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appunti sullo sconto commerciale...

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LO SCONTO COMMERCIALE (E LA CAPITALIZZAZIONE IPERBOLICA) 7. Le funzioni fondamentali Abbiamo visto come alla forma più semplice d’interesse (quello lineare) corrisponda uno sconto quadratico. E’ possibile, viceversa, considerare il regime finanziario in cui è lo sconto ad avere la forma più semplice; risulta cioè: (2.14)

d(t) = dt

con d = d(1) tasso periodale (supponiamo annuo, l’anno essendo dunque l’unità di misura nella quale è espressa la variabile t) costante (e, per quanto convenuto al cap. I, compreso in [0,1]). Si ha allora subito, utilizzando notazioni e formule ormai consuete: (2.15)

D(t) = Kdt;

(2.16)

v(t) = 1dt;

(2.17)

P(t) = Kv(t) = K(1dt).

Questo regime finanziario (parliamo di "regime" potendo chiaramente la (14) considerarsi per diversi valori di d) è detto, per ragioni evidenti, dello sconto semplice, o dello interesse semplice anticipato, o, infine, dello sconto commerciale. In esso, come si vede, è appunto lo sconto (ed il valore attuale) ad avere andamento lineare rispetto al tempo (oltre a dipendere linearmente pure dal tasso e dal capitale a scadenza). La figura (6) riporta il grafico delle rette (15) e (17), limitatamente ai valori di t contenuti in [0,1/d]. Ovviamente, a valori crescenti di d e/o di K, corrispondono rette maggiormente inclinate. (figura 6) Come le formule mostrano subito, questo regime ha un limite temporale di applicabilità intrinseco: se si vuole, infatti, che risulti d(t)1, bisognerà che sia (v. la (14)) t1/d. Per valori di t superiori, lo sconto supererebbe il capitale a scadenza ed il fattore di attualizzazione diventerebbe negativo; tutte eventualità che possiamo stabilire di escludere dalla considerazione, in quanto poco coerenti con il significato finanziario delle grandezze in oggetto. Il fattore di capitalizzazione ed il tasso d’interesse associati risultano dati, rispettivamente, da:

(2.18)

1 1 1i   r( t )  v( t ) 1  dt 1  ( t  1) i

(2.19)

it dt i ( t ) r ( t )  1   1  dt 1  (t  1)i

(in entrambe le quali, l’ultima uguaglianza si ottiene ricordando la (1.20)). Otteniamo, infine, le espressioni per il montante e l’interesse:

1i C M (t ) Cr (t )  C 1  dt 1  ( t  1)i Cit Cdt I (t )  Ci (t )   1  dt 1  (t  1)i Come si vede, la situazione è simmetrica rispetto a quella che si aveva nel caso dell’interesse semplice: ora sono l’interesse ed il montante ad avere andamento quadratico. Si tratta, per la precisione, di due segmenti di iperboli: uscente dal punto (0,1) del piano cartesiano quella rappresentante il fattore di capitalizzazione, dall’origine delle coordinate quella rappresentante il tasso di interesse; entrambe, concave verso l’alto ed aventi per asintoto la retta t=1/d (=(1+ i)/i). Questa legge di capitalizzazione viene per l’appunto detta iperbolica. La figura 7 visualizza l’andamento di montante ed interesse prodotti da un capitale iniziale C; si tratta dunque dei grafici delle funzioni I(t)=Ci(t) ed M(t)=Cr(t). (figura 7) Al solito, ponendo C=1 (ciò che non altera l’andamento qualitativo dei grafici) le stesse curve possono considerarsi rappresentative del tasso d’interesse i(t) e del fattore di capitalizzazione r(t); così come, in figura 6, se è K=1 abbiamo i grafici del tasso di sconto e del fattore di attualizzazione. Quanto alla dipendenza di r(t) e di i(t) da d, è subito visto che al crescere di d l’asintoto si sposta verso sinistra, e le curve del montante e dell’interesse accentuano la loro curvatura; mantenendo beninteso - le stesse intersezioni con l’asse delle ordinate. -------------------------------------------ESERCIZI SVOLTI (1) Determinazione dello sconto e del valor attuale Calcolare il valor attuale di un capitale di 6.000 lire disponibile tra 4 mesi, nel regime dello sconto commerciale (tasso di sconto: 18% annuo), ed il corrispondente sconto. La misura in anni della durata assegnata è 4/12. Lo sconto risulta dunque, dalla (15), uguale a: D = D(4/12) = 6.0000,18(1/3) = 360. Sottraendo lo sconto al capitale a scadenza se ne ottiene il valor attuale, che risulta dunque: P = P(4/12)= 6.000 360= 5.640. (2) Determinazione della durata Calcolare il differimento per il quale, nel regime dello sconto commerciale e al tasso di sconto del 10% semestrale, un capitale di 4.500 lire ha valor attuale pari a 4.000. Essendo noti capitale, sconto (=4.5004.000=500) e relativo tasso, la (15) permette di scrivere: 500 = 4.5000,1t dalla quale segue t=1,11 semestri.

