Samenvatting PDF

Preview

Summary

Download Samenvatting PDF

Description

KK"schatter" !

Numerieke"eigenschappen" •

De!steekproef-regressielijn!gaat!door!de!steekproefgemiddelden!van!Y!en!X!

•

De!geschatte!storingstermen!

!zijn!gemiddeld!nul!

•

De!geschatte!storingstermen!

zijn!niet!gecorreleerd!met!Xi!!

•

De!geschatte!storingstermen! zijn!niet!gecorreleerd!met! ! ! à!deze!numerieke!eigenschappen!gelden!onafhankelijk!van!de!manier!waarop! de!data!gegenereerd!werden!en!zijn!louter!het!gevolg!van!het!toepassen!van!de! KK!methode!

!

Statistische"eigenschappen" à!Indien!aan!alle!Gauss-Markov!veronderstellingen!is!voldaan,!dan!is!de!KK!schatter!de! Best!Linear!Unbiased!Estimator!(BLUE)! Een!schatter!is!lineair!indien!deze!een!lineaire!funtie!is!van!een!kansvariabele!Yi! Een!schatter!is!zuiver!indien!zijn!verwachtingswaarde!overeenstemt!met!de! werkelijke!verwachtingswaarde! Een!schatter!is!efficiënt!indien!een!schatter!binnen!de!klasse!van!zuivere! schatters!de!laagste!variantie!heeft.! à!Onafhankelijk!van!de!steekproefomvang!! ! •

•

•

Gauss-Markov"veronderstellingen" De!Gauss-Markov!veronderstellingen!hebben!betrekking!op!de!Populatieregressiefunctie8en8NIET8op8de8Steekproef-regressiefunctie.!De!OLS!of!KK!schatter! heeft!wel!een!aantal!numerieke8eigenschappen!die!overeenkomen!met!deze! veronderstellingen,!maar!dit!impliceert!niet!dat!aan!alle!veronderstellingen!voldaan!is.! De!KK!methode!gebruikt!deze!veronderstellingen!als!identificerende8restricties.! !

Veronderstelling"1:"Lineariteit"in"de"parameters" !

Y i = β 1 + β 2 Xi + μ i

Bij"schending" Alternatieve!schattingsmethode!noodzakelijk! • Maximum!Likelihood! • Generalised!Method!of!Moments! !

Veronderstelling"2a:"De"X-waarden"zijn"vast"over"herhaalde"steekproeven" à!Xi!is!een!deterministische!variabele!

Veronderstelling"2b:"De"X-waarden"wijzigen"over"herhaalde"steekproeven" à!Xi!is!een!stochastische!variabele! Bij"schending" Endogeniteit!

Veronderstelling"3:"De"(conditionele)"verwachtingswaarde"van"de"storingstermen"μi is"gelijk"aan"nul" ! E!(μi!)!=!0!voor!deterministische!X!! E!(μi!|Xi!)!=!0!voor!stochastische!X!! à!Variabelen!die!niet!expliciet!opgenomen!zijn!in!het!model!hebben!geen8 systematische8invloed!op!Y.!Dit!impliceert!dat!er!geen8specificatiefout!in!het!model! aanwezig!is.!Dit!impliceert!ook!dat!Xi!en μi!niet!gecorreleerd!zijn.! Bij"schending" Specificatiefouten! !

Veronderstelling"4:"De"variantie"van"de"storingstermen"μi is"constant"" (Homoscedasticiteit)"

var(μi |Xi)= σ2 à!Variantie!van!Yi!rond!de!populatieregressielijn!is!constant!over!de!alternatieve! waarden!van!Xi! Bij"schending" Heteroscedasticiteit!à!var

(μi |Xi ) = σi2

Veronderstelling"5:"Er"is"geen"onderlinge"correlatie"tussen"de"storingstermen" ! !

cov(μi,μj |Xi ,Xj)= E(μi |Xi)(μj |Xj)=0 à De storingsterm μi bevat!geen!informatie!aangaande!de!storingsterm!μj er is dus geen

systematisch patroon in de storingstermen

Bij"schending" Autocorrelatie!à!enkel!relevant!voor!tijdsreeksgegevens!en!panel!data.! Indien!er!geen!logische!ordening!van!data!aanwezig!is,!kan!je!niet!te!maken!hebben!met! pure!autocorrelatie.!Toch!zal!je!moeten!testen!op!autocorrelatie!omdat!tekenen!van! autocorrelatie!in!cross-sectionele!data!kan!wijzen!op!specificatiefouten.!Orden!steeds!de! variabelen!volgens!een!logische!variabele!voordat!je!de!testen!voor!autocorrelatie! uitvoert.!

