Zusammenfassung PDF

Preview

Summary

Zusammenfassung der Vorlesung...

Description

Mathe Arithmetik WS 2018/19

Inhaltsverzeichnis 1. Schätzen.............................................................................................................................5 1.1 Der Zahlenbegriff.........................................................................................................5 1.2 Schätzen – Runden- Überschlagen: MERKE.............................................................5 1.3 Funktionen des Überschlags:.......................................................................................6 2. Stellenwertsysteme.............................................................................................................6 2.1 Allgemeines..................................................................................................................6 3. Zahlensysteme....................................................................................................................6 3.1 Dekadisches Zahlen-/Stellenwertsystem......................................................................6 3.2 b-adische Zahlendarstellung.........................................................................................7 3.2 Bündeln........................................................................................................................7 3.3 Beispiel 3er-System......................................................................................................7 3.4 Addition im 5er-System...............................................................................................7 1112(5).................................................................................................................................7 3.5 Multiplikation im 5er-System......................................................................................7 3.6 Division im 3er-System................................................................................................8 4. Grundrechenarten...............................................................................................................8 4.1 Gründe für schriftliches Rechnen.................................................................................8 4.2 Einwände gegen schriftliches Rechnen........................................................................8 4.3 Addition........................................................................................................................8 4.3.1 Probleme der Addition..........................................................................................8 4.3.2 Fördermaßnahmen, gegen Fehler..........................................................................8 4.3.3 Mögliche Aufgabenstellungen..............................................................................8 4.3.4 halbschriftliches Rechnen.....................................................................................9 4.4 Subtraktion...................................................................................................................9 4.4.1 die Fünf Subtraktionsverfahren.............................................................................9 4.4.2 Vergleich der Grundverfahren Abziehen und Ergänzen........................................9 4.4.3 Vor- und Nachteile der Subtraktionsverfahren....................................................10 4.5 Multiplikation.............................................................................................................10 4.5.1 Drei Stufen der Multiplikation............................................................................10 4.6 Division......................................................................................................................10 4.6.1 Stufenlernen der Division...................................................................................10 4.6.2 Schriftliche Division............................................................................................11 4.6.3 Schülerfehler beim Dividieren............................................................................11 4.7 Kreuzprobe nach Adam Ries......................................................................................11 2

5. Logik................................................................................................................................12 5.1 Alphabet der Mathematik...........................................................................................12 6. Beweismethoden..............................................................................................................13 6.1 Beweistypen...............................................................................................................13 6.2 Direkter Beweis..........................................................................................................13 6.3 Beweis durch Widerspruch / Indirekter Beweis.........................................................13 6.4 Induktion....................................................................................................................14 7. Teilbarkeit.........................................................................................................................14 7.1 Teilbarkeitslehre.........................................................................................................14 7.2 Teilerrelation und Regeln...........................................................................................14 7.3 Teilbarkeitsregeln I.....................................................................................................14 7.4 Teilbarkeitsregeln II...................................................................................................14 7.5 Endstellenregel I.........................................................................................................14 7.5.1 Begründung der Endstellenregel.........................................................................14 7.6 Quersummenregel......................................................................................................15 7.6.1 Begründung der Quersummenregel....................................................................15 8. Primzahlen wurden nicht zusammengefasst !!.................................................................15 9. Brüche..............................................................................................................................15 9.1 Brüche in der Schule – Warum?.................................................................................15 9.2 Vorteil gewöhnlicher Brüche......................................................................................15 9.3 Vorteile von Dezimalbrüchen.....................................................................................15 9.4 Grundvorstellungen zu Bruchzahlen..........................................................................15 9.5 Bruchzahlen und Problemlösen..................................................................................16 9.6 Brüche – Konzepte.....................................................................................................16 9.6.1 Größenkonzept....................................................................................................16 9.6.2 Verhältniskonzept.........................................................................................16 9.6.3 Operatorkonzept..................................................................................................16 10. Natürliche Zahlen und Bruchzahlen...............................................................................16 10.1 Natürliche Zahlen.....................................................................................................16 10.1 Bruchzahlen..............................................................................................................17 10.2 Einführung in die Bruchrechnung............................................................................17 10.3 Möglichkeiten um die Bruchvorstellung zu schulen................................................17 10.4 Zentrale Begriffe der Bruchrechnung......................................................................18 11. Kürzen und Erweitern von Brüchen...............................................................................18 11.1 Vorkenntnisse...........................................................................................................18 3

