Investition und Finanzierung Übung 11 PDF

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Lösung Übung 11...

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Investition und Finanzierung Übung 11 Aufgabe 1 Das Marktportfolio hat eine erwartete Rendite von 10% bei einer Volatilität von 15%. Die Aktie der Semmering AG hat eine Volatilität von 25% und eine Korrelation mit dem Marktportfolio von 0,7. Der risikofreie Zins beträgt 5%. a) Berechnen Sie das Beta der Semmering AG. 0,25∗0,7 𝑆𝐴(𝑅𝑖 )∗𝐶𝑜𝑣𝑣(𝑅𝑖 ,𝑅𝑀𝑘𝑡) = 𝛽𝑆𝑒𝑚𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 = • 𝛽𝑖 = = 1,1666 𝑆𝐴(𝑅 ) 0,15

𝑀𝑘𝑡

b) Berechnen Sie die erwartete Rendite der Semmering AG. • Unter Verwendung des Betas der Aktie kann mithilfe des CAPM die erwartete Rendite berechnet werden: • 𝐸[𝑅𝑖 ] = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖 ∗ (𝐸[𝑅𝑚𝑘𝑡 ] − 𝑟𝑓 ) • 𝐸[𝑅𝑆𝑒𝑚𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 ] = 0,05 + 1,1666 ∗ (0,10 − 0,05) = 10,83%

Aufgabe 2 Das Marktportfolio hat eine erwartete Rendite von 5% und eine Volatilität von 10%, während die Alpha Aktie eine Volatilität von 20% hat. a) Sollten wir angesichts der höheren Volatilität erwarten, dass die Eigenkapitalkosten von Alpha über 5% liegen? • Eigenkapitalkosten ist die Rendite die Eigenkapitalinvestoren erwarten? • Die Eigenkapitalkosten eines Investitionsobjekts entsprechen der erwarteten Rendite der verfügbaren Investitionen mit gleichem Beta. Nach dem CAPM gilt: • 𝑟𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 ∗ (𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡 ) ∗ 𝑟𝑓 ) • Nein. Die Volatilität beinhaltet auch das diversifizierbare Risiko und kann somit nicht verwendet werden um die Eigenkapitalkosten zu berechnen. b) Was müsste zutreffen, damit die Eigenkapitalkosten von Alpha 5% betragen? • Damit die Eigenkapitalkosten von Alpha 5% betragen, muss das Eigenkapital (die Aktien) von Alpha ein Beta von 1 haben. • 𝑟𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 = 𝑟𝑓 ∗ 𝛽𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 ∗ (𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡 ] − 𝑟𝑓 ) •

𝛽𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 =

𝑟𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎−𝑟𝑓

𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡]−𝑟𝑓

=

5%−𝑟𝑓

5%−𝑟𝑓

=1

Aufgabe 3 Sie fassen alle Aktien auf der Welt in zwei sich gegenseitig ausschließende Portfolios zusammen (jede Aktie kann nur in einem Portfolio enthalten sein): Wachstumsaktien und werthaltige Aktien. Wir nehmen an, beide Portfolios besitzen die gleiche Größe (im Hinblick auf den Gesamtwert), eine Korrelation von 0,5 sowie die folgenden Eigenschaften: Erwartete Rendite Volatilität Wachstumsaktien 17% 25% Werthaltige Aktien 13% 12% Der risikolose Zinssatz beträgt 2%.

a) Wie hoch sind die erwartete Rendite und die Volatilität des „vermeintlichen“ Marktportfolios (das eine 50-50 Kombination der beiden Portfolios bildet)? • Erwartete Rendite: • 𝐸 [𝑅𝑀 ] = ∑ 𝑖 𝑥𝑖 𝐸 [𝑅𝑖 ] = 0,5 ∗ 13% + 0,5 ∗ 17% = 15% •

𝑆𝐴[𝑅𝑀 ] = √∑ 𝑖 ∑ 𝑗 𝑥 𝑖 𝑥𝑗 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) =

