DMP Übungsblatt Kapitel 05 Lösung PDF

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Aufgabenblatt 1 mit Löung jahr 17 18
Sollte gut funktionieren...

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Professur für Finanzwirtschaft, insb. Derivate Prof. Dr. Alexander Szimayer Derivate: Märkte und Produkte Wintersemester 2021/2022

Derivate: Märkte und Produkte Übungsaufgaben & Lösungen – Kapitel 5 Aufgabe 5.1 (D. Chance, Kap. 5, Übungsaufgabe 3) Erläutern Sie die folgenden Kennzahlen und geben Sie deren Form in Bezug auf Call-Optionen an: a) b) c) d) e)

Delta Gamma Vega Rho Theta

Lösung: Gegeben seien ein Portfolio mit Preis Vt := Vt (St , σ, r, T − t) und eine Call-Option mit Preis Ct := Ct (St , σ, r, T − t). a) Delta Das Delta eines Portfolios gibt die Sensitivität des Portfoliopreises Vt bezüglich Änderungen des Basiswertpreises St an: ∂Vt . ∆= ∂St Für das Delta einer Call-Option gilt im Black-Scholes-Modell: ∆Ct =

∂Ct = N (d 1 ) . ∂St

Das Delta einer Call-Option weist folgende Eigenschaften auf: • Nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. • Ist steigend im Basiswertpreis St .

b) Gamma Das Gamma eines Portfolios gibt die Sensitivität zweiter Ordnung des Portfoliopreises Vt bezüglich Änderungen des Basiswertpreises St an: Γ=

∂∆ ∂ 2 Vt . = ∂St ∂St2

Für das Gamma einer Call-Option gilt im Black-Scholes-Modell: ΓCt =

∂∆Ct ϕ(d 1 ) ∂ 2 Ct = = √ . ∂St2 ∂St St · σ · T − t

Das Gamma einer Call-Option weist folgende Eigenschaften auf: • Ist positiv. 1 von 6

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c) Vega Das Vega eines Portfolios gibt die Sensitivität des Portfoliopreises Vt bezüglich Änderungen der Volatilität σ des Basiswerts an: ∂Vt . V= ∂σ Für das Vega einer Call-Option gilt im Black-Scholes-Modell: VC t =

√ ∂Ct = St · ϕ(d 1 ) · T − t . ∂σ

Im Black-Scholes-Modell quantifiziert das Vega das Modellrisiko, das aus einer möglichen Änderung der Volatilität resultiert. Das Vega einer Call-Option (und Put-Option) weist folgende Eigenschaften auf: • Ist positiv. d) Rho Das Rho eines Portfolios gibt die Sensitivität des Portfoliopreises Vt bezüglich Änderungen des risikolosen Zinssatzes r an: ∂Vt . ρ= ∂r Für das Rho einer Call-Option gilt im Black-Scholes-Modell: ρC t =

∂Ct = (T − t) · e−r (T −t) · X · N (d 2 ) . ∂r

Im Black-Scholes-Modell quantifiziert das Rho das Modellrisiko, das aus einer möglichen Änderung des risikolosen Zinssatzes resultiert. Das Rho einer Call-Option weist folgende Eigenschaften auf: • Ist positiv.

• Ist steigend im Basiswertpreis St . e) Theta Das Theta eines Portfolios gibt das Negative der Sensitivität des Portfoliopreises Vt bezüglich Änderungen der Restlaufzeit (T − t) an: ∂Vt . Θ=− ∂(T − t) Für das Theta einer Call-Option gilt im Black-Scholes-Modell: ΘCt = −

∂Ct St · ϕ(d 1 ) · σ √ − r · e−r (T −t) · X · N (d 2 ) . =− ∂(T − t) 2· T −t

Das Theta einer Call-Option weist folgende Eigenschaften auf: • Ist negativ. Da das Theta für eine Call-Option negativ ist, nimmt der Zeitwert mit fallender Restlaufzeit ab. Folglich besitzt die Call-Option stets einen positiven Zeitwert. Aus diesem Grund ist das frühzeitige Ausüben einer amerikanischen Call-Option, die sich von ihrem europäischen Pendant nur durch dieses zusätzliche Recht unterscheidet, nicht monetär optimal, da dadurch Zeitwert vernichtet werden würde. 2 von 6

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Aufgabe 5.2 Eine Firma hält 1.000 Short-Positionen einer Call-Option A, welche ein Delta von 0,5 und ein Gamma von 2,2 aufweist. a) Die Firma möchte sich mittels Delta-Hedge absichern. Welche Position muss sie im Basiswert eingehen, damit ihr Portfolio Delta-neutral wird? b) Eine weitere Option B auf diesen Basiswert ist handelbar, welche ein Delta von 0,6 und ein Gamma von 1,6 aufweist. Um einem Hedge-Fehler vorzubeugen, möchte die Firma ihr Portfolio zusätzlich Gamma-neutral machen. Welche Positionen müsste sie dafür in Option B und dem Basiswert eingehen? Lösung: Aus der Aufgabenstellung geht hervor: NA = −1.000 ,

∆A = 0,5 ,

ΓA = 2,2 .

a) Sei V ein Portfolio, das NA Positionen in einer Call-Option A = C(S, X, T ) und h Positionen in dem Basiswert S enthält. Dann ist V Delta-neutral, wenn gilt: !

