  Schaal  breuk en lijnschaal  Toe-en afname (groeipercentage)  auto koast € 9500 nu hetzelfde maar 13% meer  Patronen  10,45 10,80  Verhoudingen bepalen  recept van 4 personen naar 10 personen  Minder gebruikelijke meetinstrumenten  weeghaken → zie cursus en PP voor voorbeelden Domeinoverschrijdende doelen: Toepassingen lenen zich uitstekend om te werken aan doelen op lange termijn. Wiskundige problemen oplossen: DO1-DO4  Wiskundige leertaken leren aanpakken: DO5-DO7  Leren communiceren over wiskunde: DO8-DO11 In elke les moet er minstens 1 zijn. 

Onderzoek: Onderzoek van Verschaffel & De Corte (2001) Problemen in vraagstukkenonderwijs. Opvolgonderzoek van Depaepe (2009) Bevestigt deze problemen. Over welke problemen is er sprake?     

Begrippen hebben te weinig invulling. Taligheid is een groot probleem (reken- en contexttaal). Schematiseren gaat moeilijk. Meten en metend rekenen is moeilijk. Inzicht.

1

 

Bouwwerk: meer verticale afstemming tussen leerjaren. Nood aan meer aandacht voor het proces = samen leren.

DIDACTIEK Elke wiskundige activiteit spelt zich af binnen een cyclisch proces.

wiskundig model kiezen

analyseren

wiskundige technieken toepassen

situatie

interpreteren en controleren

Analyseren Hier is het grootste probleem bij vraagstukken. De inhoudelijke kenmerken van een vraagstuk: 

  



Het vraagstuk moet uit de interessewereld van het kind komen en handelen over een betekenisvolle situatie. Kinderen moeten zich kunnen inleven in de situatie, een probleem kunnen ontdekken, vatten en oplossen. (INLEVEN) Een levensecht probleem moet actueel zijn en daardoor de leerlingen aanspreken. (ACTUEEL) De gebruikte getallen moeten realistisch zijn. Fiets kan 50 euro kosten maar niet 2. (REALISTISCH) Het vraagstuk mag te veel of te weinig gegevens bevatten. Ze moeten zelf de ontbrekende informatie kunnen zoeken, er mee leren omgaan. (TE VEEL/TE WEINIG)

Het probleem moet eerder aanzetten tot hoofdrekenen en schattend rekenen dan tot exact schriftelijk rekenen. (HOOFDREKENEB/SCHATTEND REKENEN)

De taal: 4 soorten taal waar je aandacht voor moet hebben: Het correct begrijpen (de inhoud met ervaren kunnen worden) en interpreteren van een probleemsituatie is een allereerste, fundamentele voorwaarde om het vraagstuk te kunnen oplossen. De taal speelt dan ook een zeer belangrijke rol. De formulering moet zo eenvoudig mogelijk zijn en het vraagstuk moet uit korte eenvoudige zinnen bestaan. Allerlei taalverschijnselen kunnen namelijk problemen veroorzaken: termen, woordenschat, zinsbouw, ordening, verschillende interpretatiemogelijkheden enzovoort. Zorg voor een gevarieerde terminologie. Rekentaal (rekenwoorden):

2

Bepaalde wiskundige basisbegrippen hebben geen of te weinig vulling. Doorheen de jaren komen vraagstukken voor die op een zelfde begripsinhoud gericht zijn, hoewel de terminologie verschilt. De betekenisinhoud van die termen moet door de kinderen ervaren kunnen worden. Zolang dit niet gebeurd blijven de termen inhoudsloze woorden. Gevarieerde terminologie gebruiken voor dezelfde inhoud komt dus ten goede aan de begripsvorming. Het begrip krijgt een grotere omvang en het inzicht zal verrijken en verdiepen. Meer: erbij, duurder, driemaal zoveel, vermeerderen, stijgen…

De rekenwoorden laten aanduiden als ze het niet snappen. Als leerlingen schrijven 20-50 dan de hulpvraag stellen wat het groots geheel is.

