Samenvatting HMG Rekenwerkboek Bewerkingen PDF

Preview

Summary

Download Samenvatting HMG Rekenwerkboek Bewerkingen PDF

Description

Gecijferdheid – bewerkingen 1.2 Eigenschapsrekenen “eigenschapsrekenen” is de gevarieerde vorm van hoofdrekenen. Bij deze rekenvorm gaat het om rekenen met inzicht in de getallenstructuur en in bewerkingen met getallen en reken je met het gehele getal, niet met afzonderlijke cijfers. Je maakt hierbij gebruik van getalrelaties en de eigenschappen van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Handig rekenen met eigenschappen van bewerkingen Met behulp van de eigenschappen van de bewerkingen vervang je de rekenopgave door een opgave die wel hetzelfde antwoord heeft, maar ‘eenvoudiger’ te bereken is! Om de leerstof van het Handig rekenen duidelijk af te bakenen rekenen wij tot het Handig rekenen het reken met gebruik van deze eigenschappen van bewerkingen: Eigenschap 1. Termen veranderen bij optellen en aftrekken Eigenschap 2. Compenseren bij optellen en aftrekken Eigenschap 3. Wisselen bij optellen en vermenigvuldigen Eigenschap 4. Schakelen bij optellen en vermenigvuldigen Eigenschap 5. Verdelen en samen nemen bij vermenigvuldigen en delen Eigenschap 6. Groter en kleiner bij vermenigvuldigen Eigenschap 7. Groter of kleiner bij delen Getalrelaties Bij het eigenschapsrekenen gebruik je de getalrelaties van de getallen waar je mee rekent om een opgave door het gebruik van eigenschappen van de bewerkingen te kunnen vereenvoudigen. Als je veel getalrelaties kent, dan kun je een som eenvoudiger maken en gevarieerd rekenen. De zeven eigenschappen van getallen en bewerkingen - Eigenschap 1: termen veranderen bij optellen en aftrekken De eigenschap ‘termen veranderen’ kun je gebruiken bij de bewerkingen optellen en aftrekken.  Optellen (9+7 = 10+6): Je ziet dat je van de ene term af neemt toe moet voegen aan de andere term. Zo houd je de som van de termen gelijk.  Aftrekken (15-8 = (15+2)-(8+2)= 17-10): Als je twee getallen van elkaar aftrekt verandert het antwoord niet als je een getal bij beide getallen optelt of van beide getallen aftrekt.

-

Eigenschap 2: compenseren bij optellen en aftrekken De eigenschap ‘compenseren’ kun je gebruiken bij de bewerkingen optellen en aftrekken.  Optellen (59+25 = 59+30-5): Als je bij één van de getallen naar boven afrondt op een 10-tal, 100-tal of 1000-tal, dan moet je wat er te veel bij is gedaan er weer aftrekken.  Aftrekken (14-9 = 14-10+1): Als je bij een aftrekking het af te trekken getal naar boven afrondt op een 10-tal, 100-tal of 1000-tal, dan moet je wat er te veel af is gedaan er weer bij doen.

-

Eigenschap 3: wisselen bij optellen en vermenigvuldigen Bij de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen van twee getallen mag je de volgorde verwisselen.  Optellen (4+9 = 9+4 = 10+3): meestal rekent het gemakkelijker als je het grootste getal vooraan zet.  Vermenigvuldigen (7x4 = 4x7): Bij het vermenigvuldigen van twee getallen mag je de volgorde verwisselen. Meestal rekent het gemakkelijker als je het kleinste getal vooraan zet. De wisseleigenschap of omkeereigenschap zijn alledaagse benamingen van de wiskundige ‘commutatieve eigenschap’. Commutatief betekent letterlijk: verwisselbaar.