√0,52 ∗ (12%)2 + 0,52 ∗ (25%)2 + 2 ∗ 0,5 ∗ 0,5 ∗ 0,5 ∗ 12% ∗ 25% = 16,3% (𝑥1 = 0,5, 𝑥2 = 0,5, 𝑥3 = 0,5) b) Treffen die Annahmen des CAPM auf diesen Fall zu? (Hinweis: Ist das „vermeintliche“ Marktportfolio effizient?) • Die Sharpe Ratio müsste das Verhältnis von Vergütung (=Überschussrendite) zu Volatilität eines Portfolios: • • • • • •

•

𝑆𝑅 =

𝐸[𝑅𝑃 ]−𝑟𝑓

𝑆𝐴[𝑅𝑃] 𝐸[𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡]−𝑟𝑓 𝑆𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡 = 𝑆𝐴[𝑅 ] 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡

=

15%−2%

13%−2% 𝑆𝑅𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 = 12% = 0,92 17%−2% 𝑆𝑅𝐺𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ = 25% = 0,60

16,3%

= 0,80

→ Werthaltige Aktien haben eine höhere Sharp Ratio als der Markt → Durch Kombination von werthaltigen Aktien mit der risikolosen Anlage lässt sich also bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite bzw. mit niedrigerem Risiko die gleiche erwartete Rendite erzielen. → Damit ist das „Marktportfolio“ nicht effizient

Aufgabe 4 Nehmen wir an, die BASF-Aktie hätte ein Beta von 0,6, wogegen die Henkel-Aktie ein Beta von 2,2 habe. Wenn der risikofreie Zins 2% beträgt und die erwartete Rendite des Marktportfolios 8%, wie hoch ist dann unter dem CAPM die erwartete Rendite eines Portfolios, das zu 60% aus BASF-Aktien und zu 40% aus Henkel-Aktien besteht? • Das Beta eines Protfolios ist gleich dem gewichteten druchschnittlichen Beta der Portfoliobestandteile: • • • • • • • • •

𝑆𝐴(𝑅𝑃)∗𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑅𝑃 ,𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡) 𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡) 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑃 ,𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡 ) 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅𝑃 , 𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡 ) = 𝑆𝐴(𝑅 )∗𝑆𝐴 (𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡) 𝑃 𝑆𝐴(𝑅𝑃 )∗𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑃 ,𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡) 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑃 ,𝑅𝑀𝑘𝑡) = 𝑆𝐴(𝑅 )∗𝑆𝐴(𝑅 )∗𝑆𝐴(𝑅 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑅 ) 𝑀𝑘𝑡 𝑃 𝑀𝑘𝑡 𝑀𝑘𝑡 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖 ,𝑅𝑀𝑘𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑ 𝑥,𝑅𝑖 ,𝑅𝑀𝑘𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑅 ) = ∑ 𝑥𝑖 𝑉𝑎𝑟(𝑅 ) = ∑ 𝑥𝑖 𝑀𝑘𝑡 𝑀𝑘𝑡

𝛽𝑃 =

𝛽𝑖

𝛽𝑃 = ∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 Herleitung nicht auswendig können müssen, im Hinterkopf behalten. 𝛽𝑃 = 𝑥𝐵𝐴𝑆𝐹 ∗ 𝛽𝐵𝐴𝑆𝐹 + 𝑥𝐻𝑒𝑛𝑘𝑒𝑙 ∗ 𝛽𝐻𝑒𝑛𝑘𝑒𝑙 𝛽𝑃 = 60% ∗ 0,6 + 40% ∗ 2,2 = 1,24 𝐸[𝑅𝑃 ] = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑃 ∗ (𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡 ] − 𝑟𝑓 ) = 2% + 1,24 ∗ (8% − 2%) = 9,4%

Aufgabe 5 Ihnen stehen die nachfolgenden Informationen über einige am Kapitalmarkt gehandelte Aktien, das Marktportfolio sowie über eine risikolose Anlagemöglichkeit zur Verfügung. Berechnen Sie die fehlenden Angaben.