Veronderstelling"6:"Het"aantal"observaties"n"is"groter"dan"het"aantal"te"schatten" parameters" Bij"schending" Parameters!zijn!niet!geïdentificeerd!

Veronderstelling"7:"Er"is"variatie"in"de"X-waarden" Bij"schending" Parameters!zijn!niet!geïdentificeerd! !

Veronderstelling"8:"Er"is"geen"perfecte"multicollineariteit" à!enkel!van!toepassing!op!multivariate!modellen!

|cor(X2i,X3i)| = |r23| =! 1 Bij"schending" Perfecte8multicollineariteit!betekent!dat!er!een!exacte!relatie!bestaat!tussen!de! verklarende!variabelen.!Dit!impliceert!ook!dat!de!parameters!niet!geïdentificeerd!zijn!en! dus!niet!geschat!kunnen!worden.! Multicollineariteit:8een!bepaalde!graad!van!correlatie!tussen!sommige!of!alle! verklarende!variabelen!maar!geen!exacte!lineaire!relatie.!

Afwijkingen"van"de"Gauss-Markov"veronderstellingen" !

Multicollineariteit" Oorzaken" • Verklarende!variabelen!kunnen!maar!een!beperkt!aantal!waarden!aannemen! • Specificatie!van!het!model!(opname!van!een!variabele!in!meerdere!functionele! vormen)! • Groot!aantal!verklarende!variabelen! • Gezamenlijke!trend!(bij!niet-stationaire!data)! • Bovenstaande!in!combinatie!met!te!weinig!data! Gevolgen" Bij!perfecte!multicollineariteit!zijn!de!parameters!niet!geïdentificeerd! !

Bij!een!hoge!graad!van!multicollineariteit!zijn!de!parameters!wel!geïdentificeerd,! theoretisch!is!er!geen!probleem,!de!KK!schatter!is!BUE!en!normaal!verdeeld!onder!de! KNLRM!veronderstellingen.!Er!is!wel!een!praktisch!probleem! ! • Schatters!hebben!een!grotere!variantie!en!covariantie,!de!schatters!zijn! gevoeliger!voor!kleine!wijzigingen!in!de!data! • Bredere!betrouwbaarheidsintervallen!en!lagere!t-statistieken,!de!variabelen!zijn! minder!significant!verschillend!van!nul!en!de!kans!op!het!maken!van!een!type!II! fout!neemt!toe! Ondanks!de!mogelijke!insignificantie!van!de!individuele!coëfficiënten!kan!de!R2!van! de!regressie!toch!groot!zijn!en!kunnen!de!coëfficiënten!gezamenlijk!significant!zijn! (F-test).!! De!gezamenlijke!impact!van!de!parameters!kan!nauwkeurig!geschat!worden,!maar! de!individuele!impact!van!de!geïdentificeerde!parameters!kan!niet!nauwkeurig! geschat!worden!als!er!een!hoge!graad!van!multicollineariteit!aanwezig!is.! ! Multicollineariteit!is!dus!een!steekproefprobleem.! Er!is!te!weinig!informatie!in!de!data,!door!de!te!hoge!correlatie!tussen!de!variabelen! wordt!in!multivariate!regressie!veel!variatie!uit!de!data!weggezuiverd.!Dezelfde! problemen!zijn!er!ook!bij!een!te!kleine!steekproef!en!te!weinig!variantie!in!de! verklarende!variabelen.! ! De!KK!schatter!is!nog!steeds!zuiver!en!efficiënt,!aangezien!dit!eigenschappen!zijn! over!herhaalde!steekproeven.!Dit!betekent!dus!niet!dat!de!coëfficiënten!nauwkeurig! geschat!kunnen!worden.! ! Opsporing" Opsporing!in!geval!van!multicollineariteit!betekent!niet!het!testen!voor! multicollineariteit!maar!wel!het!meten!van!de!graad!van!multicollineariteit!in!een! specifieke!steekproef.!Dit!doet!men!aan!de!hand!van!een!aantal!vuistregels! • Eerste!indicatie:!vergelijking!R2!met!t-waarden! • Berekening!paarsgewijze!correlatie!tussen!verklarende!variabelen!(voldoende! maar!niet!noodzakelijke!voorwaarde)! • Aanvullende!regressies:!regresseer!Xi!op!overige!X’en!en!bereken!R2i! • Berekening!Variance!Inflation!Factor!per!variabele!met!R2i!! Remediëring" • Niets!doen,!aangezien!multicollineariteit!een!steekproefprobleem!is!en!KK!BUE!is! kan!het!probleem!niet!opgelost!worden!door!aanpassing!van!schattingsmethode! • Enige!mogelijkheid!is!een!rijkere!dataset!verkrijgen!door!een!alternatieve! steekproef!met!lagere!correlatie!tussen!de!verklarende!variabelen!of!een!grotere! steekproef! • Rule-of-thumbs!procedures:!aanpassen!van!specificatie!door!het!weglaten!van! variabelen!à!gevaarlijk!! ! !