-

Eigenschap 4: schakelen bij optellen en vermenigvuldigen Bij de bewerking optellen en vermenigvuldigen van meer dan twee getallen mag je zelf de volgorde waarin je rekent kiezen  Optellen (5+7+13 = 5+(7+13) = 5+20): Je telt eerst die twee getallen op die samen een ‘rond’ getal zijn.  Vermenigvuldigen (7x8x5 = 7x(8x5) = 7x40): Bij het vermenigvuldigen van drie of meer getallen mag je zelf de volgorde kiezen. Je vermenigvuldigt dus eerst die twee getallen die eenvoudig te vermenigvuldigen zij of een ‘rond’ getal als antwoord geven. Schakelen is de alledaagse benamingen van de wiskundige ‘associatieve eigenschap’. Associatief betekent letterlijk: verbindend.

-

Eigenschap 5: verdelen en samen nemen bij vermenigvuldigen en delen Bij deze eigenschap verdeel je een vermenigvuldiging of een deling in twee of meer eenvoudiger sommen. Je gebruikt de bewerkingen optellen en aftrekken om de uitkomst te bepalen.  Verdelen, vermenigvuldigen (8x42 = 8x(40+2) = 8x40+8x2): Als je een getal vermenigvuldigt, mag je dat getal schrijven als een optelling, zodat je twee ‘eenvoudige’ vermenigvuldigingen krijgt. (9x48 = 9x(50-2) = 9x50-9x2): Als je een getal vermenigvuldigt, mag je dat getal schrijven als een deling, zodat je twee ‘eenvoudige’ vermenigvuldigingen krijgt.

 Verdelen, delen (72:3 = (60+12):3 = 60:3+12:3): als je een getal deelt, mag je het deeltal schrijven als een optelling, zodat je twee of meer ‘eenvoudige’ delingen krijgt. (57:3 = (60-3):3 = 60:3-3): als je een getal deelt, mag je het deeltal schrijven als een deling, zodat je twee of meer ‘eenvoudige’ delingen krijgt.  Samen nemen, vermenigvuldigen (3x8+7x8 = (3+7)x8 = 10x8): als je twee of meer vermenigvuldigen met een gelijke factor moet optellen, dan mag je eerst de verschillende vermenigvuldigers bij elkaar optellen om daarna één vermenigvuldigen te maken. (12x9-7x9 = (12-7)x9 = 5x9) : als je twee of meer vermenigvuldigen met een gelijke getal moet aftrekken, dan mag je eerst de verschillende vermenigvuldigers van elkaar aftrekken om daarna één vermenigvuldigen te maken.  Samen nemen, delen (35:5+15:5 = (35+15):5 = 50:5): als je twee of meer delingen met een gelijke deler moet optellen, mag je eerst de verschillende deeltallen bij elkaar optellen om daarna maar één deling te maken. (63:7-35:7 = (63-35):7 = 28:7): als je twee delingen met een gelijke deler moet aftrekken, mag je eerst de verschillende deeltallen van elkaar aftrekken om daarna maar één deling te maken. Verdelen en samen nemen zijn de alledaagse benaming van de wiskundige ‘distributieve eigenschap’. Distributief betekent letterlijk ‘verdelend’ -

Eigenschap 6: groter en kleiner bij vermenigvuldigen Als je twee getallen vermenigvuldigt mag je het eerste getal door een ‘handig’ gekozen getal delen als je het tweede getal vermenigvuldigt, en anders om. (8x15 = (8:2)x(15x2) = 4x30)

-

Eigenschap 7: groter of kleiner bij delen Als je twee getallen deelt mag je beide getallen met een ‘handig’ gekozen getal vermenigvuldigen of door een ‘handig’ gekozen getal delen. (85:5 = (85x2):(5x2) = 170:10)

1

eigenschap Termen veranderen

2

Compenseren

3

Wisselen/communicatieve eigenschap

4

5

Schakelen/associatieve eigenschap Verdelen/distributieve eigenschap

Samen nemen/ distributieve eigenschap

6 7

Groter of kleiner Groter of kleiner

bewerking Optellen Aftrekken Optellen Aftrekken Optellen

Formule vorm a + b = (a + p) + (b - p) a - b = (a + p) + (b + p) a + b = a + (b + p) - p a - b = a - (b + p) + p a+b=b+a