11.2 Kürzen und Erweitern..............................................................................................18 11.3 Mögliche Aufgabenstellungen..................................................................................18 12. Bruchrechnung...............................................................................................................18 12.1 Einbettung der natürlichen Zahlen...........................................................................18 12.2 Vergleichen von Brüchen.........................................................................................19 12.2.1 Vergleich anhand der Darstellung.....................................................................19 12.2.2 Betrachtung an gleichnamigen Brüchen...........................................................19 12.2.3 Betrachtung an ungleichen Brüchen.................................................................19 12.3 Addition – Grundvorstellungen................................................................................20 12.4 Quasikardinalzahl.....................................................................................................20 12.5 Anschauliche Mittel um Brüche zu veranschaulichen.............................................20 12.6 Regelerarbeitung......................................................................................................20 12.7 Vorgehensweise um Brüche einzuführen.................................................................21 13. Addition und Subtraktion von Brüchen..........................................................................21 13.1 gleichnamige Brüche addieren.................................................................................21 13.2 ungleichnamige Brüche addieren.............................................................................21 13.3 Bruch und natürliche Zahl........................................................................................21 13.4 Rechteckmodell........................................................................................................23 14. Multiplikation von Brüchen...........................................................................................23 14.1 natürliche Zahl mal gemischter Bruch.....................................................................23 14.2 gemischte Brüche mal natürliche Zahl.....................................................................24 14.3 Multiplikation von Brüchen (Bruchzahl mal Bruchzahl).........................................24 14.3.1 „Von-Ansatz“....................................................................................................24 14.3.2 Gleichungsketten...............................................................................................25 14.4 Schülerfehler bei der Multiplikation........................................................................25 15. Division von Brüchen....................................................................................................25 15.1 Grundvorstellungen..................................................................................................25 15.2 Division von gewöhnlichen Brüchen.......................................................................25 15.3 Bruch durch natürliche Zahl.....................................................................................26 15.3.1 Multiplikation mit dem Kehrwert.....................................................................26 15.4 Natürliche Zahl durch Bruch....................................................................................26 15.5 Bruch durch Bruch – Division als Umkehrung der Multiplikation..........................27

4

1. Schätzen 1.1 Der Zahlenbegriff  Kardinalzahl = Wie viele? Kardinalzahl erkenne ich daran, wenn ich fragen kann „Wie viel..?“ es von etwas gibt. (Grundzahl) Def.: „Ist eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit von Mengen.“ (Mächtigkeit = Um Begriff „Anzahl der Elemente einer Menge auf unendliche Mengen zu verallgemeinern)  Ordinalzahl = An welcher Stelle? Zahlen „konstituieren“(=gründen) eine Reihenfolge. Def.: Ordinalzahl oder auch Ordnungszahl gibt den Rangplatz eines Elements z.B. fünfter an.  Zählzahl = Folge der beim Zählen durchlaufenen natürlichen Zahl. (Durch Zählzahlen wird eine Reihenfolge beschrieben. z.B. Das ist das Haus mit der Nummer 15) Maßzahl = Es werden Größen mit Zahlen beschrieben. Def.: Die Maßzahl ist das Resultat einer Messung. Sie beantwortet die Frage „Wie oft?“ wie schwer?“ ect. 

 Operator = Wie oft? Eine regelmäßige Veränderung von Zahlen wird vorgenommen. Die Frage nach dem Operator ist, „Wie viel Mal / wie oft wurde er vervielfältigt?“ Def.: Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift. Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs.  Rechenzahl =  algebraisch: Zahlen werden zum Rechnen genutzt. Grundlage sind Rechengesetzte  algorithmischer Aspekt: mit Zahlen kann man nach eindeutig bestimmten Folgen von Handlungen rechnen (Zahlendarstellung)  Codierungszahlaspekt = Zahlen dienen dazu, Dinge zu benennen und zu unterscheiden (z.B. EAN-Code).

