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Teil I: InvestitionsrechnungKE1: Grundlagen der Investitionstheorie1. Modelltheoretische und entscheidungslogische GrundlagenFormal kann eine Investitionsentscheidung als Wahl zw. mehreren Zahlungsreihen definiert werden! Investitionsentscheidung haben unmittelbare zahlungsmäßige Konsequenzen auf d...

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Investition und Finanzierung

Teil I: Investitionsrechnung KE1: Grundlagen der Investitionstheorie 1. Modelltheoretische und entscheidungslogische Grundlagen Formal kann eine Investitionsentscheidung als Wahl zw. mehreren Zahlungsreihen definiert werden!  Investitionsentscheidung haben unmittelbare zahlungsmäßige Konsequenzen auf die Zahlungsreihe als auch indirekte Folgewirkungen z.B. kann die Anschaffung einer Filteranlage dazu führen, dass eine ansonsten fällige Umweltabgabe vermieden wird !!! Beispiele für Investitionsprojekte:  Kauf einer Produktionsanlage / Rationalisierung eines Fuhrparks / Gründung eines Zweigwerkes Mehrere gleichzeitige Investitionsprojekte Mehrere gleichzeitig zur Disposition stehenden Investitionsprojekten können sich wechselseitig beeinflussen, voneinander unabhängig sein, wechselseitig ausschließen oder ein- bzw. wechselseitig bedingen. Es ergeben sich folgende Konstellationen:

Um die Auswirkungen eines Investitionsprojektes auf die Vermögenssituation sachgerecht zu erfassen, ist es grds. notwendig, über die dem Projekt unmittelbar zugerechnete Zahlungsreihe hinaus indirekte Folgeeffekte beider Kategorien in ihren zahlungsmäßigen Konsequenzen zu erfassen. In der Theorie finden sich im wesentlichen zwei Kategorien von Entscheidungsmodellen: 1) Simultane Investitions- und Finanzplanung  Komplettmodell, scheitert jedoch an der praktischen Anwendbarkeit in der Realität 2) Komplementäre Finanzplanung  auf zeitliche vertikale Interdependenzen wird verzichtet 1

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Darüber hinaus haben Investitionsentscheidungen auch stets finanzwirtschaftliche Komplementärmaßnahmen (Fremd- oder Eigenfinanzierung) zur Finanzierung des Investitionsprojektes zur Folge.  Investitionsentscheidungen sind stets mit der „Unterlassungsalternative“1 zu vergleichen!!!  Für Investitionsentscheidungen können statt anhand von intertemporalen Präferenzen des Investors auch allein durch Dominanzüberlegungen am vollkommenden Finanzmarkt durchgeführt werden. (= marktorientierte Investitionsentscheidung) 2. Finanzmathematische Grundlagen der Investitionsrechnung Folgende grundlegende Fragestellungen sind von Bedeutung: 1) Wie groß ist der zukünftige (heutige) Wert einer heutigen (zukünftigen) Zahlung? (Zins- und Zinseszinsrechnung) 2) Wie groß ist der heutige (zukünftige) Wert eines mehrere Perioden gleichbleibenden Zahlungsstoms? (Rentenberechnung) 3) Wie groß müssen die einzelnen Zahlungen eines über mehrere Perioden gleichbleibenden Zahlungsstromes sein, damit ihr Gesamtwert einem vorgegebenen heutigen (zukünftigen) Zahlungsbetrages entspricht? (Annuitätenrechnung)

1. Zins- und Zinseszinsrechnung a) einheitlichen Periodenzins

 c t =c 0 ∙(1+ r)t =c 0 ∙q t mit qt = Aufzinsungsfaktor, d.h. ein heutiger Wert wird in einen zukünftigen betrag umgerechnet.

 c 0=ct ∙(1+r)−t =ct ∙ q−t mit qt = Abzinsungsfaktor, d.h. ein heutiger Wert soll einer zukünftigen Zahlung ermittelt werden.