Vermenigvuldigen a x b = b x a Optellen a + (b + c) = (a + b) + c Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen en optellen Vermenigvuldigen en aftrekken Delen en optellen Delen en aftrekken Vermenigvuldigen en optellen Vermenigvuldigen en aftrekken Delen en optellen Delen en aftrekken Vermenigvuldigen Delen

a x(b x c) = (a x b) x c a + (b + c) = a x b + a x c a + (b - c) = a x b - a x c (a + b) : c = a : c + b : c (a - b) : c = a : c - b : c (a x b) + (c x b) = (a + c) x b (a x b) - (c x b) = (a - c) x b (a : b) + (c : b) = (a + c) : b (a : b) - (c : b) = (a - c) : b a x b = (a : p) x (b x p) a : b = (p x a) : (p x b)

Hoofdrekenen Het eigenschapsrekenen gebruik je bij het hoofdreken, het ‘uit het hoofd rekenen’ zonder pen en papier of bij het handig rekenen naar eigen getalinzicht met pen en papier. - Strategie 1: rijgen bij optellen en aftrekken Bij het rijgend rekenen reken je met de tel rij en de getallenlijn als denkmodel. Bij het rijgend optellen en aftrekken, maak je sprongen op de getallenlijn. Je kiest het begingetal en voegt een getal in delen toe of neemt een getal in delen weg door tiensprongen en honderdsprongen te maken en via tientallen en honderdtallen te springen - Strategie 2: splitsen bij optellen en aftrekken Het splitsend rekenen gebruikt de opbouw van de getallen in honderdtallen, tientallen en eenheden. Bij het optellen of aftrekken splits je de getallen op om de honderdtallen, tientallen en eenheden apart te verrekenen. Vervolgens stel je het antwoord samen.

Handig rekenen met merkwaardige producten Bij het hoofdreken kun je gebruik maken van het vermenigvuldigingen waarvan je de berekening goed kunt onthouden door de opvallende symmetrische uitwerkingen. Drie bekende merkwaardige producten zijn: - Product 1: Het berekenen van het product van de som en het verschil van twee getallen, in formule: (a + b) x (a - b) of (a - b) x (a + b). De twee getallen zijn a en b, de som is a + b, het verschil is a – b en het product is (a – b) x (a + b). De vermenigvuldiging ‘a x a’ schrijf je a ook als a² en ‘b x b’ schrijf je ook als b². - Product 2: Het berekenen van het kwadraat van een som van twee getallen, in formule (a + b) x (a + b) = (a + b)². De getallen zijn a en b, a + b is de som van de getallen en (a + b) + (a + b) is het kwadraat van de som a + b - Product 3: Het kwadraat van een verschil tussen twee getallen a en b is het kwadraat van het verschil a – b. In de formule: (a – b) x (a – b) = (a – b)² Wiskundetaal van de vier hoofdbewerkingen Bewerking 1: optellen Termen De getallen die je optelt zijn de termen van de optelling. (In 8 + 5 = 13, zijn 8 en 5 termen) Som De uitkomst van de optelling is de som. (In 8 + 5 = 13, is 13 de som van 8 en 5) Opteltal In een optelling is het begingetal het opteltal (In 8 + 5 = 13, is 8 het opteltal) Opteller Het getal dat aangeeft hoeveel er toegevoegd wordt is de opteller (In 8 + 5 = 13, is 5 de opteller) Eigenschappen De bewerking optellen heeft de eigenschappen termen veranderen, compenseren, de commutatieve eigenschap en de associatieve eigenschap Bewerking 2: aftrekken Inverse De bewerking aftrekken is de inverse bewerking of de omgekeerde bewerking van de bewerking optellen. De berekening 8 + 5 = 13 kun je omkeren tot 13 – 5 = 8 of 13 – 8 =5 Termen De getallen die je van elkaar aftrekt zijn de termen van de aftrekking (In 12 - 9 = 3, zijn 12 en 9 termen) Verschil De uitkomst van de aftrekking is het verschil (In 12 - 9 = 3, is 3 het verschil tussen 12 en 9) Aftrektal In een aftreksom is het begingetal het aftrektal Aftrekker Het getal dat weggenomen wordt is de aftrekker Eigenschappen De bewerking aftrekken heeft de eigenschappen termen veranderen, compenseren. Bewerking 3: vermenigvuldigen

