Fórmulas cinemáticas - Apuntes 1 PDF

Preview

Summary

descripcion de las formulas...

Description

FÓRMULAS CINEMÁTICAS Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación. ∆x Desplazamiento t Intervalo de tiempo v0 Velocidad inicial v Velocidad final a Aceleración constante

Si conocemos tres de estas cinco variables cinemáticas para un objeto bajo aceleración constante, podemos usar una fórmula cinemática para encontrar una de las variables desconocidas. Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes cuatro ecuaciones.

Como las fórmulas cinemáticas solo son ciertas si la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado, debemos ser cuidadosos de no usarlas cuando la aceleración esté cambiando. Además, las fórmulas cinemáticas suponen que todas las variables se refieren a la misma dirección: x horizontal, y vertical, etc. ¿Qué es un objeto que vuela libremente, es decir, un proyectil?

Podría parecer que el hecho de que las fórmulas cinemáticas solo funcionen para intervalos de tiempo de aceleración constante limitaría seriamente la aplicabilidad de estas fórmulas. Sin embargo, una de las formas más comunes de movimiento (la caída libre), resulta ser a aceleración constante. Todos los objetos que vuelan libremente (también llamados proyectiles) en la Tierra, sin importar su masa, tienen una aceleración constante dirigida hacia abajo debida a la gravedad de magnitud

Se define un objeto que vuela libremente como cualquier objeto que esté acelerando debido solo a la influencia de la gravedad. Típicamente suponemos que el efecto de la resistencia del aire es tan pequeño que lo podemos ignorar, lo que significa que cualquier objeto que se suelta, se lanza o que de otra manera vuela libremente a través del aire, se considera como un proyectil que vuela libremente con una aceleración constante dirigida hacia abajo de magnitud. Cuando pensamos en ello, es extraño y afortunado. Es extraño pues significa que una roca gigante se acelerará hacia abajo con la misma aceleración que una pequeña piedra, y si se dejaran caer de la misma altura, golpearían el suelo al mismo tiempo. Es afortunado ya que no necesitamos conocer la masa del proyectil cuando resolvemos fórmulas cinemáticas, dado que el objeto que vuela libremente tendrá la misma magnitud de la aceleración, sin importar qué masa tenga (siempre y cuando la resistencia del aire sea despreciable). Observa que solo es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. Si seleccionamos arriba como la dirección positiva, cuando hagamos las sustituciones en las fórmulas cinemáticas para un proyectil, debemos hacer que la aceleración de la gravedad sea negativa.

Advertencia: una de las fuentes de error más comunes es olvidar incluir un signo negativo cuando se usan las fórmulas cinemáticas.

¿Cómo seleccionas y usas una fórmula cinemática? Escogemos la fórmula cinemática que incluya tanto la variable desconocida que queremos determinar y tres de las variables cinemáticas que ya conozcamos. De esta forma, podemos resolver para la incógnita que queremos encontrar, que será la única incógnita en la fórmula. Por ejemplo, digamos que supiéramos que un libro que se encuentra en el suelo fue pateado hacia adelante con una velocidad inicial de v 0= 5 m / s, y que le tomó un intervalo de tiempo de t = 3 s deslizarse un desplazamiento de ∆ x = 8 m. Podríamos usar la fórmula cinemátic para resolver algebraicamente para la aceleración desconocida a del libro (suponiendo que la aceleración fuera constante) ya que conocemos todas las otras variables en esa fórmula además de a. Consejo para resolver el problema: observa que a cada fórmula cinemática le falta alguna de las cinco variables cinemáticas;

Para escoger la fórmula cinemática que sea adecuada para tu problema, determina cuál variable no se te da y no se te pide encontrar. Por ejemplo, en el problema de arriba, la velocidad final v del libro ni se nos dio ni se nos pidió, así que deberíamos escoger una fórmula que no incluya a v. A la fórmula cinem le falta el término v, por lo que en este caso es la elección correcta para resolver para la aceleración a.

¿Cómo derivas la primera fórmula cinemática? V=v0+at Esta fórmula cinemática es probablemente la más fácil de derivar, ya que en realidad es solo una versión reorganizada de la definición de la aceleración. Podemos empezar con la definición de la aceleración. Ahora podemos reemplazar Δv, con la definición de cambio en la velocidad: v – v 0

Por último, si resolvemos para v obtenemos.

Y si estamos de acuerdo en usar t en vez de Δt, t, esta se vuelve la primera fórmula cinemática. V=v0+at ¿Cómo derivas la segunda fórmula cinemática,

?