Opmerking" In!de!praktijk!is!er!meestal!een!bepaalde!graad!van!multicollineariteit!aanwezig!in!het! model,!maar!schatting!blijft!mogelijk.! Enkel!lineaire!relaties!zorgen!voor!perfecte!multicollineariteit.!Bij!niet-lineaire!relaties!is! dit!wel!toegestaan.! !

Heteroscedasticiteit" Oorzaken) • Eigenschappen!populatie! • Eigenschappen!dataverzameling! • Specificatiefouten! à!bij!cross-sectie!van!individuen!bijna!altijd!heteroscedasticiteit! Gevolgen"voor"schatting"op"basis"van"KK"schatter" • De!geschatte!regressie-parameters!zijn!zuivere!schatters! • De!geschatte!regressie-parameters!zijn!asymptotisch!normaal!verdeeld,!dit!in! nodig!om!t-testen!en!F-testen!uit!te!voeren! • De!geschatte!regressie-parameters!zijn!niet!normaal!verdeeld!in!kleine! steekproeven,!in!grote!steekproeven!zijn!deze!wel!asymptotisch!normaal! verdeeld! • •

is!geen!zuivere/consistente!schatter! Formule!variantie!

moet!aangepast!worden !

•

Aangezien!elke!steekproef!een! ! KK!schatter!niet!meer!efficiënt,!er!is!een!alternatieve!schattingsmethode!GLS!die! een!lagere!variantie!heeft!

Opsporing) Opmerkingen* σ 2i kan berekend worden indien we voor elke X-waarde de volledige Y-populatie kennen. Indien σ 2i niet constant is voor alle i, stellen we heteroscedasticiteit vast In de praktijk zal voor iedere X-waarde slechts 1 Y-waarde beschikbaar zijn.

!

Deze!schatter!is!niet!consistent,!het!is!een!proxy.! !

Informele*methodes* • Intuïtief!vanuit!de!aard!van!het!probleem,!in!cross-secties!met!heterogene! entiteiten!is!heteroscedasticiteit!zeer!waarschijnlijk!

•

Grafisch,!gebruik!de!schatter!voor!de!gekwadrateerde!storingstermen!als! benadering!voor!σ 2i , zet deze schatter uit ten opzichte van de geschatte Yi en geschatte Xi!

Formele*methodes* • Goldfeld-Quandt!test! • White’s!General!Heteroscedasticity!test! Remediëring" • σ 2i is gekend of consistent geschat, gebeurt weinig. Wanneer!gekend:!GLS!is!zuiver!en!efficiënt!(BUE)! Wanneer!consistent!geschat:!Estimated!GLS!is!consistent!en!asymptotisch!correct! • σ 2i is niet gekend o Ad-Hoc!transformaties:!(E)GLS! o White’s!heteroscedasticity!consistent!variance:!KK,!dit!is!een!OLS!met! aanpassing!formule!variantie!van!de!schatter! o Aanpassen!specificaties,!oorsprong!heteroscedasticiteit!is!een! specificatiefout.!Het!model!transformeren!naar!log!zal!het!probleem! beperkter!maken! o Verwijderen!van!outliers,!in!praktijk!niet!doen! !