De rekentaal is de positie: rechtsboven,… Contexttaal: De taal waarin vraagstukken worden aangeboden moet eenvoudig en sober zijn en aangepast aan het niveau van de kinderen. Taalmoeilijkheden kunnen namelijk leiden tot het niet begrijpen van de tekst en de situatie. Je moet zin per zin lezen: staat er iets in met wiskunde, niet dan schrappen. Begrip versnaperingen tegenover chocolade, koekjes, chips, frisdrank…/ ‘krat’ appels

Het is belangrijk over deze reken- en contextwoorden vooraf na te denken, voor ons zijn ze namelijk vanzelfsprekend. Zo krijg je een goed beeld van de terminologie die jij zal hanteren tijdens de les en die voor de leerlingen belangrijk is. Sleutelwoordstrategie: Je koppelt aan één bepaald woord steeds dezelfde bewerking. Vanuit de gegevens zoeken we namelijk naar verbanden tussen wat we al weten en wat er gevraagd wordt. Zo laten we ons vaak misleiden door een sleutelwoord. Opa heeft 8 parkieten. Oom Stefaan heeft er 5 meer dan opa. Hoeveel parkieten heeft oom Stefaan? Opa heeft 8 parkieten. Opa heeft 5 parkieten meer dan oom Stefaan. Hoeveel parkieten heeft oom Stefaan?  Is het sleutelwoord: het zal wel + moeten zijn dat je moet doen.

Bij beide vraagstukken wordt dezelfde taalvorm, dezelfde getallen en dezelfde vraag gebruikt. Ook het sleutelwoord ‘meer’ komt in beide vraagstukken voor. door het vraagstuk oppervlakkig en vluchtig te lezen en zich door het sleutelwoord te laten leiden lossen kinderen het tweede vraagstuk vaak fout op. De sleutelwoordstrategie is een onnauwkeurige strategie die kan worden voorkomen als we de leerlingen trainen op het juist interpreteren van dat sleutelworod. Ook andere oppervlakkige strategieën kunnen tot fouten leiden:  

Het kiezen van een bewerking vanuit de grootte en de voorstellingsvorm van de getallen in de opgave. Je laat je leiden door de grootteorde van de getallen. Het zomaar plukken van getallen uit de opgave en er een willekeurige bewerking mee uitvoeren.

Goede hulpvragen stellen voor het oplossen van de oefeningen. Het is dus belangrijk preventief te werken en activiteiten te voorzien die expliciet gericht zijn op het ontwikkelen van het strategisch handelen: 

Sleutelwoorden in het vraagstuk van naderbij onderzoeken. Zinnen structureren, het vraagstuk schematiseren of dramatiseren.

3

 

Gevarieerde, uitdagende vraagstukken geven zodat leerlingen bij de toepassing van oppervlakkige strategieën afgestraft worden. Aandacht besteden aan de manier waarop concrete antwoorden tot stand komen.

Welke tekorten kan een vraagstuk vertonen? 1. 2. 3. 4.

Er wordt een eigen taaltje gebruikt. Het motiveert de leerlingen niet om het op te lossen. Er wordt een gereduceerd stukje van de werkelijkheid beschouwd en dikwijls nog levensvreemd. De tekst is louter geconstrueerd om berekeningen te laten maken. Ze bevatten precies de gegevens die nodig zijn om het probleem op te lossen. 5. Er is geen ruimte voor de inbreng vanuit de eigen ervaring. 6. De oplossingsweg is vastgelegd. 7. De opgaven zijn eerder toetsvragen dan discussieproblemen. 8. De opgaven stimuleren behandeling en uitleg ten koste van interactie en samenwerking. Het is goed om op de hoogte te zijn van deze mogelijke valkuilen. Voor je een les toepassingen begint uit te werken, die je je dus goed na te gaan of er tekorten zijn. Je dient ze dan vooraf met de leerlingen te bespreken. Je moet ze dus niet wegwerken maar de leerlingen er op wijzen.  In de klas van Els zijn ze met 19. Gisteren waren er al 3 leerlingen ziek. Vandaag zijn er maar 14 aanwezig. Hoeveel zieken zijn er bijgekomen? 19-14 = 5 ziek 5-3 = 2 bij hoeveel kinderen waren er gisteren? 16 Hoeveel zijn er meer ziek?  Vader is 36 jaar oud. Dat is viermaal zo oud als Els. Hoe oud is Els? Els is 4 keer jonger = 36:4=9  vraagstuk vertrokken van vader.  Sebastiaan heeft 24 postzegels. Dat is dubbel zoveel als Lien. Hoeveel postzegels heeft Lien?