∆V = h · ∆S + NA · ∆A = 0 , d. h., wenn die (infinitesimale) Änderung des Portfolios gleich null ist. Damit das Firmenportfolio V Delta-neutral ist, muss hier also gelten (∆S = 1): ! ∆V = h · 1 − 1.000 · 0,5 = 0 .

Auflösen nach h führt zu: h = 500 . Die Firma muss somit 500 Long-Positionen im Basiswert S eingehen, damit ihr Portfolio Delta-neutral ist. b) Aus der Aufgabenstellung geht zusätzlich hervor: ∆B = 0,6 ,

ΓB = 1,6 .

Sei V ein Portfolio, das NA Short-Positionen in einer Call-Option A = C(S, X, T ), h Positionen in dem ˜ T˜ ) enthält. Dann ist V Delta-neutral Basiswert S und ˜h Positionen in einer Call-Option B = ˜C(S, X, und Gamma-neutral, wenn gilt: !

˜ · ∆B + NA · ∆A = 0 ∆V = h · ∆S + h !

˜ · ΓB + NA · ΓA = 0 , ΓV = h · ΓS + h 3 von 6

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d. h., wenn die (infinitesimalen) Änderungen erster und zweiter Ordnung des Portfolios gleich null sind. Damit das Firmenportfolio V Delta-neutral und Gamma-neutral ist, muss hier also gelten (∆S = 1 und ΓS = 0): ! ∆V = h · 1 + ˜h · 0,6 − 1.000 · 0,5 = 0 ! ΓV = h · 0 + ˜h · 1,6 − 1.000 · 2,2 = 0

Auflösen der zweiten Gleichung nach ˜h, Einsetzen hiervon in die erste Gleichung und anschließendes Auflösen nach h führen zu: h + ˜h · 0,6 = 500 ˜h · 1,6 = 2.200 ⇔

h + 1.375 · 0,6 = 500

˜h = 1.375 h = −325

⇔

˜h = 1.375 .

Die Firma muss somit 325 Short-Positionen im Basiswert S und 1.375 Long-Positionen in der CallOption B eingehen, damit ihr Portfolio sowohl Delta-neutral als auch Gamma-neutral ist.

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Aufgabe 5.3 (D. Chance, Kap. 6, Übungsaufgabe 3) Betrachten Sie eine Aktie, die keine Dividenden zahlt. Eine Call-Option auf die Aktie notiert mit Marktpreis 14,20 e. Der entsprechende Put-Preis beträgt 9,30 e. Der Strike beträgt 100 e und die Laufzeit 1 Jahr. Der risikolose Zinssatz ist 5 % (stetige Verzinsung). a) Geben Sie ein Portfolio an, das die Aktie synthetisiert. b) Nehme Sie an, dass der Aktienpreis 100 e beträgt. Geben Sie für diesen Fall eine ArbitrageStrategie an. Lösung: Aus der Aufgabenstellung geht hervor: C0 = 14,20 e ,

P0 = 9,30 e ,

T = 1,

X = 100 e ,

r = 5%.

a) Die Call-Option und die Put-Option weisen beide den identischen Basiswert S, Strike X und die Laufzeit T auf. Aus der Put-Call-Parität ist dann folgende Beziehung zwischen den Preisen der vier ableitbaren Finanzinstrumente zum Zeitpunkt t = 0 bekannt: C0 − P0 = S0 − e−r T · X . Auflösen hiervon nach dem Aktienpreis S0 ergibt: S0 = C0 − P0 + e−r T · X . Die Portfoliostragie für eine synthetische Aktie S syn lautet somit: • Long-Position in einer Call-Option: NC = 1. • Short-Position in einer Put-Option: NP = −1. • Long-Position in X Nullkuponanleihen mit Fälligkeit T : NN KA = X . b) der synEine Arbitrage-Strategie könnte vorliegen, wenn der Preis St der Aktie von dem Preis S syn t thetischen Aktie zum Zeitpunkt t abweicht, also wenn gilt: St 6= Stsyn . Für den Preis S 0syn der synthetischen Aktie (bzw. die Kosten des Replikationsportfolios) gilt zum Zeitpunkt t = 0: S0syn = C0 − P0 + e−r T · X = 14,20 e − 9,30 e + e−0,05·1 · 100 e = 100,0229 e . Da St < S tsyn gilt, führt folgende Arbitrage-Strategie zu einem risikolosen Gewinn: • Kaufe Aktie (da zu günstig): NS = 1. 5 von 6

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• Verkaufe synthetische Aktie (da zu teuer): NS syn = −1. Der Arbitrage-Gewinn zum Zeitpunkt t = 0 beträgt dann: syn Πarb − S0 = 100,0229 e − 100 e = 0,0229 e . 0 = S0

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