Standardabweichung

Korrelation mit Marktportfolio

Beta

Erwartete Rendite (CAPM) 15% 5%

Marktportfolio 10% 1 1 Risikoloses 0 0 0 Wertpapier Aktie A 12% 0,9 Aktie B 0,40 1,1 Aktie C 24% 0,75 • Marktportfolio: o Per definition gilt: o 𝛽𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡 = 1 o 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅𝑀𝑟𝑘 , 𝑅𝑀𝑟𝑘 ) = 1 • Risikoloses Wertpapiert: o Per Definition gilt: o 𝑆𝐴(7) = 0 o 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑟𝑓 , 𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡 ) = 0 o 𝛽𝑓 = 0 • Aktie A o Korrelation mit den Marktportfolios: 𝑆𝐴(𝑅𝐴 )∗𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑅𝐴 ,𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡) 𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡) ) 𝑆𝐴(𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅𝐴 , 𝑅𝑀𝑘𝑡 ) = 𝛽𝐴 ∗ 𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡) 𝐴

o 𝛽𝐴 = o

•

10% 12%

o 𝐸[𝑅] = 𝑟𝑓 + 𝛽𝐴 ∗ (𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡 ] − 𝑟𝑓 ) = 5% + 0,9 ∗ (15% − 5%) = 14% Aktie B 𝑆𝐴(𝑅𝐵 )∗𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅𝐵 ,𝑅𝑀𝑟𝑘 ) o 𝛽𝐵 = ) 𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡

𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡)

o 𝑆𝐴(𝑅𝐵 ) = 𝛽𝐵 ∗ 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅

•

= 0,9 ∗

𝐵 ,𝑅𝑀𝑘𝑡 )

= 1,1 ∗

10%

0,4

= 27,5%

o 𝐸[𝑅𝐵 ] = 5% + 1,1 ∗ (15% − 5%) = 16% Aktie C 𝑆𝐴(𝑅𝐶 )∗𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑅𝐶 ,𝑅𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡) 𝑆𝐴(𝑅𝑀𝑘𝑡)

24%−0,75

= 10% = 1,8 o 𝐸[𝑅𝐶 ] = 5% + 1,8 ∗ (15% − 5%) = 23% o höchstes Beta, also höchste Rendite bei C o 𝛽𝐶 =

Aufgabe 6 Beurteilen Sie die nachfolgenden Aussagen dahingehend, ob sie mit dem CAPM konsistent sind. a) Ein Wertpapier, welches allein diversifizierbarem Risiko ausgesetzt ist, hat eine erwartete Rendite, die oberhalb des risikofreien Zinses liegt. • Inkonsistent: Wenn ein Wertpapier nur diversifizierbaren Risiko ausgesetzt ist, gilt 𝛽=0 • Nach dem CAPM folgt für die erwartete Rendite 𝐸[𝑅] = 𝑟𝑓 + 0 ∗ 𝐸[𝑅𝑀𝑘𝑡 ] − 𝑟𝑓 ) = 𝑟𝑓 , sodass die erwartete Rendite genau dem risikofreien Zins entspricht. b) Ein Wertpapier mit einem β von 1 hat letztes Jahr eine Rendite von 15% erzielt, obwohl die Marktrendite 9% betrug.

Konsistent: Das CAPM bezieht sich auf die erwartete Rendite, man kann keine Renditen vorhersagen! • Historische Realisation der Rendite können daher sehr gut auseinanderfallen, ohne dass dies der Gültigkeit der Theorien widersprechen würde. c) Es ist ausgeschlossen, dass die erwartete Rendite gemäß CAPM für ein risikobehaftetes Wertpapier unterhalb der sicheren Verzinsung 𝑟𝑓 liegt. • Inkonsistent: Sogenannte antizyklische Werte verfügen über ein negatives Beta. • Die Risikoprämie einer solchen Aktie ist negativ. • Dementsprechend erzielt man für eine solche Aktie eine erwartete Rendite, die unterhalt der sicheren Verzinsung liegt, obwohl die Aktie sehr wohl Risikobehaftet ist. • Daher geht die Wertpapiermarktlinie links von der Y-Achse weiter •

Erwartete Rendite

Beta d) Je stärker eine Aktie schwankt (hohe Standardabweichung), desto höher ist auch die erwartete Rendite gemäß dem CAPM. • Inkonsistent: Für die erwartete Rendite ist allein das systematische Risiko, gemessen durch das Beta, relevant....