Wiskundig model kiezen: heuristieken (oplossingswijzen) Inzicht in de situatie is fundamenteel, het is dan ook belangrijk hier genoeg aandacht aan te besteden. De leerlingen moeten de situatie ten volle begrijpen en kritisch kunnen analyseren. Hierbij zullen ze vaak overtollige gegevens moeten ontdekken, afzonderen en elimineren. De leerlingen moeten een strategie weten te vinden die leidt naar de oplossing. Schematiseren kan hier dan ook zeer vruchtbaar zijn. Ook andere wiskundige modellen of heuristieken. 5 lampjes, oei 1 stuk. Heuristiek: Een heuristiek is een methode om een probleem op te lossen. In tegenstelling tot een algoritme, dat altijd en overal werkt, is een heuristiek een strategie die niet altijd tot een oplossing leidt. Het is een algemene richtlijn die de kans op het vinden van de oplossing wel aanzienlijk verhoogt. De algemene heuristiek: planmatig en gestructureerd werken: De beertjes van Meichenbaum bieden een gestructureerd stappenplan voor het oplossen van vraagstukken in de basisschool. Je moet dit werkplan geven aan elke leerling. Ze kunnen dit volgen bij het maken van vraagstukken. 3. Ik doe mijn werk! 1. Wat moet ik doen? Lees de tekst en vertel in eigen woorden. Duid belangrijke gegevens aan.

2. Hoe ga ik het doen? Heb ik zo’n probleem al eens opgelost? Zijn er overbodige gegevens? Kan ik het probleem oplossen in delen? Wat doe ik eerst, wat doe ik dan? Schat de uitkomst. Kies een oplossingsstrategie.

Voer de stappen uit. Wat heb ik nu berekend? Wat moet ik nu nog doen?

4. Ik interpreteer en formuleer! Is mijn antwoord mogelijk en realistisch? Vergelijk de oplossing met de schatting.

5. Ik controleer mijn werk! Heb ik de juiste getallen gebruikt? Heb ik mijn plan correct uitgevoerd? Deed ik wat gevraagd werd?

4

Een veel voorkomende heuristiek: schematiseren: We verlaten hier de concrete wereld en begeven ons naar de wereld van de wiskunde. De situatie wordt door middel van grafische elementen vereenvoudigd en aanschouwelijk voorgesteld door middel van: (van makkeijk naar moeilijk)    

pijlen stroken, diagrammen, lijnstukken tabellen, getallenlijnen grafieken

een vraagstuk schematiseren is dus de situatie vereenvoudigd aanschouwelijk voorstellen. We zullen de keuzevrijheid ook bevorderen. Het is soms nuttig voor eenzelfde vraagstuk verschillende schema’s aan te bieden. Waarom nu juist schematiseren: om inzicht te krijgen in de situatie:    

De gegevens worden geordend, je krijgt inzicht in de situatie. De relatie tussen de gegevens onderling en de gegevens en het gevraagde wordt gevisualiseerd en geëxpliciteerd. Het vraagstuk wordt in zijn geheel overzien. Er wordt een strategie ontdekt om het vraagstuk te kunnen oplossen.