Una manera genial de derivar esta fórmula cinemática de manera visual es al considerar la gráfica de velocidad para un objeto con aceleración constante (en otras palabras, una pendiente constante) que empieza con velocidad inicial v 0, como se ve en la siguiente gráfica.

El área debajo de cualquier gráfica de velocidad da el desplazamiento Δx. Entonces, el área debajo de esta gráfica de velocidad será el desplazamiento Δx del objeto. Δx=área total} De manera conveniente, podemos separar esta área en un rectángulo azul y un triángulo rojo, como se muestra en la gráfica de arriba. La altura del rectángulo azul es v 0 y la base es t, por lo que el área total del rectángulo azul es v 0t. La base del triángulo rojo es t y la altura es v 0v, entonces el área debajo del triángulo rojo es El área total será la suma de las áreas del rectángulo azul y el triángulo rojo.

Si distribuimos el factor de

obtenemos

Podemos simplificar al combinar los términos de v0 para obtener

Y por último podemos reescribir el lado derecho para obtener la segunda fórmula cinemática

Esta fórmula es interesante ya que si divides ambos lados entre t, obtienes Esto dice que la velocidad prom o es igual al promedio de las velocidades fina ial . Sin embargo, esto solo es verdadero al suponer que la aceleración es constante, ya que derivamos esta

fórmula a partir de una gráfica de velocidad con pendiente/aceleración constante.

¿Cómo derivas la tercera fórmula cinemática,

Hay dos maneras de derivar la ecuación Hay una derivación geométrica genial y una derivación menos emocionante que involucra sustituir y calcular. Primero vamos a hacer la derivación geométrica genial. Considera un objeto que empieza con una velocidad v 0 y mantiene una aceleración constante hasta una velocidad final v como se observa en la siguiente gráfica.

Ya que el área debajo de la gráfica de la veloci cada término en el lado derecho de la fórmula un área en la gráfica de arriba.

azamiento Δ x, representa

El término v 0 t representa el área del rectángulo azul, pues A rectángulo=bh.

El término bh

representa el área del triángulo rojo, pues A triángulo

Esto es todo. La fórmula tiene que ser verdadera, ya que el desplazamiento debe estar dado por el área total bajo la curva. Hicimos la suposición de que la gráfica de velocidad era una linda recta diagonal, de modo que pudiéramos usar la fórmula del triángulo, así que esta fórmula cinemática, como el resto de las fórmulas cinemáticas, solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante. Aquí está la derivación alternativa al hacer una sustitución con cálculos. La tercera fórmula cinemática se puede derivar al sustituir la primera fórmula cinemática, v = v 0 + a t en la segunda fórmula cinemática,

¿Cómo derivas la cuarta fórmula cinemática,

?

Para derivar la cuarta fórmula cinemática, vamos a empezar con la segunda fórmula cinemática:

Queremos eliminar el tiempo t de esta fórmula. Para hacerlo, vamos a despejar el tiempo de la primera fórmula cinemática, v = v 0 para Si sustituimos esta expresión para el tiempo t en la segunda fórmula cinemática obtendremos

Multiplicar las fracciones en el lado derecho nos da

Y ahora, al despejar 2 v, obtenemos la cuarta fórmula cinemática.

¿Qué es confuso acerca de las fórmulas cinemáticas? La gente suele olvidar que las fórmulas cinemáticas solo son verdaderas al suponer que la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado. Algunas veces, una variable conocida no se proporciona de forma explícita en un problema dado, sino más bien se da de forma implícita en palabras clave. Por ejemplo, "empieza en reposo" significa v 0 = 0 "se deja caer" a menudo significa v 0, y "se detiene" significa v = 0. También, la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en todos los proyectiles que vuelan libremente se supone que es g=9.81 de modo que esta aceleración usualmente no se da de forma explícita en un problema, sino que se entiende que este es su valor para un objeto que vuela libremente. La gente olvida que todas las variables cinemáticas Δ x, v o, v, a excepto el tiempo t, pueden ser negativas. Un signo negativo faltante es una fuente de error muy común. Si la dirección hacia arriba se toma como positiva, entonces la aceleración debida a la gravedad de un objeto que vuela libremente d a: La tercera fórmula cinemática, fórmula cuadrática

podría requerir el uso de la

La gente olvida que aún cuando puedes escoger cualquier intervalo de tiempo durante la aceleración constante, las variables cinemáticas que sustituyes en una fórmula cinemática deben ser consistentes con ese intervalo de tiempo. En otras palabras, la velocidad inicial v 0 tiene que ser la velocidad del objeto en la posición inicial al comienzo del intervalo de tiempo t. Del mismo modo, la velocidad final v debe ser la velocidad en la posición final al final del intervalo de tiempo t que está siendo analizado....