(3) Determinazione del tasso di sconto Calcolare il tasso annuo di sconto in base al quale, nel regime dello sconto commerciale, il valor attuale di 2.700 lire disponibili tra un mese e mezzo è 2.600. Ancora con riferimento alla (15), risultano ora assegnati K, D e t; il tasso cercato risulta come radice dell’equazione lineare: 100 = 2.700d(1,5/12). Si trova d=29,63%. (4) Operazioni di capitalizzazione Calcolare il capitale da investire per generare in 7 mesi un montante di 3.750 lire, nel regime della capitalizzazione iperbolica ed al tasso d’interesse del 13% annuo. Dalla (18) risulta che il fattore di capitalizzazione per l’operazione indicata è:

1, 13 r( 7 / 12 )  1, 07 1  (( 7 / 12)  1) 0, 13

. Il capitale richiesto si trova allora risolvendo l'equazione: 3.750 = C  1,07 che dà C =3.498,34. Il risultato si può anche ottenere ragionando - in questo regime, più semplicemente - in termini di operazione di anticipazione: il capitale cercato non è infatti altro che il valor attuale della somma indicata come montante. Il tasso di sconto associato a quello d’interesse assegnato essendo dell’11,50% annuo, si ottiene dalla (17) l’ equazione: P = 3.750[10,1150(7/12)] = 3.498,34.

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8. La capitalizzazione degli interessi. Tassi equivalenti Simmetricamente a quanto avviene nel regime dell’interesse semplice (n. 5), in quello dello sconto commerciale l’operazione della capitalizzazione degl’interessi maturati è svantaggiosa per l’investitore. Si tratta, anche ora, di confrontare l'ordinario montante al tempo t, dato in questo caso - ci riferiamo all'investimento di 1 lira - da r(t)=(1dt)1, con quello che si ottiene capitalizzando per la durata ts il montante generato al tempo intermedio s, ossia con r(s)r(ts)= (1ds)1(1d(ts))1. La tesi è che sia r(s)r(ts)< r(t) cioè, invertendo: (1ds)(1d(ts)) =1 dt+d2s(ts)>(1dt). Ma questa è banalmente vera se è, come supponiamo, t>s(>0).

(figura 8)

La simmetria con quanto osservato al n. 5 si completa notando che se, fissata la durata complessiva t dell’investimento, indichiamo con s l’istante intermedio in cui avviene la capitalizzazione degl’interessi maturati, il montante finale risulta una funzione di s che assume il valore minimo per s= t/2. Il montante prodotto dal capitale unitario investito per il tempo T, nell’ipotesi che il periodo complessivo venga suddiviso in n intervalli uguali, al termine di ciascuno dei quali si ripeta l’operazione di capitalizzazione degl’interessi prodotti, risulta: - per n = 1: (1dT)1 - per n = 2: (1dT/2)1(1dT/2)1 = (1dT/2)2 ..... - per n generico: (1dT/n)n Valgono tutte le avvertenze formulate al n. 5 per il caso dell’interesse semplice. In particolare, al limite per n tendente all’infinito, il montante risulta dato, per ogni t, da M(t)= exp(dt); il grafico di questa è un’esponenziale che ha, nel punto (0,1), la stessa tangente della curva M(t)= 1/(1dt).

I tassi periodali di sconto (o d’interesse) equivalenti - nel senso precisato al n. 3 - ad un tasso assegnato, si ottengono dalla (14) (o dalla (19)) quando vi si inseriscano i corrispondenti valori di t. In particolare, e ad esempio, se la (14) è immaginata scritta con l'anno come unità di misura del tempo, il tasso periodale dh relativo al periodo generico “ h anni” (h reale positivo qualunque) risulta collegato a quello annuo da dalla: (2.20)

dh = hda

del tutto simile (come era da aspettarsi) alla (8). Anche le considerazioni, svolte al n. 6, riguardo la possibilità di utilizzare nelle formule, quando il tasso di sconto sia riferito all’anno ed il tempo espresso invece in giorni, l’anno commerciale di 360 giorni anziché quello civile di 365, si ripetono pressoché inalterate. Nei due casi, l’ analoga della (13) sarà ora la D(g) = Kdag/360, o la D(g) = Kdag/365: la prima quantità è sempre maggiore della seconda, e dunque la convenzione dell’ utilizzo dell’anno commerciale equivale ad un aumento del tasso di sconto (da da a da (365/360)). Resta da aggiungere che in questo regime (non a caso detto "commerciale") è più spesso usato l’anno commerciale.

-------------------------------------------ESERCIZI SVOLTI Determinazione di tassi equivalenti Calcolare il tasso annuo di sconto equivalente, nel regime dello sconto commerciale, al 7% quadrimestrale. Assumendo il quadrimestre come unità di misura del tempo, la (14) si scrive: dq(t) = 0,07t e questa, per t=3, dà il tasso richiesto, che risulta pertanto pari al 21%. Al medesimo risultato si perviene, naturalmente, a partire dalla (20) scritta per k=1/3 (un quadrimestre=un terzo di anno!): d1/3 = 0,07 = (1/3)da. Si noti che lo stesso esercizio svolto nel regime dell’interesse semplice porta (si usi la (10)) ad una misura del tasso annuo del 18,42%.

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