Schematiseren, een leerproces doorheen de lagere school: Leerlingen moeten kennis maken met verschillende voorstellingswijzen en er via onderwijsleergesprekken de meest zinvolle voor die situatie uitkiezen. Kinderen komen niet uit zichzelf tot schematiseren, we moeten hen hierbij begeleiden en stap voor stap verschillende schema’s aanbieden. Een schema is namelijk geen doel op zich maar een middel om gegevens te ordenen en zo tot een oplossing te komen. In het begin van de lagere school kan het structuur bieden om per soort vraagstuk één bepaald schema aan te bieden. Wanneer kinderen dan meer inzicht hebben verworven in verschillende schema’s kunnen ze vervolgens zelfstandig kiezen voor dat schema dat hen effectief helpt om een vraagstuk op te lossen. Het zwaartepunt van schematiseren ligt in de tweede graad, waar de meeste nieuwe schema’s worden aangeleerd die de leerlingen bij de aanvang van de derde graad vlot moeten kunnen gebruiken en selecteren. Schematiseren vereist namelijk een hogere mentale activiteit die in de eerste graad nog niet aanwezig is. In de derde graad kunnen de leerlingen vlot aanvullen welke schema’s in aanmerking komen voor een bepaalde situatie. Kunnen schematiseren is dus een groeiproces dat individueel verloopt volgens de eigen mogelijkheden en verworvenheden. Met die eigenheid moeten we dan ook steeds rekening houden. We proberen steeds vanuit een betekenisvolle situatie te vertrekken, uit rechtstreeks ervaringen van de leerlingen. Die werkelijkheid kunnen we vervolgens in de klas brengen door ze te dramatiseren. Voordoen alsof je naar de winkel gaat, dit doe je eerst en dan een schema. Ook in de derde graad gebeurt dit nog aangezien vraagstukken over kapitaal, interest en BTW voorafgegaan moeten worden door een kennismaking met de werkelijkheid. Een situatie dat een kind uitbeeldt, wordt vereenvoudigd weergegeven, het neemt uit de situatie wat het zelf belangrijk vindt. Zo kunnen we meteen merken of een kind gereed is om de situatie met een rekenoog te bekijken. We volgen steeds het CSA-principe! ABSTRACT SCHEMATISCH

CONCREET

5

Schematiseren doorheen de lagere school: verband en gradatie: 1. Pijlenvoorstelling: 70 scholen schrijven elk 3 leerlingen in voor de scholenveldloop. Op de dag zelf zijn 15 lopers afwezig. Hoeveel deelnemers zijn er? 45m²

3l

60m² … Gebruik van een pijlenvoorstelling met een herleiding naar de eenheid, is de vroegere regel van drie. 2. Strookdiagram, lijnstuk, staafdiagram en schijfdiagram: We opteren voor eenvoudige samengestelde vraagstukken. In het leerplan zijn die aangeduid vanaf het vierde leerjaar. We gaan er echter vanuit dat er in het tweede en derde leerjaar ook reeds samengestelde vraagstukken aan bod komen, om een klasgroep de kans te geven een nieuwe vaardigheid te laten verwerven of om een oplossingsstrategie te leren kennen. Strookdiagram: niet zelf moeten tekenen Bart, Jan en katrien krijgen samen 20 euro van opa. Ze kopen er 3 ijsjes en een bal mee. Ze hebbe geen geld meer over. Hoeveel kost een ijsje als je weet dat de bal €14 kost. (ongelijke verdeling)

De overgang van een strookdiagram naar een lijnstuk is evident. Hulpvragen: had €20 en heb €14 betaald voor de bal. Hoeveel nog over? Hoeveel is elk stuk? Lijnstuk: 20 euro

?

14 euro

Staafdiagram: (kan je dingen bij of weg doen) Sofie en Pieter hebben elk een stapeltje van 10 schriften. Sofie geeft 3 schriften aan Pieter. Pieter maakt zijn stapeltje ermee hoger. Hoeveel schriften heeft Pieter nu meer dan Sofie?   

Schatten Materialiseren: echt doen als je het kan. Schematiseren

6

Schijfdiagram: Wereldoriëntatie is een terrein waar we actuele bruikbare diagrammen kunnen vinden. De hoofdzaak is hier niet het schijfdiagram tekenen, dat is te omslachtig. We geven de tekening en vragen de leerlingen om de gegevens erop aan te duiden. Ze moeten zulke diagrammen kunnen interpreteren: niet kunnen tekenen, het is ondersteunend. Wat zit er bij het oud papier? kranten reclamebladen tijdschriften andere

Moet je het geheel weten + in hoeveel stukken verdeeld  hoeveel is dan elk stukje Kan je een stukje geven van 100: kranten veel meer geven. 3. Verhoudingstabel en dubbele getallenlijn: Verhoudingstabel: 3de leerjaar want het zijn breuken. Met 3 kg verf kan je 45 m² verven. Hoeveel kilogram heb je nodig om 60 m² te verven?

Via een verhoudingstabel komen we tot een dubbele getallenlijn. Dubbele getallenlijn:

aantal halen aantal betalen 3

3

6

?