Autocorrelatie" Mogelijke)oorzaken) • Inertie!in!de!factoren!of!schokken!in!de!storingstermen! • Inertie!in!de!afhankelijke!variabele,!de!impact!van!X!op!Y!is!niet!onmiddellijk! maar!bouwt!langzaam!op.!Veranderingen!in!Y!worden!deels!bepaald!door! veranderingen!in!X!uit!de!vorige!periode.! • Specificatiefouten,!het!weglaten!van!relevante!variabelen! • Specificatiefouten,!verkeerde!functionele!vorm! • Transformatie!van!data!kan!autocorrelatie!opwekken,!bijvoorbeeld!bij!de!eerste! verschillen!Yt-Yt-1!! • Niet-stationariteit,!dit!is!de!eigenschap!waarbij!gegevens!variëren!over!de!tijd.! Aard)van)het)probleem) Het!geschatte!verband!levert!allemaal!positieve!storingstermen!aangezien!een!lineair! verband!wordt!geschat,!het!werkelijke!verband!kan!echter!wel!een!andere!vorm! aannemen!en!kan!bijvoorbeeld!een!parabolisch!verband!opleveren.! ! Gevolgen)voor)de)schatting)op)basis)van)KK) Veronderstellingen* μt volgt een AR(1) proces (AutoRegressief): μt = μt-1 + εt à εt is de rechtstreekse impact op μt en verdwijnt nooit uit het model als ρ=1 (in niet-sationaire data)!Deze!worden!ook!wel!de!white!noice!storingstermen!genoemd!en! voldoen!aan!de!GM!veronderstellingen.! !

Gevolgen*voor*de*schatting* • Geschatte!regressieparameters!zijn!zuivere!schatters! • Geschatte!regressieparameters!zijn!normaal!verdeeld!(ook!in!kleine! steekproeven)! • Formule!van!de!variantie!moet!aangepast!worden,!deze!wijzigt!altijd!bij! autocorrelatie!maar!de!exacte!wijziging!hangt!af!van!het!proces! • KK!schatter!is!niet!meer!efficiënt,!de!GLS!heeft!een!lagere!variantie! Opsporing) Testen!altijd!uitvoeren!na!logische!ordening!op!basis!van!één!toetsingsvariabele! • Grafische!methode! • Runs!test! • Durbin-Watson!d!test! • Breusch-Godfrey!LM!test! Remediëring) • Ga!na!als!het!om!pure!autocorrelatie!of!een!specificatiefout!gaat! o Pas!eventueel!eerst!specificatie!aan!(in!case!niet!doen)! • (Estimated)!Generalised!Least!Squares! • Niet-stationaire!data:!first-difference!methode! • Correctie!formule!variantie!KK! o Dit!kan!via!Heteroscedasticity!and!autocorrelation!consistent!variantie! (HAC!met!Newey-West!correctie)!dit!zal!zowel!een! heteroscedasticiteitsprobleem!als!een!autocorrelatieprobleem!oplossen! indien!deze!zich!stellen!in!het!model! • Niets!doen! o Blijf!KK!en!standaard!formule!variantie!gebruiken!indien!autocorrelatie! beperkt!is! o EGLS!en!HAC!zijn!slechts!asymptotisch!correct! ! !

Specificatiefouten" Mogelijke)specificatiefouten) • Een!relevante!variabele!niet!opnemen! • Een!irrelevante!variabele!opnemen! • Een!verkeerde!functionele!vorm! • Meetfouten! Gevolgen)van)het)weglaten)van)een)relevante)variabele) • KK!schatter!is!vertekend!en!inconsistent!indien!r23!niet!gelijk!is!aan!nul! • Schatter!variantie!storingstermen! •

! Variantie!KK!schatter!

• • •

! Indien!de!theorie!waarop!een!econometrische!specificatie!gebaseerd!is!stelt!dat! een!bepaalde!variabele!in!het!model!thuishoort,!wees!dan!zeer!voorzichtig!met! het!verwijderen!van!deze!variabele!wanneer!deze!niet!significant!blijkt!te!zijn! Grote!kans!op!fout!van!type!II!bij!hoge!graad!van!multicollineariteit! Geschatte!coëfficiënten!op!de!overblijvende!variabelen!mogelijks!vertekend!in! inconsistent!(indien!r23!niet!nul!is)! Zelfs!indien!r23!nul!is,!is!er!een!nadeel!verbonden!aan!het!weglaten!van! insignificantie!variabelen,!namelijk!een!hogere!variantie!

Remediëring* • Voeg!de!variabele!toch!toe! • Let!op!voor!datamining! Gevolgen)van)het)opnemen)van)een)irrelevante)variabele) ! • KK!schatter!is!zuiver!en!consistent! • Schatter!van!de!variantie!van!de!storingstermen! ! •

Variantie!KK!schatter!