b) wechselndem Periodenzins

t

 c t =c 0 ∙ ∏ (1+r T ) (Endwert eines heutigen Betrages c0 ) T =1

t

−1  c 0=ct ∙ ∏ (1+r T )

(Barwert eines zukünftigen Betrages ct )

T =1

1 Unterlassungsalternative = Investition nicht durzuführen oder Kredit zur Durchführung der Investition nicht aufzunehmen oder verfügbare Mittel alternativ am Finanzmarkt anzulegen

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2. Rentenberechnung Der Rentenbarwert (RB) einer sich über T Jahre erstreckenden nachschüssigen Rente in Höhe e ergibt sich durch die Multiplikation der nachschüssigen Rente e mit dem Rentenbarwert RBF(T,r):

 RB=e ∙

1− ( 1+r ) r

−T

=e ∙

1−q−T =e ∙ RBF (T , r ) r

Für den Barwert einer ewigen Rente (RBꝏ) ist der Grenzwert des RBF, so dass gilt:

 RB∞=e ∙ 1 r

3. Annuitätenrechnung Bei der Annuitätenberechnung2 ist die Fragestellung im Gegensatz zur Rentenberechnung genau umgekehrt. Wir hoch muss eine T-jährigen nachschüssigen Rente sein, damit ihr Barwert einem vorgegebenen Ausgangsbetrag entspricht.

1  a=AB ∙ ANF ( T , r )=AB ∙ RBF ( T , r ) = AB∙

r 1−q−T

mit ANF = Annuitätenfaktor oder Wiedergewinnungsfaktor

KE 2: Investitionsentscheidungen bei Sicherheit 1. Endwert und Kapitalwert Def.: Endwert = Summe aller bis zum Endzeitpunkt der Projektlaufzeit T aufgezinsten Zahlungen et

Def.: Kapitalwert = Summe aller bis zum Zeitpunkt t=0 abgezinsten Zahlungen et

Zwischen Endwert und Kapitalwert besteht folgende Beziehung: 2 Ein wichtiges Anwendungsbeispiel aus der Realität sind langfristige Finanzierungsmaßnahmen bei denen Zinsund Tilgungszahlungen über die gesamte Darlehensdauer konstant sein sollen !

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Spezialfall 1: Zahlungsreihe in Form einer nachschüssigen Rente e 1 = e2 = etc., dann kann zur Berechnung der Kapital- und Endwertes auch Rentenbarwetzfaktor benutzt werden:

Spezialfall 1: Entspricht die nachschüssige Rente einer „ewigen Rente“, so vereinfacht sich die Formel:

Charakteristika der Kapitalwertfunktion:  grs. sind Kapitalwertfunktion streng monoton fallend, d.h. je größer r wird, desto kleiner wird K; dies ist immer dann der Fall, wenn auf nur eine Anfangsauszahlung nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen!!!  Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition: Investitionen, deren Zahlungsreihen einen einmaligen Vorzeichenwechsel von – nach + aufweisen, bezeichnet man als Normalinvestition!  für r = 03 ergibt sich die Kapitalwertfunktion als einfache (d.h. nicht abgezinste) Summe aller Ein- und Auszahlungen. Man bezeichnet diesen Betrag auch als den Nominalwert einer Zahlungsreihe.  r -> ꝏ gilt:

Ökonomische Interpretation: a) Endwertes: Der Endwert gibt an, um welchen Betrag das Vermögen des Investors nach vollständiger Abwicklung des Projektes höher (EW>0) oder niedriger (EW 0 interessant. Ein Zinssatz von r = -100 % bedeutet, dass ein Darlehen weder zu verzinsen noch tilgen müsste oder das Investitionsprojekt keinerlei Rückzahlung erhielte, also der eingesetzte Betrag zu 100% verloren wäre.