1.2 Schätzen – Runden- Überschlagen: MERKE Prüfungsrelevant ! Zum sicheren Umgang mit Größen gehöt die Fähigkeit Größen zu schätzen. hierfür benötigt man Vertraute Vergleichsobjekte, sog. Stützpunktvorstellunge Bsp.: für Längen, Masse, Geld und Größen Im Gegensatz zum Raten ist Schätzen eine überlegte und begründbare Aussage. Beim Runden geht man von „genauen“ Zahlen aus und ersetzt diese meist durch das Vielfache von 10ner Potenzen. Bei einer Rechnung mit geschätzten oder gerundeten Zahlen nennt man Überschlag. 5

1.3 Funktionen des Überschlags: Prüfungsrelevant ! - Lösungen schnell kontrollieren - Aufgaben besser verstehen - Taschenrechner wird überflüssig

2. Stellenwertsysteme 2.1 Allgemeines  

Stellenwertsystem (Postitionssystem) Stellenwertsysteme   Additionssysteme (hatten Römer und Ägypter)

 Information:  Stellenwertsystem/Positionssystem: Die Position der Ziffer spiel beim addieen eine Rolle  Additionssysteme: Wert der Zahl erreicht bei addieren die Werte der Ziffern. Beispiel: Strichliste es gibt nur eine Zahl. Den Strich I, die Zahl 3 wird als III dargestellt Beispiel Römische Zahlen: Es gibt sieben Zahlen (1,5,10,50,100,500,1000)  zwei wesentliche Ideen liegen unserem Stellenwertsystem zu Grunde: 1. Das fortgesetzte Bündeln nach der entsprechenden Basis 2. Die Position der Symbole als Träger der Information über die Stufenzahl  Vorteile: a) Alle Zahlen sind unter Verwendung von wenigen Zahlen Schreibbar b) Grundlage für unkomplizierte Rechenverfahren

3. Zahlensysteme 3.1 Dekadisches Zahlen-/Stellenwertsystem Wir stellen natürliche Zahlen durch Aneinanderreihung von Ziffern da, dabei reichen uns zehn Stück aus (0-9)  Jede Ziffer in einem Zahlenwert trägt zwei Informationen: Ziffernwert & Stellenwert 57.629 = 5*104 + 7*103+6*10²+2*101+9*100 6  Ziffernwert 6  Stellenwert Hundert  Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es ein kN und Z0, Z1,…..Zk{1…9} wobei Zk0 n = Zk * 10k + Zk*10k-1  In der dekadischen Schreibweise stellen wir Zahlen durch eine Ziffernfolge dar: 6

Zk, Zk-1, Zk-2…….Z1, Z0 3.2 b-adische Zahlendarstellung Sei bN und b > 1, dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl n kein kN und Zo, Z1….Zk{0…..I b-1}, wobei Zk 0, sodass n= zu bk+Zk-1 *bk-1…..Z1*b1 + Z0*b0 ist. 3.2 Bündeln Beim Bündeln versucht man große Mengen übersichtlich zu machen. Bsp.: 326 im Zehnersystem (10ner Bündel –> 32 Zehner Büdel 6 Rest) Bündeln erster Stufe  Es werden immer 10 Punkte zu einem Bündel zusammen gefasst. (=32 Zehner Bündel 6 Rest) Bündeln zweiter Stufe  Man fasst nun 10ner Bündel zusammen ( drei 100ter Bündel und zwei Zehner und 6 Rest) Bündeln dritter Stufe  Nun würde man 10 100ter Bündel zu einem zusammen fassen

  

3.3 Beispiel 3er-System

3.4 Addition im 5er-System 433(5) 124(5) 1 1

1112(5) 3.5 Multiplikation im 5er-System 4335 * 124 33425 14215 4335 1211

1214025 gelb = gemerkte Bündel, die bei der Addition der Zahlen entstanden ist

7

3.6 Division im 3er-System 1 * 12(3) = 12(3) 2* 12(3) = 101(3)

221(3):12(3) = 12(3) - 12 101 101 - - -4. Grundrechenarten 4.1 Gründe für schriftliches Rechnen  Unabhängigkeit von Rechenhilfen  Kontrolle  kognitive Lernziele  affektive Lernziele 4.2 Einwände gegen schriftliches Rechnen  Verständnis der Verfahren  weniger komplizierte (Ausnahme-) Fälle Alternativen:  Überschlagen  gegensinniges Rechnen (Summe, Produkt)  gleichsinniges Rechnen (Differenz, Quotient) 4.3 Addition 4.3.1 Probleme der Addition  Übertrag wird vergessen oder nicht gemacht  Problem wenn eine Stelle fehlt 4.3.2 o o o o