! De!gevolgen!van!het!opnemen!van!irrelevante!variabelen!zijn!minder!ernstig!dan! het!weglaten!van!relevante!variabelen.! o Geen!impact!op!statistische!eigenschappen!KK!schatter! o Mogelijks!wel!een!praktisch!probleem,!er!is!een!sterke!toename!van!de! variantie!indien!er!een!hoge!graad!van!multicollineariteit!is! Remediëring* • Laat!de!variabele!weg! • Pas!op!voor!type!II!fouten! Gevolgen)van)een)verkeerde)functionele)vorm) • KK!schatter!is!vertekend!en!inconsistent! • …! Remediëring* • Pas!de!functionele!vorm!aan! • Pas!op!voor!datamining!

Gevolgen)van)meetfouten) Meetfouten!zijn!willekeurig,!dus!de!verwachtingswaarde!is!nul.! Meetfout*in*te*verklaren*variabele* • KK!is!zuiver!en!consistent! • Schatter!variantie!storingstermen! ! •

Variantie!KK!schatter! !

Meetfout*in*verklarende*variabelen* à!ergere!implicaties! de!meetfout!komt!zowel!in!de!storingstermen!als!in!Xi!terecht.! • KK!is!vertekend!en!inconsistent! • Schatter!variantie!storingstermen! ! •

Variantie!KK!schatter! !

Remediëring* Niets!doen!indien!σ2e2 klein is ten opzichte van σ2 X • Instrumentvariabelen:!zoek!een!proxy!voor!X*i!die!sterk!gecorreleerd!is!met!X*i! maar!niet!met!μi en e2i à Dit is eigenlijk een endogeniteitsprobleem •

Opsporing) Informeel* Op basis van een onderliggende theorie stellen we een bepaalde set van verklarende variabelen en een functionele vorm voorop. Deze is echter niet noodzakelijk correct Analyse van empirische performantie van het model o Mogelijke signalen van specificatiefouten o Coëfficiënten zijn niet significant o Lage R2 o Heteroscedasticiteit en/of autocorrelatie in de storingstermen o Specificatiefouten o •

Formeel* • Visuele!inspectie!van!de!storingstemen,!orden!de!storingstermen!op!basis!van! tijd!of!verklarende!variabele.!Kan!men!een!systematisch!patroon!vaststellen?! • Test!autocorrelatie!en!heteroscedasticiteit:!orden!eerst!de!storingstermen!bij! testen!op!autocorrelatie!en!ga!nadien!na!als!het!om!pure! autocorrelatie/heterscedasticiteit!gaat!of!om!een!specificatiefout!

•

Standaard!t-testen!en!F-testen:!voeg!extra!variabelen!en/of!niet-lineaire!termen! (niet!zonder!reden!doen)!toe!en!test!hun!significantie.!Pas!wel!op!voor! datamining! o Ramsey’s!RESET!test! o Lagrange!Multiplier!test! o Forecast!Chi-Square!test!

" Endogeniteit" Gevolgen" Xi!is!deterministisch! • KK!schatter!is!zuiver! Xi!is!stochastisch! • Xi!en!μj!onafhankelijk:!KK!schatter!is!zuiver! • Xi!en!μi!onafhankelijk:!KK!schatter!is!consistent! • Xi!en!μi!afhankelijk:!KK!schatter!is!inconsistent! Opsporing" • Het!identificatieprobleem! o Order!condition! o Rank!condition! o Instrumentvariabelen! • Full!information!methods! o Oplossingen!vaak!niet!lineair! o Full!Information!Maximum!Likelihood!gebruiken! o Meestal!niet!evident! • Limited!information!methods! o ILS! o 2SLS! • Hausman!test! !

Testen" *

Multicollineariteit" R2* Veronderstellingen* Eerste!indicatie! ! VIF* Procedure* Regresseer!elke!Xi!op!overige!X-waarden!en!bereken!R2i!

! à!Altijd!VIF!berekenen!bij!multicollineariteit!