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Investition und Finanzierung Fall 2: Kreditfinanzierung:

b)

EW = EVI

Kapitalwert: −T K=(EV I −EV U )∙(1+ r ) Der Kapitalwert gibt die Vermögenserhöhung (K > 0) bzw. die Vermögensminderung (K < 0) an, die der Investor im Planungszeitpunkt durch den Übergang von der Unterlassungsalternative zu dem betrachteten Investitionsprojekt erfährt.  Ein positiver Kapitalwert gibt den Betrag an, der dem Investor im Zeitpunkt 0 mind. geboten werden müsste, um ihn zu bewegen, statt des Investitionsprojektes die Unterlassungsalternative zu realisieren.  Ein negativer Kapitalwert gibt den Betrag an, der dem Investor im Zeitpunkt 0 mind. geboten werden müsste, um ihn zu bewegen, um ihn zur Realisierung des Projektes zu bewegen.

Entscheidungsregeln: - Ist EV I > EV U

, dann Investition durchführen4

- Ist EV I = EV U , dann wird die Unterlassungsalternative durchgeführt Sensivität des Kapitalwertes K bei Änderung des Kalkulationszinsfußes r: Investitionsprojekte mit hohen Anfangszahlungen und tendenziell späten Rückzahlungen sind im Allgemeinen zinsempfindlicher als Investitionsprojekte mit niedrigeren Anfangszahlungen und tendenziell schnellerem Mittelrückfluss!

2. Differenzreihenanalyse Um zwei Investitionsprojekte unterschiedlicher Projektlänge miteinander zu vergleichen, bedient man sich der Differenzzahlungsreihe.  Bei der Bildung der Differenzzahlungsreihe wird in einem 1 Schritt die Zahlungsriehe mit der kürzeren Laufzeit für alle nachfolgenden Zeitpunkte bis zum Laufzeitende der länger laufenden Investition mit Nullen aufgefüllt.

4 Diese Bedingung ist immer grds. dann erfüllt, wenn EW > bei Projekten, wenn auf den selben Zeitpunkt beziehen.  auf t=0 abgezinst wird. Beim Endwert EW kann es untersch miteinander vergleichbar sind!  In diesem Fall sind die Ka

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Investition und Finanzierung  dann wird die Zahlungsreihe mit dem niedrigerem Absolutbetrag der Anfangsauszahlung von der Zahlungsreihe mit dem höherem Absolutbetrag der Anfangsauszahlung abgezogen.

Ökonomische Interpretation:  nur Aussagen möglich, welche der beiden Investitionen vorteilhaft ist, aber keine Aussage möglich, ob die Investition insgesamt gegenüber der Unterlassungsalternative realisiert werden soll !!! Hierfür ist es notwendig noch den entsprechenden individuellen Kapitalwert zu berechnen.

3. Die äquivalente Annuität Bei der äquivalenten Annuität5 geht es im Grunde darum, den durchschnittlichen Nettoüberschuss zu bestimmen. Sie hilft dabei, die Frage zu klären, wie viel Geld das Unternehmen aus seiner Investition entnehmen kann, ohne dass das Investment unwirtschaftlich wird.  Die äquivalente Annuität ist eine rechnerische Größe, die unterschiedliche Investitionszahlungen in eine gleichmäßige Zahlenreihe umrechnet. Die äquivalente Annuität ist de facto nichts anderes, als eine andere Darstellung des Kapitalwertes. Sie verteilt den Kapitalwert über die Dauer des Investitionsprojektes, wobei der Zinseszinseffekt berücksichtigt wird.  Insbesondere die nachschüssige Rente eines Investitionsprojektes wird äquivalente Annuität genannt. Formel:

oder

Eine vereinfachte Definition ergibt sich für den Fall, dass die Zahlungsreihe ab dem Zeitpunkt t=1 vom Typ eine Rente ist (e = konst. ab t=1):