Fördermaßnahmen, gegen Fehler Übertragzahl IMMER notieren Zusammenhang aufzeigen: Sprachen  Schreiben Zeile zwischen Summenstrich und letzten Summanden (Platz für Übertrag) Übertrag UNTER die Zeile, nicht daneben

4.3.3 Mögliche Aufgabenstellungen  Klecksaufgaben  Ziffernkärtchen

8

4.3.4 halbschriftliches Rechnen 23 + 35 = 23 + 30 = 53 53 + 5 = 58  wird im Kopf durchgeführt und schriftlich festgehalten  auch sog. gestütztes Kopfrechnen zentrale Idee ist die Zerlegung von Aufgaben in Teilaufgaben. Einzelne Rechenschritte werden dabei notiert und das Ergebnis ermittelt. ! ist Zahlenrechnen und kein Ziffernrechnen ! 4.4 Subtraktion 4.4.1 die Fünf Subtraktionsverfahren  Abziehen – Entbündeln  Abziehen – Erweitern  Ergänzen – Entbündeln  Ergänzen – Erweitern  Ergänzen – Auffüllen !! näheres zu Verfahren auf Extrablatt !! 4.4.2 Vergleich der Grundverfahren Abziehen und Ergänzen Abziehen Ergänzen + Abziehen ist natürlicher bei der + lediglich das 1+1 ist notwendig Subtraktion + Vorwärtszählen ist einfacher als - Ergänzen und Addition ähnlich  Rückwärtszählen Fehlergefahr + Bezug zum Alltag – - Ergebnis der Differenz ist bei Ergänzen Wechselgeldherausgabe unklar + Zusammenhang Addition und + Sachaufgaben: „Wegnehmen = Subtraktion wird deutlich Abziehen“

9

4.4.3 Vor- und Nachteile der Subtraktionsverfahren Abziehverfahren Ergänzungsverfahren Vorteil Nachteil Vorteil Nachteil Lediglich das 1+1 wird Gekünstelt, realitätfern Man kann nicht Abziehen ist bei der gebraucht mehrere Zahlen Subtraktion das voneinander abziehen natürliche Verhalten Schreibweise klafft mit Mit großen Zahlen Vorwärtsrechnen ist Schreibweise Sprechweise auseinander rechnen, fällt schwerer einfacher als entspricht Rückwärtsrechnen Sprechweise Verwechselung mit schriftl. Sachaufgaben beruhen Zusammenhang von +/- Alltagsbezug: wird nicht deutlich Wechselgeldherausgabe Addition auf Abziehen/Wegnehmen Kleines 1-1 wird Zusammenhang benötigt zwischen Addition und Subtraktion wird deutlich Subtrahieren von mehreren Zahlen ist einfacher

4.5 Multiplikation 4.5.1 Drei Stufen der Multiplikation Schriftliches Multiplizieren mit… 1. einstelligem Multiplikator 2. Vielfachen von Zehnerpotenzen 3. mit beliebig mehrstelligen Multiplikatoren 4.6 Division 4.6.1 Stufenlernen der Division 1. Schriftliche Division mit einstelligem Divisor (:3..4…5) 2. Ergänzung: Aufgaben mit Null (=405) 3. Schriftliche Division mit Zehnerzahlen als Divisor (:10…20…30= 4. Schriftliche Division mit mehrstelligen Divisor (:13…27…54..)

10

4.6.2 Schriftliche Division  Bestimmung des Teildividenden  Bestimmung der führenden Ziffer des Quotienten - Überschlägiges Dividieren - schriftliche Multiplikation  Schriftliche Subtraktion  usw…  Teildivisor = 15352 : 17  führende Ziffer = - Bestimmung der führenden Ziffer des Quotienten (= Ergebnis einer Division) - Teildividend durch Divisor geteilt ( 153 : 17 = 9  9 ist ...