Hipérbola - Resumen Geometría Analítica PDF

Preview

Summary

Hipérbola resumen de la FPUNA...

Description

LA HIPÉRBOLA Definición y elementos Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una constante, denotada por 2a , menor que la distancia entre sus focos.

Designemos por F y F ' los focos de la hipérbola. La recta l que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos, A y A ' , llamados vértices reales o simplemente vértices. El segmento AA ' se llama eje real o eje transverso. La longitud del eje real es 2a . El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une 1os focos, se llama centro. La distancia entre los focos 2c , se llama distancia focal. La recta l ' que pasa por C y es perpendicular al eje focal l recibe el nombre de eje normal. Los puntos B y B ' del eje normal l ' , simétricos respecto al centro de la hipérbola, se llaman vértices imaginarios. El segmento BB ' se llama eje imaginario o eje conjugado. La longitud del eje imaginario es 2b , siendo c2  a2  b2 . El rectángulo cuyos lados tienen como puntos medios a los puntos A , A ' , B y B ' , se llama rectángulo principal. Las rectas m y m ' , que contienen a las diagonales del rectángulo principal, se llaman asíntotas. Un segmento tal como EE ' , que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de 1os focos, tal como GG ' , se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL ' , perpendicular a1 eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la hipérbola tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. La longitud de los lados rectos es

2b2 . Una cuerda que pasa por C , tal como DD ' , se llama un diámetro. Si P es un a punto cualquiera de la hipérbola, 1os segmentos FP y F ' P que unen 1os focos con el punto P se llaman radios vectores de P . La excentricidad de la hipérbola, denotada por e , se define c como la razón e  . Como c  a , la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad. a Las rectas d y d ' se llaman directrices. Cada directriz posee la siguiente propiedad: si r es la distancia de un punto arbitrario de la hipérbola a un foco y s es la distancia del mismo punto a la r directriz, unilateral a este mismo foco, entonces e  . La distancia de cada directriz al centro s a de la hipérbola es igual a . e LR 

Hipérbola equilátera

Una hipérbola se llama equilátera cuando su eje real y su eje imaginario tienen la misma longitud, es decir, cuando a  b . A una hipérbola equilátera también se la denomina hipérbola rectangular porque sus asíntotas son perpendiculares.

Hipérbolas conjugadas Si dos hipérbolas son tales que el eje real de cada una es idéntico al eje imaginario de la otra, se llaman hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra.

Ecuación canónica de la hipérbola de centro en el origen y eje focal un eje coordenado Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X . Los focos F y F ' están sobre el eje X . Como el centro O es el punto medio del segmento FF ' , las coordenadas de F y F ' serán (c, 0) y (c, 0) , respectivamente, siendo c una

constante positiva. Sea P( x, y ) un punto cualquiera de la rama derecha de la hipérbola. Entonces, por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica d ( F ', P )  d ( F , P )  2a , donde a es un número positivo tal que 2c  2a . Es decir, 2

2

2

2

( x  c )  ( y  0)  ( x  c )  ( y  0)  2a . Pasando el segundo radical al segundo miembro, elevando al cuadrado, simplificando y agrupando los términos semejantes resulta cx  a 2  a x 2  2cx  c 2  y 2 . Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos c 2 x 2  2a 2cx  a 4  a 2 x 2  2a 2cx  a 2c 2  a 2 y 2 , de donde c 2  a 2 x 2  a 2 y 2  a 2 c 2  a 2 . Reemplazando b2  c2  a 2 en la ecuación de la hipérbola obtenemos b2 x2  a2 y 2  a 2 b2 , y dividiendo por a2 b2 , se obtiene finalmente, x2 y 2   1. a2 b2 Del mismo modo, si P( x, y ) es un punto cualquiera de la rama izquierda de la hipérbola se obtiene la ecuación x2 y 2   1. a2 b2 Esta ecuación es denominada ecuación canónica de la hipérbola. Las coordenadas de los vértices son A (a,0) , A ' ( a,0) , B(0, b) y B' (0,b) .

Las ecuaciones de las directrices son: a d:x e Las ecuaciones de las asíntotas son: b m: y  x a

y

y

d ': x  

m ': y  

a . e

b x. a

Consideremos ahora el caso en que el centro de la hipérbola está en el origen pero su eje focal coincide con el eje Y . Las coordenadas de los focos son entonces F (0, c ) y F '(0, c ) . En este caso, la ecuación canónica de la hipérbola es 

x2 y2   1. b2 a2

Las coordenadas de los vértices son: A (0, a) , A ' (0, a) , B (b,0) y B' (b,0) . Las ecuaciones de las directrices son: a d:y e Las ecuaciones de las asíntotas son: a m: y  x b

y

y

d ': y  

m ': y  

a . e

a x. b

Ecuación canónica de la hipérbola de centro en C (h, k ) y eje focal paralelo a un eje coordenado Consideremos la hipérbola cuyo centro está en el punto C (h, k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje X . Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O ' coincida con el centro C (h, k ) de la hipérbola. Se sigue que la ecuación canónica de la elipse con referencia a los nuevos ejes X ' e Y ' está dada por 2 2 x' y'  1 . 2 2 a b Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas x  x ' h e y  y ' k obtenemos ( x  h)2 ( y  k )2   1. a2 b2 Las coordenadas de los vértices son: A (h  a, k ) , A ' (h  a, k ) , B( h, k  b) y B ' (h, k  b) . Las coordenadas de los focos son: F (h  c, k ) y F ' (h  c, k ) . Las ecuaciones de las directrices son: d :x h

a y e

d ': x  h

a . e

Las ecuaciones de las asíntotas son: b m : y  k  x  h  y a

m': y k  

b x  h  . a

Análogamente, la hipérbola cuyo centro es el punto C (h, k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación canónica 2 2 ( x  h) ( y  k )   1 . 2 2 b a Las coordenadas de los vértices son: A (h, k  a) , A ' (h, k  a) , B(h  b, k ) y B' (h  b, k ) . Las coordenadas de los focos son: F (h , k  c ) y F ' (h, k  c ) .

Las ecuaciones de las directrices son: d : y k

a y e

Las ecuaciones de las asíntotas son: a m : y  k  x  h  y b

d ': y  k 

a . e

m': y k  

a x  h  . b

Ecuación general de la hipérbola 2

2

2

2

( x  h) ( y  k ) ( x  h) ( y  k )   1 o la ecuación   1, 2 2 2 2 a b b a por ejemplo la primera. Si quitamos denominadores, desarrollamos, trasponemos y ordenamos términos , obtenemos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x  a y  2b hx  2a ky  b h  a k  a b  0 , la cual puede escribirse en la forma Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 . Esta ecuación es denominada ecuación general de la hipérbola. En la ecuación general de la hipérbola los coeficientes A y C tienen distintos signos. Consideremos la ecuación...