Kann der Rentenbarwertfaktor bzw. der Annuitätenfaktor bei hinlänglich hohem Wert von T schließlich durch 1/r bzw. r approximiert werden, vereinfacht sich die Formel weiter zu:

Ökonomische Interpretation: Während Endwert und Kapitalwert die Zahlungsreihe einer Investition durch eine auf einen Stichtag bezogene Vermögengröße repräsentieren, charakterisiert die „äquivalente Annuität“ die Zahlungsriehe durch eine auf den Investitionszeitraum bezogene Zahlungsgröße. 5 bei der „normalen“ Annuität geht es um die Frage: „Wie hoch ist meine konstante Rückzahlung?“

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 Ein Projekt ist immer vorteilhaft, wenn e* > 0 ist !!!

4. Interner Zinsfuß Def.: Der interne Zinsfuß stellt eine Renditekennzahl für relative Vermögensänderungen in Bezug auf einen bestimmten Vermögeneinsatz dar.6 Formel:

Grafisch entspricht der Interne Zinsfuß der Nullstelle des Kapitalwertfunktion

Weitere Interpretationen: 1) Der Kapitalwert bei einem r = 0 gibt die Summe der nicht abgezinsten Zahlungssalden einer Investition, ihren Nominalwert, wieder. 2) Der Kapitalwert einer Normalinvestition kovergiert für r -> ꝏ gegen e0, da die nachfolgenden Zahlungsüberschüsse durch die Diskontierung immer weniger ins Gewicht fallen. 3) Im ökonomisch schwer interpretierbaren Bereich negativer Kalkulationsfüße strebt der Kapitalwert für r -> -1 gegen ꝏ. 4) Weist die Normalinvestition nur genau eine Anfangszahlung auf, so verläuft die Kapitalwertfunktion zudem streng konvex, d.h. hier streng monoton fallen, aber mit abnehmender Rate des Gefälles.

Der interne Zinsfuß ist grds. nur implizit, d.h. näherungstechnisch zu ermitteln, da die Funktion ein Polynom T-Ten Grades ist (siehe Sonderfall 4). Die folgenden 3 Sonderfälle erlauben explizite Lösungen: Sonderfall 1: (Zero-Bond-Anleihen) Bei der Investition folgt auf die Auszahlung in t = 0 nur eine einzige Einzahlung in t=T.  Eine solche Struktur der Zahlungsreihe ist für Zero-Bond-Anleihen charakteristisch, also für Anleihen, bei denen sämtliche Zahlungen des Emittenten für Zins und Tilgung in einer Summe am Ende der Anleihelaufzeit erfolgen.

6 Der Kapitalwert bzw. Endwert stellen absolute Vermögensänderungen auf einen bestimmten Zeitpunkt dar. Die äquivalente Annuität weist den Nettoüberschuss über einen bestimmten Zeitraum aus.

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Investition und Finanzierung Sonderfall 2: (Kuponanleihen)

Sonderfall 3: (quadratische Gleichung)

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Investition und Finanzierung Sonderfall 4: (Approximation)

Diese Formel lässt sich für T ≥ 3 nicht mehr explizit nach r* auflösen. Der interne Zinsfuß kann entweder mithilfe der Rentenbarwertfaktoren (siehe Tabelle III) annährend bestimmt werden oder durch das folgende Näherungsverfahren: Die Idee besteht darin, für alternative Zinssätze r jeweils den dazugehörigen Kapitalwert zu berechnen und dadurch die gesuchte Nullstelle einzukreisen.  verbindet man die beiden Punkte durch eine Gerade, so ist dessen Nullstelle r1 als erste Näherung für den gesuchten Wert r* anzusehen. Formel:

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Existenz und Eindeutigkeit von internen Zinsfußes: Es gibt Zahlungsreihen, die keinen internen Zinsfuß haben oder auch mehr als 1 internen Zinsfuß  Allgemein gilt: Die Zahl der internen Zinsfüße, die größer als -1 sind, ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe oder um eine gerade Zahl kleiner (Kartesische Zeichenregel).