2

?

6

6

9

aantal halen aantal betalen 2 4 6 Zo zie je beter hoeveel voordeel je hebt en bij het schema ervoor niet. Hoe schuiner hoe meer voodeel. 4. Grafieken: (vooraf interpreteren) Grafieken maken relaties zichtbaar. Leerlingen van de tweede graad maken er kennis mee bij temperatuurcurven en gewichtscurven. De temperatuurcurve maakt de relatie tussen tijdstip en temperatuur zichtbaar, de gewichtscurve tussen leeftijd en gewicht. Het is belangrijk eerst samen zulke grafieken te verkennen voor je de leerlingen er vragen over laat oplossen, dan pas

7

interpreteren. Een grafiek is namelijk een sterk schematische voorstelling van de werkelijkheid. We onderscheiden een aantal verkenningsvragen:      

Welke gegevens vind je terug op de grafiek? (zowel horizontaal als verticaal) Welke soort grafiek zie je? Wat betekent het verloop van de lijnen, staven? Hoe is de schijf verdeeld? Waarom stijgt of daalt de curve? Wat betekent een horizontale lijn op de curve? Wat kan je aflezen van deze grafiek? Wat vertelt deze grafiek ons?

Afstand in km 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Jan

Papa 8.00 8.05 8.15 8.25

8.10 8.20

Tijd Verkenningsvragen bij de grafiek:     

Wat lezen we horizontaal/verticaal af? Waarom zijn er twee curven? Waarom kruisen die twee curven elkaar. Wat is het verschil tussen die twee curven? Stippel papa en rechte … Wat betekend de onderste lijn? tijd

Interpretatievragen bij de grafiek:        

Hoe lang rijdt Jan naar school? Hoe lang rijdt Papa naar school? Moet weten welke lijn te zien Hoe ver ligt de school van thuis? Om hoe laat haalt Papa Jan in? Op welke afstand van de school haalt Papa Jan in? Wie rijdt sneller? Is Jan of Papa onderweg gestopt? Waarom wel/niet? Welke afstand heeft Jan afgelegd op het moment dat Papa hem inhaalt?

Interpretatievragen: Vragen die om een oplossing vragen over de grafiek. Je moet de gegevens in de grafiek kunnen interpreteren om tot een oplossing te komen. Je kan ook activiteiten voorzien die de leerlingen helpen een grafiek te lezen zonder dat er wiskunde bij komt kijken. 1.

Een verhaal verzinnen bij de grafiek.

8

Vragen aan de leerlingen wat het zou kunnen zijn of andersom: jij vertelt een verhaal en de leerlingen tekenen het. Gaat niet echt naar een antwoord zoeken. Dit is voor tegen schrik bij grafieken. 2. Fouten zoeken in een bestaande grafiek.

3.

Een tekening maken bij een grafiek om de betekenis te verduidelijken.

Na deze verkennende activiteiten zullen kinderen meer vertrouwen hebben in zichzelf bij het verkennen en interpreteren van een grafiek. Nadien kan je kinderen leren om grafieken te lezen, interpreteren en zelf op te stellen. 1. Lezen van grafieken: Laat de leerlingen extra lijnen tekenen, of laat hen twee latjes gebruiken. Dat maakt het aflezen veel gemakkelijker.

2. Opmaken van grafieken: Dit is een klassikale oefening. 3. Zelfstandig opstellen van grafieken: Hier gaan de leerlingen zelfstandig de informatie verwerken. In een leergesprek leggen de leerlingen vervolgens uit hoe ze de grafiek hebben opgesteld. Waarom gebruik je hier een curve en geen staafdiagram? Besluit: Schematiseren is een hulpmiddel om de kerngegevens uit een tekst te lichten. Vanuit de vraag moeten de gegevens afgetast worden door de geest om betrekkingen en verhoudingen ertussen te ontdekken. Het is een middel om denkwerk op gang te krijgen en om zoekwerk te leiden en te ondersteunen. Een eenvoudig schema geeft zicht en overzicht op een situatie. We benadrukken daarbij de karaktertrek van wiskunde: eenvoud. Schematiseren is en blijft een middel om de kans op het vinden van een goede oplossing te verhogen. Daarom leren w...