Heteroscedasticiteit" Goldfeld-Quandt*test* Veronderstellingen* σ2i is positief gerelateerd aan één van de verklarende variabelen! Procedure* • Orden!de!observaties!op!basis!van!Xi!van!klein!naar!groot! • Schrap!de!c!middelste!observaties! • Pas!KK!toe!op!beide!subgroepen!en!bereken!schatters!σ2 1 en σ22 ! • Indien de storingstermen normal verdeeld zijn met H0: σ2 1 = σ22 ! • Teststatistiek F-verdeeld! White’s*General*Heteroscedasticity*test* Veronderstellingen* Deze!test!is!asymptotisch!correct,!er!wordt!geen!specifieke!relatie!verondersteld!tussen! de!storingstermen!en!de!X-variabelen! Procedure* • Schat!het!model!en!bereken ! • Bereken!de!R2!van!de!hulpregressie! !!

! •

H0:!de!storingstermen!zijn!homoscedastisch!

Opmerkingen* Let!op!voor!een!sterke!daling!van!het!aantal!vrijheidsgraden!in!de!regressie!met!een! groot!aantal!verklarende!variabelen.! Een!significante!testwaarde!kan!ook!wijzen!op!een!specificatiefout! ! GLS* Veronderstellingen* σ2i is gekend! Procedure* • Het!model!transformeren!door!te!delen!door!σ2i • Pas!vervolgens!OLS!toe • De!schatter!is!nu!BUE ! Opmerkingen* Deze!situatie!komt!weinig!voor! !

(E)GLS* Veronderstellingen* σ2i kan consistent geschat worden of σ2i is niet gekend! Procedure* Idem!als!GLS!maar!dan!met!geschatte!parameter! Opmerkingen* Dit!is!een!Ad-hoc!transformatie! EGLS!schatter!is!consistent!en!asymptotisch!correct! Enkel!ad-hoc!transformaties!toepassen!indien!je!zeker!bent!van!het!gevolgde!patroon!! ! White’s*heteroscedasticicty*consistent*variance* Procedure* Dit!is!OLS!met!aanpassing!van!de!formule!van!de!variantie!van!de!schatter!

Autocorrelatie" Rangschik!steeds!voor!iedere!test!de!variabelen!volgens!een!toetsingsvariabele! Grafische*methode* Veronderstellingen* Eerste!indicatie! Procedure* • Zet!de!gestandaardiseerde!geschatte!storingstermen!uit!ten!opzichte!van!de!tijd! • Zet!de!geschatte!storingstermen!uit!ten!opzichte!van!deze!van!vorige!periode! ! Runs*test* Veronderstellingen* Dit!is!een!niet-parametrische!test!en!er!wordt!dus!geen!veronderstelling!gemaakt!over! een!specifiek!patroon! Procedure* • Definieer!een!run!als!een!reeks!van!geschatte!storingstermen!met!hetzelfde!teken! • De!lengte!van!de!run!is!dan!het!aantal!observaties!in!de!run! • Onder!H0:!geen!autocorrelaties!is!het!aantal!runs!normaal!verdeeld! • Vergelijk!het!geobserveerde!aantal!runs!met!het!aantal!runs!verwacht!onder!H0! Voordelen* Geen!veronderstellingen!over!een!specifiek!patroon! ! Durbin-Watson*d*test* Veronderstellingen* • Regressiemodel!bevat!een!intercept! • X-en!zijn!deterministisch!

• • •

Storingstermen!gegenereerd!volgens!een!AR(1)!proces! Storingstermen!zijn!normaal!verdeeld! Regressiemodel!bevat!geen!vertraagde!afhankelijke!variabelen!

Procedure* • Vergelijk!d-statistiek!met!kritische!waarden! • Hou!rekening!met!onder-!en!bovengrens!van!de!kritieke!waarden! • D=2!geen!autocorrelatie,!D=0!negatieve!autocorrelatie!D=1!positieve! autocorrelatie! Voordelen* Zeer!eenvoudig! Nadelen* Zeer!veel!veronderstellingen,!test!wordt!ook!gebruikt!indien!niet!aan!alle! veronderstellingen!voldaan!is,!beschouw!de!resultaten!dan!wel!met!veel!zorg.! De!schemerzone!tussen!onder-!en!bovengrens!van!de!kritieke!waarden!vormt!ook!een! probleem.!Schemerzone!wordt!kleiner!naarmate!de!steekproef!groter!wordt.! Breusch-Godfrey*LM*test* Veronderstellingen*

! Procedure*

! Voordelen* • X-waarden!mogen!stochastisch!zijn! • Regressiemodel!mag!vertraagde!verklarende!variabelen!bevatten! • Storingstermen!mogen!door!andere!processen!dan!AR(1)!ge...