Factoren

De getallen die je met elkaar vermenigvuldigt zijn de factoren van de vermenigvuldiging. (In 8 x 5 = 40, zijn 8 en 5 de factoren) Product De uitkomst van de vermenigvuldiging is het product (In 8 x 5 = 40, is 40 het product van 8 en 5) Vermenigvuldiger In een vermenigvuldiging noem je het getal dat het aantal groepjes aangeeft, de vermenigvuldiger. (In 8 x 5 = 40, is 8 de vermenigvuldiger) Vermenigvuldigtal In een vermenigvuldiging noem je het getal dat het aantal in één groepje aangeeft het vermenigvuldigtal (In 8 x 5 = 40, is 5 het vermenigvuldigtal) Eigenschappen De bewerking vermenigvuldigen heeft de cummutatieve eigenschap, de associatieve eigenschap en de eigenschap groter en kleiner. Bewerking 4: delen Inverse De bewerking delen is de inverse bewerking of de omgekeerde bewerking van de bewerking vermenigvuldigen. De berekening 8 x 5 = 40 kun je omkeren tot 40 : 5 = 8 of 40 : 8 = 5 Deeltal In een deling is het startgetal, het getal dat aangeeft hoeveel er verdeeld wordt, het deeltal. (In 27 : 3 = 9, is 27 het deeltal) Deler In een deling is het getal dat herhaald van het deeltal afgetrokken wordt de deler (In 24 : 6 = 4, is 6 de deler) Quotiënt De uitkomst van de deling is het quotiënt (In 35 : 5 = 7, is 7 het quotiënt van 35 en 5) Rest In een deling die niet opgaat is het overblijvende getal de rest. Eigenschappen De bewerking delen heeft de eigenschap groter of kleiner 1.3 De volgorde van de vier hoofdbewerkingen 1. Maak eerst de berekeningen die tussen haakjes staan. 2. Vermenigvuldig en delen in de volgorde 3. Optellen en aftrekken in de volgorde 1.5 Kolomsgewijs rekenen In de meeste rekenmethodes voor de basisschool leren kinderen de hoofdbewerkingen op twee manieren uit te voeren: kolomsgewijs en cijferend. Kolomsgewijs rekenen is een manier van rekenen die gebaseerd is op getalinzicht en het rekenen met de plaatswaarden van een getal. Daardoor sluit kolomsgewijs rekenen goed aan bij het hoofdrekenen en schattend rekenen. Deze manier van rekenen gebruik je vooral in het getallengebied tot 1000. Zie voorbeelden boek

1.6 Cijferend rekenen

Cijferend rekenen is een algoritme dat je gebruikt als de getallen groot zijn, de berekening heel ingewikkeld is of als je exact wilt weten wat de uitkomst is. Zie voorbeelden boek

1.7 Algoritmes voor hoofdbewerkingen Zie voorbeelden boek. 1.8 Schattend rekenen Je gebruikt schattend rekenen om te weten of het ongeveer klopt wat er staat, hoeveel het ongeveer is, of het wel genoeg is. Bij het schattend rekenen in een context draait het om vragen als: Klopt dat wel? Hoeveel is dat ongeveer? En: Is dat wel genoeg? Bij het oplossen van deze contextvraagstukken gaat het om: - Het beschikken over voldoende referentiegegevens of het doen van aannames - Het mooi ‘rond’ maken van de getallen zodat je bij voorkeur kunt rekenen met gebruik van de nulregels van het vermenigvuldigen en delen - Rekenen zonder te cijferen - Kennis van maten - Rekenen met verhoudingen -...