 Entscheidungsregel: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß größer ist als der Kalkulationszins r* > r  Auswahlkriterium: Der interne Zinsfuß eignet sich jedoch nicht besonders gut als Auswahlkriterium zwischen zwei Investitionen, da die internen Zinsfüße als Relativzahlen häufig unterschiedliche Bezugsbasen haben. Derartig trotzdem gefällte Entscheidungen sind systematisch verzerrt, und zwar - zu Ungunsten von Projekten mit hohem Kapitaleinsatz, langer Anlaufphase und dementsprechend spätem Mittelrückfluss - zu Gunsten von Projekten mit geringem Kapitaleinsatz und schnellem Mittelrückfluss

Erweiterung des Modells 1) Wechselnde Periodenzinsfüße bei vollkommenem Finanzmarkt

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2) Wechselnde Periodenzinsfüße bei unvollkommenem Finanzmarkt

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KE3: Entscheidungen unter Unsicherheit 1. Grundbegriffe und –probleme Aus der komplexen Realität wird ein modellmäßiger Ausschnitt erfasst. Es wird ein Entscheidungsmodell entwickelt, aus dem Handlungsempfehlungen abgeleitet werden !  Annahme ist, dass dem Entscheidungsmodell eine endliche Menge an einander ausschließenden Handlungsalternativen ai zugrunde liegen; auch als Aktionsfeld bezeichnet!  Weitere Annahme ist, dass Handlungsalternativen auch durch sonstige ergebnisbeeinflussende Faktoren bestimmt werden; dies sind die sog. Umweltzustände sj. Ei = Ergebnisverteilung: Das Aktionsfeld ai bezeichnet! und die Umweltzustände sj u ergeben zusammen den Ergebnisraum Ei !

In der Realität werden Entscheidungen meist unter Unsicherheit getroffen. Dabei lassen sich folgende Grundtypen unterscheiden: 1. Spielsituation sind dadurch gekennzeichnet, dass das Eintreten der sj von den Entscheidungen rational handelner Gegenspieler bestimmt wird.

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Investition und Finanzierung 2. Von Unsicherheitssituationen spricht man, wenn die sj durch zufällige Ereignisse bestimmt werden: a) Ungewissheitssituationen, keine Eintrittswahrscheinlichkeit kann zugeordnet werden b) Risikosituationen - eine Eintrittswahrscheinlichkeit kann zugeordnet werden

Unterschied subjektive, mathematische und objektive (statistische) Wahrscheinlichkeit bei Risikosituationen: - subjektiv: Wahrscheinlichkeiten, die aufgrund von Vermutungen oder innerer Überzeugung gebildet werden, werden als subjektive Wahrscheinlichkeit bezeichnet. - statistisch (=objektiv): Wahrscheinlichkeiten, die auf Basis statistischer Beobachtungen gebildet werden, bezeichnet man als objektive Wahrscheinlichkeit. - mathematisch (=objektiv): Wahrscheinlichkeiten, die a priori (z.B. Würfel) berechnet werden können, bezeichnet man als mathematische Wahrscheinlichkeiten.

2. Dominanzprinzipen:  Man kann bereits vorab mit sog. Dominanz- und Effizienzkriterien Handlungsalternativen reduzieren.

 aus dem Vorliegen der „absoluten Dominanz“ folgt stets auch die „Zustandsdominanz“, jedoch nicht umgekehrt; dadurch ist das Prinzip der Zustandsdominanz das stärkere Auswahlkriterium!!!

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 aus dem Vorliegen der „absoluten Dominanz“ oder der „Zustandsdominanz“ folgt stets auch die „Wahrscheinlichkeitsdominanz“ , aber es kann auch nur die Wahrscheinlichkeitsdominanz vorliegen ohne das die „absoluten Dominanz“ oder der „Zustandsdominanz“ vorliegen !!  beim ausschließlichen Vorliegen der Wahrscheinlichkeitsdominanz ist es durchaus möglich, dass eine dominante Alternative letztlich dich zu einem schlechterem Ergebnis führt als die dominierte Alternative.

3. Präferenzwerte und –funktionen Sind die Handlungsalternativen durch die Anwendung der Dominanzprinzipien reduziert worden, so dass keine Alternative die andere dominiert, so sind die übrig gebliebenen Alternativen auf Grund ihrer Ergebnisverteilung zu bewerten.  Formal bedeutet dies, dass den einzelnen Alternativen mit Hilfe einer Präferenzfunktion ɸ ein Präferenzwert ƍ zugeordnet wird.

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Investition und Finanzierung  Die optimale Alternative wird mit Hilfe der des Kriteriums der Zielfunktion bestimmt: z.B.:

(Handlungsalternative mit dem maximalen Präferenzwert)

Statisfizierung7 7 Ei = Ergebnisverteilung  Aktionsfeld ai bezeichnet! und die Umweltzustände sj u ergeben zusammen den Ergebnisraum Ei ! 15

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Fixierung

Mehrere Zielvariablen Bei mehreren Zielvariablen ist es notwendig diese Kennzahlen letztlich zu einem einzigen Präferenzwert zusammenzufassen. Methoden hierzu: 1) Amalgamation, d.h. Verschmelzen sämtlicher Zielvariablen 2) Lexikografische Auswahlregel, d.h. mehrmaliges Wiederholen einer einfachen Extremierungsregel

4. Kennzahlen zur Charakterisierung von Ergebnisverteilungen (1) Zentralmaße: Das sind Kennzahlen, die in erster Linie auf einen mittleren, für die Gesamtheit der möglichen Ereigniswerte „repräsentativen“ Wert abstellen. a) Erwartungswert

Beispiel:

b) Modus (= Wahrscheinlichster Wert)  Diese Kennzahl hat eine begrenzte Aussagekraft. In dem obigen Beispiel wäre der wahrscheinlichste Wert e=0, was wohl kaum als Zentralmaß angesehen werden kann !!

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c) Median = größter Ergebniswert, für den die Wahrscheinlichkeit, dass er mind. erreicht wird, nicht unterhalb von 0,5 liegt.

(2) Extremmaße: Kennzahlen, die primär an gewissen extremen Ergebniswerten orientiert sind. a) bestmöglicher Ergebniswert

b) schlechtmöglicher Ergebniswert

c) „maximales Bedauern“ – Der maximale Nachteil ggü. den bei den jeweiligen Umweltzuständen bestmöglichen Ergebniswerten

d) „maximales Frohlocken“ - Der maximale Vorteil ggü. den bei den jeweiligen Umweltzuständen bestmöglichen Ergebniswerten

e) Fraktilswert – der größte Ergebniswert, für den die Wahrscheinlichkeit, dass er mind. erreicht k

wird, nicht unterhalb einer kritischen Wahrscheinlichkeit p liegt. f) Verlust- und Ruinwahrscheinlichkeit – Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmter kritischer Ergebniswert unterschritten wird.

g) Gewinnwahrscheinlichkeit – also die Wahrscheinlichkeit, bei der die Gewinnschwelle gerade so überschritten wird

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f) Extremerwartung – Der Erwartungswert V des Abstandes aller unterhalb eines kritischen Ergebnisniveaus ek liegenden Ergebnisse von diesem kritischen Wert e k

(3) Streuungsmaße: Ausdruck für die Schwankungsbreite. 8 a) die Variationsbreite, d.h. die Differenz zwischen maximalen und minimalem Ergebniswert

b) Die mittlere absolute Abweichung vom Erwartungswert

c) Die quadratische Abweichung vom Erwartungswert, d.h. Varianz σ2 bzw. Standardabweichung σ

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